Bài học

Giới hạn vô cực của dãy số và ứng dụng vào cấp số nhân lùi vô hạn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận biết được khi nào một dãy số có giới hạn vô cực ( $u_n \to +\infty$ hoặc $u_n \to -\infty$ ), biết cách khử hai dạng vô định thường gặp $\infty-\infty$ và $\dfrac{\infty}{\infty}$ bằng cách đặt nhân tử chung hoặc nhân với biểu thức liên hợp, và dùng giới hạn để giải thích chặt chẽ vì sao công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ chỉ đúng khi $|q|<1$ .

Sau bài này, em nhận biết được khi nào một dãy số có giới hạn vô cực ($u_n \to +\infty$ hoặc $u_n \to -\infty$), biết cách khử hai dạng vô định thường gặp $\infty-\infty$ và $\dfrac{\infty}{\infty}$ bằng cách đặt nhân tử chung hoặc nhân với biểu thức liên hợp, và dùng giới hạn để giải thích chặt chẽ vì sao công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ chỉ đúng khi $|q|<1$.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em bộ công cụ tính giới hạn hữu hạn của dãy phân thức bằng cách chia cho luỹ thừa cao nhất của $n$ (same-grade bridge), cùng giới hạn cơ bản $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$ . Bài này mở rộng sang trường hợp dãy số không tiến tới một số hữu hạn mà tăng hoặc giảm không ngừng, rồi quay lại dùng chính $\lim q^n=0$ để hoàn thiện phần còn thiếu của Course 3.

Bài trước đã cho em bộ công cụ tính giới hạn hữu hạn của dãy phân thức bằng cách chia cho luỹ thừa cao nhất của $n$ (same-grade bridge), cùng giới hạn cơ bản $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$. Bài này mở rộng sang trường hợp dãy số không tiến tới một số hữu hạn mà tăng hoặc giảm không ngừng, rồi quay lại dùng chính $\lim q^n=0$ để hoàn thiện phần còn thiếu của Course 3.

Khởi động

Thả một quả bóng cao su từ độ cao 2 m xuống sàn. Mỗi lần chạm sàn, bóng nảy lên chỉ bằng một nửa độ cao trước đó, rồi lại rơi xuống, cứ thế đến vô hạn lần nảy. Bóng đi được bao nhiêu mét tất cả, nếu quãng đường một chuyển động vật lí thật lại được tính bằng cách cộng vô hạn số hạng?

Kiến thức trọng tâm

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn $+\infty$ khi $n \to +\infty$ , kí hiệu $\lim u_n=+\infty$ , nếu $u_n$ có thể lớn hơn bất kì số dương cho trước nào, miễn $n$ đủ lớn — nói gọn là $u_n$ tăng không ngừng và không bị chặn trên. Tương tự, $\lim u_n=-\infty$ nếu $u_n$ nhỏ hơn bất kì số âm cho trước nào khi $n$ đủ lớn. Ví dụ đơn giản nhất: $\lim n=+\infty$ , vì $n$ vượt qua mọi ngưỡng cho trước khi đếm đủ xa.

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn $+\infty$ khi $n \to +\infty$, kí hiệu $\lim u_n=+\infty$, nếu $u_n$ có thể lớn hơn bất kì số dương cho trước nào, miễn $n$ đủ lớn — nói gọn là $u_n$ tăng không ngừng và không bị chặn trên. Tương tự, $\lim u_n=-\infty$ nếu $u_n$ nhỏ hơn bất kì số âm cho trước nào khi $n$ đủ lớn. Ví dụ đơn giản nhất: $\lim n=+\infty$, vì $n$ vượt qua mọi ngưỡng cho trước khi đếm đủ xa.

