Bài học

Giới hạn hữu hạn của dãy số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được ý nghĩa của việc một dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn $L$ khi $n \to +\infty$ , nêu được các giới hạn cơ bản $\lim \dfrac{1}{n}=0$ , $\lim \dfrac{1}{n^k}=0$ và $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$ , và dùng các quy tắc giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương để tính giới hạn của một dãy số cho bởi công thức phân thức.

Sau bài này, em phát biểu được ý nghĩa của việc một dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn $L$ khi $n \to +\infty$, nêu được các giới hạn cơ bản $\lim \dfrac{1}{n}=0$, $\lim \dfrac{1}{n^k}=0$ và $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$, và dùng các quy tắc giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương để tính giới hạn của một dãy số cho bởi công thức phân thức.

Kiến thức nền cần nhớ

Lớp 11 đã làm quen với cấp số cộng và cấp số nhân — những dãy số có quy luật tăng hoặc giảm đều đặn (prior-grade review). Ở khoá này, Course 3 vừa tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng công thức $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ (same-grade bridge), nhưng công thức đó vẫn chưa được giải thích thấu đáo: cộng vô hạn số hạng nghĩa là gì? Bài này trả lời câu hỏi đó bằng một khái niệm mới — giới hạn của dãy số.

Cụ thể, với cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q$ thoả $|q|<1$ , tổng $n$ số hạng đầu là $S_n=u_1 \dfrac{1-q^n}{1-q}$ — đây là công thức đại số thuần tuý, không liên quan gì đến "vô hạn" cả, vì nó chỉ cộng đúng $n$ số hạng. Điều biến $S_n$ (tổng hữu hạn) thành $S$ (tổng vô hạn số hạng) chính là việc cho $n \to +\infty$ và xét xem $S_n$ tiến tới đâu — và đó chính xác là một câu hỏi về giới hạn.

Cụ thể, với cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q$ thoả $|q|<1$, tổng $n$ số hạng đầu là $S_n=u_1 \dfrac{1-q^n}{1-q}$ — đây là công thức đại số thuần tuý, không liên quan gì đến "vô hạn" cả, vì nó chỉ cộng đúng $n$ số hạng. Điều biến $S_n$ (tổng hữu hạn) thành $S$ (tổng vô hạn số hạng) chính là việc cho $n \to +\infty$ và xét xem $S_n$ tiến tới đâu — và đó chính xác là một câu hỏi về giới hạn.

Khởi động

Một chiếc bánh pizza được chia đều cho ngày càng nhiều bạn: 2 bạn, rồi 10 bạn, rồi 100 bạn. Phần bánh mỗi bạn nhận được, $u_n=\dfrac{1}{n}$ (tính theo phần bánh), thay đổi thế nào khi $n$ lớn dần? Nó có bao giờ bằng đúng 0 không, hay chỉ tiến rất gần 0?

Kiến thức trọng tâm

Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn $L$ khi $n \to +\infty$ , kí hiệu $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ hoặc gọn hơn $\lim u_n = L$ , nếu $|u_n - L|$ có thể làm nhỏ tuỳ ý — nhỏ hơn bất kì số dương cho trước nào — miễn $n$ đủ lớn. Nói cách khác, các số hạng $u_n$ áp sát vào $L$ khi em đi càng xa về phía cuối dãy, dù có thể không bao giờ chạm đúng $L$ .

Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn $L$ khi $n \to +\infty$, kí hiệu $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ hoặc gọn hơn $\lim u_n = L$, nếu $|u_n - L|$ có thể làm nhỏ tuỳ ý — nhỏ hơn bất kì số dương cho trước nào — miễn $n$ đủ lớn. Nói cách khác, các số hạng $u_n$ áp sát vào $L$ khi em đi càng xa về phía cuối dãy, dù có thể không bao giờ chạm đúng $L$.

Quay lại ví dụ mở đầu: với $u_n=\dfrac{1}{n}$ , khi $n$ tăng thì $u_n$ càng nhỏ, và với $n$ đủ lớn, $u_n$ nhỏ hơn bất kì ngưỡng dương nào em chọn trước — chẳng hạn muốn $u_n<0{,}001$ chỉ cần $n>1000$ . Vậy $\lim \dfrac{1}{n}=0$ . Đây là giới hạn cơ bản đầu tiên em cần nhớ, cùng với hai giới hạn cùng họ: $\lim \dfrac{1}{n^k}=0$ với mọi số nguyên dương $k$ (vì $n^k$ tăng còn nhanh hơn $n$ ), và $\lim q^n=0$ với mọi $q$ thoả $|q|<1$ (vì mỗi lần nhân thêm một hệ số $q$ có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, số hạng lại co lại một chút). Giới hạn thứ ba chính là chìa khoá để bài sau giải thích công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn một cách chặt chẽ.

Quay lại ví dụ mở đầu: với $u_n=\dfrac{1}{n}$, khi $n$ tăng thì $u_n$ càng nhỏ, và với $n$ đủ lớn, $u_n$ nhỏ hơn bất kì ngưỡng dương nào em chọn trước — chẳng hạn muốn $u_n<0{,}001$ chỉ cần $n>1000$. Vậy $\lim \dfrac{1}{n}=0$. Đây là giới hạn cơ bản đầu tiên em cần nhớ, cùng với hai giới hạn cùng họ: $\lim \dfrac{1}{n^k}=0$ với mọi số nguyên dương $k$ (vì $n^k$ tăng còn nhanh hơn $n$), và $\lim q^n=0$ với mọi $q$ thoả $|q|<1$ (vì mỗi lần nhân thêm một hệ số $q$ có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, số hạng lại co lại một chút). Giới hạn thứ ba chính là chìa khoá để bài sau giải thích công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn một cách chặt chẽ.

Không phải dãy số nào cũng có giới hạn hữu hạn. Dãy $u_n=(-1)^n$ chỉ nhảy qua lại giữa hai giá trị $1$ và $-1$ , không áp sát vào một số cố định nào dù $n$ có lớn đến đâu — dãy này không có giới hạn (hữu hạn hay vô cực). Dãy $u_n=n$ cũng không có giới hạn hữu hạn, nhưng vì lí do khác: nó tăng không ngừng, việc này bài sau sẽ gọi tên là "giới hạn vô cực". Ghi nhớ hai kiểu "không có giới hạn hữu hạn" này giúp em không nhầm lẫn khi đọc đề: một dãy có thể không hội tụ vì dao động, hoặc vì tăng/giảm không ngừng.

Không phải dãy số nào cũng có giới hạn hữu hạn. Dãy $u_n=(-1)^n$ chỉ nhảy qua lại giữa hai giá trị $1$ và $-1$, không áp sát vào một số cố định nào dù $n$ có lớn đến đâu — dãy này không có giới hạn (hữu hạn hay vô cực). Dãy $u_n=n$ cũng không có giới hạn hữu hạn, nhưng vì lí do khác: nó tăng không ngừng, việc này bài sau sẽ gọi tên là "giới hạn vô cực". Ghi nhớ hai kiểu "không có giới hạn hữu hạn" này giúp em không nhầm lẫn khi đọc đề: một dãy có thể không hội tụ vì dao động, hoặc vì tăng/giảm không ngừng.

Khi hai dãy số đã có giới hạn hữu hạn, ta tính giới hạn của dãy mới ghép từ chúng theo các quy tắc sau — với $\lim u_n=a$ , $\lim v_n=b$ ( $a,b$ hữu hạn): $\lim(u_n+v_n)=a+b$ , $\lim(u_n-v_n)=a-b$ , $\lim(u_n \cdot v_n)=a \cdot b$ , và nếu $b\ne 0$ thì $\lim \dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{a}{b}$ . Ngoài ra $\lim(c \cdot u_n)=c \cdot a$ với $c$ là hằng số bất kì. Các quy tắc này cho phép em tách một dãy số phức tạp thành các dãy đơn giản hơn đã biết giới hạn, thay vì lúng túng với cả biểu thức cùng lúc.

Khi hai dãy số đã có giới hạn hữu hạn, ta tính giới hạn của dãy mới ghép từ chúng theo các quy tắc sau — với $\lim u_n=a$, $\lim v_n=b$ ($a,b$ hữu hạn): $\lim(u_n+v_n)=a+b$, $\lim(u_n-v_n)=a-b$, $\lim(u_n \cdot v_n)=a \cdot b$, và nếu $b\ne 0$ thì $\lim \dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{a}{b}$. Ngoài ra $\lim(c \cdot u_n)=c \cdot a$ với $c$ là hằng số bất kì. Các quy tắc này cho phép em tách một dãy số phức tạp thành các dãy đơn giản hơn đã biết giới hạn, thay vì lúng túng với cả biểu thức cùng lúc.