Khi tính giới hạn của một dãy số phức tạp, em thường gặp hai dạng vô định — những biểu thức trông như "vô cực trừ vô cực" hoặc "vô cực chia vô cực" nhưng thực chất có một giá trị giới hạn xác định, chỉ là chưa lộ ra ở dạng viết ban đầu. Với dạng $\infty-\infty$ (ví dụ $n^2-2n$ , cả hai số hạng đều tiến ra vô cực), kĩ thuật là đặt nhân tử chung luỹ thừa cao nhất ra ngoài: $n^2-2n=n^2\left(1-\dfrac{2}{n}\right)$ , trong đó $n^2 \to +\infty$ còn $\left(1-\dfrac{2}{n}\right) \to 1$ , nên tích tiến ra $+\infty$ . Với dạng chứa căn thức như $\sqrt{n^2+1}-n$ (cả hai số hạng cũng tiến ra vô cực, nhưng không thể đặt nhân tử chung trực tiếp vì một số hạng nằm trong căn), kĩ thuật là nhân và chia cho biểu thức liên hợp $\sqrt{n^2+1}+n$ để làm mất căn ở tử, đưa về dạng chia cho luỹ thừa cao nhất đã biết ở bài trước.

Khi tính giới hạn của một dãy số phức tạp, em thường gặp hai dạng vô định — những biểu thức trông như "vô cực trừ vô cực" hoặc "vô cực chia vô cực" nhưng thực chất có một giá trị giới hạn xác định, chỉ là chưa lộ ra ở dạng viết ban đầu. Với dạng $\infty-\infty$ (ví dụ $n^2-2n$, cả hai số hạng đều tiến ra vô cực), kĩ thuật là đặt nhân tử chung luỹ thừa cao nhất ra ngoài: $n^2-2n=n^2\left(1-\dfrac{2}{n}\right)$, trong đó $n^2 \to +\infty$ còn $\left(1-\dfrac{2}{n}\right) \to 1$, nên tích tiến ra $+\infty$. Với dạng chứa căn thức như $\sqrt{n^2+1}-n$ (cả hai số hạng cũng tiến ra vô cực, nhưng không thể đặt nhân tử chung trực tiếp vì một số hạng nằm trong căn), kĩ thuật là nhân và chia cho biểu thức liên hợp $\sqrt{n^2+1}+n$ để làm mất căn ở tử, đưa về dạng chia cho luỹ thừa cao nhất đã biết ở bài trước.

Giới hạn vô cực còn cho phép em hiểu chính xác vì sao $\lim q^n=0$ chỉ đúng khi $|q|<1$ : nếu $|q|>1$ thì $|q|^n$ tăng không ngừng nên $\lim q^n$ không hữu hạn (tiến ra $\pm\infty$ hoặc dao động không ngừng nếu $q\le -1$ ); nếu $q=1$ thì $q^n=1$ với mọi $n$ , không tiến về 0; nếu $q=-1$ thì $q^n$ nhảy qua lại giữa $1$ và $-1$ , không có giới hạn. Chỉ khi $|q|<1$ , mỗi lần nhân thêm hệ số $q$ mới thật sự làm số hạng bé dần và tiến về 0. Đây chính là điều kiện $|q|<1$ mà công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn luôn đòi hỏi.

Giới hạn vô cực còn cho phép em hiểu chính xác vì sao $\lim q^n=0$ chỉ đúng khi $|q|<1$: nếu $|q|>1$ thì $|q|^n$ tăng không ngừng nên $\lim q^n$ không hữu hạn (tiến ra $\pm\infty$ hoặc dao động không ngừng nếu $q\le -1$); nếu $q=1$ thì $q^n=1$ với mọi $n$, không tiến về 0; nếu $q=-1$ thì $q^n$ nhảy qua lại giữa $1$ và $-1$, không có giới hạn. Chỉ khi $|q|<1$, mỗi lần nhân thêm hệ số $q$ mới thật sự làm số hạng bé dần và tiến về 0. Đây chính là điều kiện $|q|<1$ mà công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn luôn đòi hỏi.

Bây giờ ta có đủ công cụ để chứng minh chặt chẽ công thức $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ : với tổng $n$ số hạng đầu $S_n=u_1 \dfrac{1-q^n}{1-q}$ , khi $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$ (giới hạn cơ bản đã học ở bài trước), nên áp dụng các quy tắc giới hạn của hiệu và thương: $\lim S_n=u_1 \dfrac{1-0}{1-q}=\dfrac{u_1}{1-q}$ . Vậy tổng vô hạn số hạng, hiểu đúng nghĩa, chính là giới hạn của dãy tổng riêng $S_n$ khi $n \to +\infty$ — không phải một phép cộng "vô hạn bước" theo nghĩa đen, mà là một giới hạn có thể tính được bằng chính công cụ vừa học.