Vấn đề là: các dãy số hay gặp trong đề bài, như $u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$ , không tách ngay được thành tổng hay tích của những dãy đã biết giới hạn — cả tử và mẫu đều tiến ra vô cực, nên không thể áp dụng trực tiếp quy tắc thương ở trên (vì mẫu số $\lim(n+3)$ không hữu hạn). Kĩ thuật chuẩn để xử lí dạng này là chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$ xuất hiện trong biểu thức — khi đó mọi số hạng dạng $\dfrac{1}{n^k}$ đều tiến về 0, và biểu thức trở về đúng dạng thương của hai giới hạn hữu hạn.

Vấn đề là: các dãy số hay gặp trong đề bài, như $u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$, không tách ngay được thành tổng hay tích của những dãy đã biết giới hạn — cả tử và mẫu đều tiến ra vô cực, nên không thể áp dụng trực tiếp quy tắc thương ở trên (vì mẫu số $\lim(n+3)$ không hữu hạn). Kĩ thuật chuẩn để xử lí dạng này là chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$ xuất hiện trong biểu thức — khi đó mọi số hạng dạng $\dfrac{1}{n^k}$ đều tiến về 0, và biểu thức trở về đúng dạng thương của hai giới hạn hữu hạn.

Dãy số là các điểm rời rạc (không phải đường liền nét) vì

n

chỉ nhận giá trị nguyên dương; đường nét đứt là mức giới hạn dãy tiến tới.Dãy số là các điểm rời rạc (không phải đường liền nét) vì $n$ chỉ nhận giá trị nguyên dương; đường nét đứt là mức giới hạn dãy tiến tới.

Ví dụ chuẩn

Ví dụ

Tính giới hạn của dãy số

u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}

Tính giới hạn của dãy số $u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$

1
Tính $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n+1}{n+3}$ .
Tính $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n+1}{n+3}$.
2
Vì $n$ là luỹ thừa cao nhất xuất hiện ở cả tử và mẫu, ta chia cả hai cho $n$ : $u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}=\dfrac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}$ .
Vì $n$ là luỹ thừa cao nhất xuất hiện ở cả tử và mẫu, ta chia cả hai cho $n$: $u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}=\dfrac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}$.
3
Ta có $\lim \dfrac{1}{n}=0$ nên $\lim\left(2+\dfrac{1}{n}\right)=2$ và $\lim\left(1+\dfrac{3}{n}\right)=1$ .
Ta có $\lim \dfrac{1}{n}=0$ nên $\lim\left(2+\dfrac{1}{n}\right)=2$ và $\lim\left(1+\dfrac{3}{n}\right)=1$.
4
Vì mẫu có giới hạn khác 0, $\lim u_n=\dfrac{2}{1}=2$ .
Vì mẫu có giới hạn khác 0, $\lim u_n=\dfrac{2}{1}=2$.
5
Vậy $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n+1}{n+3}=2$ .
Vậy $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n+1}{n+3}=2$.

Ví dụ khó hơn

Ví dụ

Giới hạn của dãy số bậc hai trên bậc hai

1
Tính $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2-1}{n^2+2}$ .
Tính $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2-1}{n^2+2}$.
2
Luỹ thừa cao nhất là $n^2$ , chia cả tử và mẫu cho $n^2$ : $\dfrac{3n^2-1}{n^2+2}=\dfrac{3-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}$ .
Luỹ thừa cao nhất là $n^2$, chia cả tử và mẫu cho $n^2$: $\dfrac{3n^2-1}{n^2+2}=\dfrac{3-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}$.
3
Vì $\lim \dfrac{1}{n^2}=0$ , tử tiến tới $3-0=3$ , mẫu tiến tới $1+0=1$ .
Vì $\lim \dfrac{1}{n^2}=0$, tử tiến tới $3-0=3$, mẫu tiến tới $1+0=1$.
4
Vậy $\lim \dfrac{3n^2-1}{n^2+2}=\dfrac{3}{1}=3$ .
Vậy $\lim \dfrac{3n^2-1}{n^2+2}=\dfrac{3}{1}=3$.
5
Cách nhớ nhanh: khi bậc của tử và mẫu bằng nhau, giới hạn chính là tỉ số hai hệ số cao nhất — ở đây là $\dfrac{3}{1}=3$ , khớp với kết quả vừa tính bằng phép chia trực tiếp.
Cách nhớ nhanh: khi bậc của tử và mẫu bằng nhau, giới hạn chính là tỉ số hai hệ số cao nhất — ở đây là $\dfrac{3}{1}=3$, khớp với kết quả vừa tính bằng phép chia trực tiếp.