Bây giờ ta có đủ công cụ để chứng minh chặt chẽ công thức $S=\dfrac{u_1}{1-q}$: với tổng $n$ số hạng đầu $S_n=u_1 \dfrac{1-q^n}{1-q}$, khi $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$ (giới hạn cơ bản đã học ở bài trước), nên áp dụng các quy tắc giới hạn của hiệu và thương: $\lim S_n=u_1 \dfrac{1-0}{1-q}=\dfrac{u_1}{1-q}$. Vậy tổng vô hạn số hạng, hiểu đúng nghĩa, chính là giới hạn của dãy tổng riêng $S_n$ khi $n \to +\infty$ — không phải một phép cộng "vô hạn bước" theo nghĩa đen, mà là một giới hạn có thể tính được bằng chính công cụ vừa học.

Tổng riêng Sₙ tăng dần nhưng chậm lại rõ rệt, đúng như một dãy hội tụ về giới hạn hữu hạn.

Ví dụ chuẩn

Ví dụ

Giới hạn vô cực bằng cách đặt nhân tử chung

1
Tính $\lim_{n \to +\infty} (n^2-2n)$ .
Tính $\lim_{n \to +\infty} (n^2-2n)$.
2
Đặt $n^2$ làm nhân tử chung: $n^2-2n=n^2\left(1-\dfrac{2}{n}\right)$ .
Đặt $n^2$ làm nhân tử chung: $n^2-2n=n^2\left(1-\dfrac{2}{n}\right)$.
3
Ta có $\lim n^2=+\infty$ và $\lim\left(1-\dfrac{2}{n}\right)=1>0$ .
Ta có $\lim n^2=+\infty$ và $\lim\left(1-\dfrac{2}{n}\right)=1>0$.
4
Tích của một đại lượng tiến ra $+\infty$ với một đại lượng tiến tới số dương vẫn tiến ra $+\infty$ . Vậy $\lim (n^2-2n)=+\infty$ .
Tích của một đại lượng tiến ra $+\infty$ với một đại lượng tiến tới số dương vẫn tiến ra $+\infty$. Vậy $\lim (n^2-2n)=+\infty$.

Ví dụ khó hơn

Ví dụ

Giới hạn dạng chứa căn bằng biểu thức liên hợp

1
Tính $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2+1}-n)$ .
Tính $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2+1}-n)$.
2
Nhân và chia cho $\sqrt{n^2+1}+n$ : $\sqrt{n^2+1}-n=\dfrac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\dfrac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}$ .
Nhân và chia cho $\sqrt{n^2+1}+n$: $\sqrt{n^2+1}-n=\dfrac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\dfrac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}$.
3
Vì $\sqrt{n^2+1} \to +\infty$ và $n \to +\infty$ , mẫu $\sqrt{n^2+1}+n \to +\infty$ .
Vì $\sqrt{n^2+1} \to +\infty$ và $n \to +\infty$, mẫu $\sqrt{n^2+1}+n \to +\infty$.
4
Một phân số có tử không đổi (bằng 1) và mẫu tiến ra vô cực thì tiến về 0. Vậy $\lim (\sqrt{n^2+1}-n)=0$ .
Một phân số có tử không đổi (bằng 1) và mẫu tiến ra vô cực thì tiến về 0. Vậy $\lim (\sqrt{n^2+1}-n)=0$.