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Bài toán mô hình dây chuyền sản xuất

1
Số sản phẩm trung bình mỗi giờ của một dây chuyền, tính trong $n$ giờ vận hành đầu tiên, được mô hình bởi $u_n=\dfrac{100n+50}{n+2}$ (sản phẩm/giờ). Tìm xu hướng của $u_n$ khi $n$ rất lớn, và giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả.
Số sản phẩm trung bình mỗi giờ của một dây chuyền, tính trong $n$ giờ vận hành đầu tiên, được mô hình bởi $u_n=\dfrac{100n+50}{n+2}$ (sản phẩm/giờ). Tìm xu hướng của $u_n$ khi $n$ rất lớn, và giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả.
2
$u_n=\dfrac{100n+50}{n+2}=\dfrac{100+\frac{50}{n}}{1+\frac{2}{n}}$ .
$u_n=\dfrac{100n+50}{n+2}=\dfrac{100+\frac{50}{n}}{1+\frac{2}{n}}$.
3
Vì $\lim \dfrac{50}{n}=0$ và $\lim \dfrac{2}{n}=0$ , ta có $\lim u_n=\dfrac{100}{1}=100$ .
Vì $\lim \dfrac{50}{n}=0$ và $\lim \dfrac{2}{n}=0$, ta có $\lim u_n=\dfrac{100}{1}=100$.
4
Vậy khi vận hành đủ lâu, năng suất trung bình mỗi giờ tiến gần 100 sản phẩm/giờ — con số 50 sản phẩm ban đầu (khởi động dây chuyền) và số hạng $+2$ ở mẫu chỉ ảnh hưởng rõ trong vài giờ đầu, càng về sau càng bị san đều bởi những giờ vận hành ổn định.
Vậy khi vận hành đủ lâu, năng suất trung bình mỗi giờ tiến gần 100 sản phẩm/giờ — con số 50 sản phẩm ban đầu (khởi động dây chuyền) và số hạng $+2$ ở mẫu chỉ ảnh hưởng rõ trong vài giờ đầu, càng về sau càng bị san đều bởi những giờ vận hành ổn định.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất: thấy tử và mẫu đều tiến ra vô cực rồi vội kết luận giới hạn bằng $\dfrac{\infty}{\infty}$ hoặc bằng 1 vì "cả hai đều lớn như nhau". Đây không phải một con số — phải chia cho luỹ thừa cao nhất trước, rồi mới xét giới hạn. Một lỗi khác: quên so sánh bậc của tử và mẫu trước khi chia, dẫn đến chia sai luỹ thừa và ra kết quả không hội tụ về đâu cả.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Giới hạn cơ bản: $\lim \dfrac{1}{n}=0$ , $\lim \dfrac{1}{n^k}=0$ , $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$ . Quy tắc: giới hạn của tổng/hiệu/tích/thương (mẫu khác 0) bằng tổng/hiệu/tích/thương các giới hạn thành phần. Với dãy phân thức, luôn chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$ trước khi lấy giới hạn.

Giới hạn cơ bản: $\lim \dfrac{1}{n}=0$, $\lim \dfrac{1}{n^k}=0$, $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$. Quy tắc: giới hạn của tổng/hiệu/tích/thương (mẫu khác 0) bằng tổng/hiệu/tích/thương các giới hạn thành phần. Với dãy phân thức, luôn chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$ trước khi lấy giới hạn.

Bài tiếp theo dùng đúng bộ công cụ này cho những dãy số tiến ra vô cực thay vì tới một số hữu hạn, và quay lại giải thích chặt chẽ công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn bằng chính giới hạn $\lim q^n=0$ vừa học.