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,(3) ra phân số bằng giới hạn

1
Dùng giới hạn của tổng riêng một cấp số nhân, chứng tỏ $0{,}(3)=0{,}333\ldots=\dfrac{1}{3}$ .
Dùng giới hạn của tổng riêng một cấp số nhân, chứng tỏ $0{,}(3)=0{,}333\ldots=\dfrac{1}{3}$.
2
$0{,}(3)$ là giới hạn của $S_n=\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{10^2}+\cdots+\dfrac{3}{10^n}$ — tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân có $u_1=\dfrac{3}{10}$ , công bội $q=\dfrac{1}{10}$ .
$0{,}(3)$ là giới hạn của $S_n=\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{10^2}+\cdots+\dfrac{3}{10^n}$ — tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân có $u_1=\dfrac{3}{10}$, công bội $q=\dfrac{1}{10}$.
3
$S_n=u_1 \dfrac{1-q^n}{1-q}=\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1-(1/10)^n}{1-1/10}=\dfrac{3}{9}\left(1-\left(\dfrac{1}{10}\right)^n\right)$ .
$S_n=u_1 \dfrac{1-q^n}{1-q}=\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1-(1/10)^n}{1-1/10}=\dfrac{3}{9}\left(1-\left(\dfrac{1}{10}\right)^n\right)$.
4
Vì $\left|\dfrac{1}{10}\right|<1$ , $\lim \left(\dfrac{1}{10}\right)^n=0$ , nên $\lim S_n=\dfrac{3}{9}(1-0)=\dfrac{1}{3}$ .
Vì $\left|\dfrac{1}{10}\right|<1$, $\lim \left(\dfrac{1}{10}\right)^n=0$, nên $\lim S_n=\dfrac{3}{9}(1-0)=\dfrac{1}{3}$.
5
Vậy $0{,}(3)=\dfrac{1}{3}$ — không phải một quy tắc "học thuộc", mà là kết quả trực tiếp của việc lấy giới hạn tổng riêng một cấp số nhân lùi vô hạn.
Vậy $0{,}(3)=\dfrac{1}{3}$ — không phải một quy tắc "học thuộc", mà là kết quả trực tiếp của việc lấy giới hạn tổng riêng một cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ ứng dụng thực tế

Ví dụ

Tổng quãng đường quả bóng nảy vô hạn lần

1
Một quả bóng được thả từ độ cao $h_0=2$ m. Mỗi lần chạm sàn, bóng nảy lên một độ cao bằng $r=\dfrac{1}{2}$ độ cao lần rơi trước, rồi lại rơi xuống — cứ thế đến vô hạn lần. Tính tổng quãng đường bóng đi được.
Một quả bóng được thả từ độ cao $h_0=2$ m. Mỗi lần chạm sàn, bóng nảy lên một độ cao bằng $r=\dfrac{1}{2}$ độ cao lần rơi trước, rồi lại rơi xuống — cứ thế đến vô hạn lần. Tính tổng quãng đường bóng đi được.
2
Quãng đường gồm: cú rơi đầu tiên (dài $h_0$ ), rồi với mỗi lần nảy thứ $k$ ( $k=1,2,3,\ldots$ ), bóng đi lên rồi đi xuống cùng một độ cao $h_0 r^k$ , nên mỗi lần nảy đóng góp $2h_0 r^k$ vào tổng quãng đường.
Quãng đường gồm: cú rơi đầu tiên (dài $h_0$), rồi với mỗi lần nảy thứ $k$ ($k=1,2,3,\ldots$), bóng đi lên rồi đi xuống cùng một độ cao $h_0 r^k$, nên mỗi lần nảy đóng góp $2h_0 r^k$ vào tổng quãng đường.
3
Tổng quãng đường $D=h_0+2h_0 r+2h_0 r^2+\cdots=h_0+2h_0(r+r^2+\cdots)$ . Phần trong ngoặc là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $r$ và công bội $r$ , nên bằng $\dfrac{r}{1-r}$ (đúng theo công thức vừa được giải thích bằng giới hạn ở trên, vì $r=\dfrac{1}{2}$ thoả $|r|<1$ ).
Tổng quãng đường $D=h_0+2h_0 r+2h_0 r^2+\cdots=h_0+2h_0(r+r^2+\cdots)$. Phần trong ngoặc là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $r$ và công bội $r$, nên bằng $\dfrac{r}{1-r}$ (đúng theo công thức vừa được giải thích bằng giới hạn ở trên, vì $r=\dfrac{1}{2}$ thoả $|r|<1$).
4
$D=h_0+2h_0 \cdot \dfrac{r}{1-r}=2+2 \times 2 \times \dfrac{0{,}5}{0{,}5}=2+4=6$ (m).
$D=h_0+2h_0 \cdot \dfrac{r}{1-r}=2+2 \times 2 \times \dfrac{0{,}5}{0{,}5}=2+4=6$ (m).
5
Vậy tổng quãng đường quả bóng đi được, dù nảy vô hạn lần, vẫn là một con số hữu hạn: $D=6$ m. Nghe có vẻ lạ — cộng vô hạn số hạng dương mà vẫn ra một số hữu hạn — nhưng đó là vì mỗi số hạng nhỏ dần rất nhanh (theo cấp số nhân công bội $\dfrac{1}{2}$ ), giống hệt lí do $0{,}(3)$ ở ví dụ trước cũng là một số hữu hạn dù viết ra vô hạn chữ số 3.
Vậy tổng quãng đường quả bóng đi được, dù nảy vô hạn lần, vẫn là một con số hữu hạn: $D=6$ m. Nghe có vẻ lạ — cộng vô hạn số hạng dương mà vẫn ra một số hữu hạn — nhưng đó là vì mỗi số hạng nhỏ dần rất nhanh (theo cấp số nhân công bội $\dfrac{1}{2}$), giống hệt lí do $0{,}(3)$ ở ví dụ trước cũng là một số hữu hạn dù viết ra vô hạn chữ số 3.

Sai lầm thường gặp

Nhiều em viết thẳng $\infty-\infty=0$ hoặc $\dfrac{\infty}{\infty}=1$ như thể vô cực là một con số có thể tính toán trực tiếp — đây là sai lầm gốc của cả hai dạng vô định. Phải đặt nhân tử chung hoặc nhân liên hợp để đưa về dạng có giới hạn xác định trước, không được kết luận vội. Một lỗi khác ở bài toán cấp số nhân lùi vô hạn: quên kiểm tra điều kiện $|q|<1$ trước khi áp dụng công thức — nếu $|q|\ge 1$ , tổng vô hạn không hội tụ, công thức $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ không còn ý nghĩa.

Nhiều em viết thẳng $\infty-\infty=0$ hoặc $\dfrac{\infty}{\infty}=1$ như thể vô cực là một con số có thể tính toán trực tiếp — đây là sai lầm gốc của cả hai dạng vô định. Phải đặt nhân tử chung hoặc nhân liên hợp để đưa về dạng có giới hạn xác định trước, không được kết luận vội. Một lỗi khác ở bài toán cấp số nhân lùi vô hạn: quên kiểm tra điều kiện $|q|<1$ trước khi áp dụng công thức — nếu $|q|\ge 1$, tổng vô hạn không hội tụ, công thức $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ không còn ý nghĩa.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$\lim u_n=+\infty$ (hoặc $-\infty$ ) khi $u_n$ vượt mọi ngưỡng dương (hoặc âm) cho trước. Khử $\infty-\infty$ bằng đặt nhân tử chung luỹ thừa cao nhất; khử dạng chứa căn bằng nhân biểu thức liên hợp. Công thức $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ chỉ đúng khi $|q|<1$ , vì khi đó $\lim q^n=0$ và tổng riêng $S_n$ hội tụ.

$\lim u_n=+\infty$ (hoặc $-\infty$) khi $u_n$ vượt mọi ngưỡng dương (hoặc âm) cho trước. Khử $\infty-\infty$ bằng đặt nhân tử chung luỹ thừa cao nhất; khử dạng chứa căn bằng nhân biểu thức liên hợp. Công thức $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ chỉ đúng khi $|q|<1$, vì khi đó $\lim q^n=0$ và tổng riêng $S_n$ hội tụ.

Chương tiếp theo chuyển từ dãy số (biến $n$ chỉ nhận giá trị nguyên dương) sang hàm số (biến $x$ chạy liên tục) — cùng một tinh thần "tiến gần tuỳ ý", nhưng áp dụng cho một đại lượng liên tục và cho cả những điểm hữu hạn, không chỉ khi tiến ra vô cực.