Bài học

Ôn tập: Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận diện nhanh một bài toán thuộc dạng giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hay xét tính liên tục, chọn đúng kĩ thuật khử dạng vô định tương ứng, và giải được một bài toán tổng hợp kiểu đề kiểm tra phối hợp cả ba mảng kiến thức của khoá học.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không giới thiệu khái niệm mới — nó ghép lại đúng những công cụ bốn bài trước đã xây dựng: chia cho luỹ thừa cao nhất (dãy số và hàm số tại vô cực), phân tích nhân tử cho dạng $\dfrac{0}{0}$ (hàm số tại một điểm), ba điều kiện liên tục, và định lí giá trị trung gian (same-grade bridge, toàn bộ nội dung khoá học này).

Khởi động

Một đề kiểm tra thường không ghi rõ "đây là bài giới hạn dãy số" hay "đây là bài liên tục" — em phải tự nhận ra. Nhìn vào biến ( $n$ hay $x$ ?), nhìn vào việc biến tiến tới đâu (một điểm hữu hạn hay vô cực?), và nhìn vào câu hỏi cuối cùng (tính giới hạn, xét liên tục, hay chứng minh có nghiệm?) — ba câu hỏi này đã đủ để định vị đúng kĩ thuật cần dùng.

Một đề kiểm tra thường không ghi rõ "đây là bài giới hạn dãy số" hay "đây là bài liên tục" — em phải tự nhận ra. Nhìn vào biến ($n$ hay $x$?), nhìn vào việc biến tiến tới đâu (một điểm hữu hạn hay vô cực?), và nhìn vào câu hỏi cuối cùng (tính giới hạn, xét liên tục, hay chứng minh có nghiệm?) — ba câu hỏi này đã đủ để định vị đúng kĩ thuật cần dùng.

Kiến thức trọng tâm — quy trình tổng quát

Khi gặp một bài toán giới hạn hoặc liên tục, quy trình chung gồm bốn bước. Bước một, nhận dạng: biến là $n$ (dãy số) hay $x$ (hàm số)? Biến tiến tới một điểm hữu hạn hay tới vô cực? Bước hai, thử thay trực tiếp giá trị biến tiến tới vào biểu thức — nếu ra một số xác định (không phải dạng $\dfrac{0}{0}$ hay $\dfrac{\infty}{\infty}$ hay $\infty-\infty$ ), đó chính là giới hạn, xong ngay. Bước ba, nếu gặp dạng vô định, khử nó: phân tích nhân tử và rút gọn (dạng $\dfrac{0}{0}$ tại một điểm hữu hạn), chia cho luỹ thừa cao nhất (dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ khi tiến ra vô cực), hoặc nhân biểu thức liên hợp (dạng $\infty-\infty$ chứa căn). Bước bốn, áp dụng: nếu câu hỏi chỉ cần giá trị giới hạn thì dừng lại ở đó; nếu câu hỏi hỏi về tính liên tục, so sánh giới hạn vừa tìm với giá trị hàm số tại điểm đó; nếu câu hỏi yêu cầu chứng minh phương trình có nghiệm, chuyển sang xét dấu $f(a)$ và $f(b)$ theo định lí giá trị trung gian.

Khi gặp một bài toán giới hạn hoặc liên tục, quy trình chung gồm bốn bước. Bước một, nhận dạng: biến là $n$ (dãy số) hay $x$ (hàm số)? Biến tiến tới một điểm hữu hạn hay tới vô cực? Bước hai, thử thay trực tiếp giá trị biến tiến tới vào biểu thức — nếu ra một số xác định (không phải dạng $\dfrac{0}{0}$ hay $\dfrac{\infty}{\infty}$ hay $\infty-\infty$), đó chính là giới hạn, xong ngay. Bước ba, nếu gặp dạng vô định, khử nó: phân tích nhân tử và rút gọn (dạng $\dfrac{0}{0}$ tại một điểm hữu hạn), chia cho luỹ thừa cao nhất (dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ khi tiến ra vô cực), hoặc nhân biểu thức liên hợp (dạng $\infty-\infty$ chứa căn). Bước bốn, áp dụng: nếu câu hỏi chỉ cần giá trị giới hạn thì dừng lại ở đó; nếu câu hỏi hỏi về tính liên tục, so sánh giới hạn vừa tìm với giá trị hàm số tại điểm đó; nếu câu hỏi yêu cầu chứng minh phương trình có nghiệm, chuyển sang xét dấu $f(a)$ và $f(b)$ theo định lí giá trị trung gian.

Một mẹo giúp em không nhầm dạng bài: nếu đề bài cho một hàm số với nhiều công thức trên từng khoảng và hỏi về một tham số $m$ , gần như chắc chắn đây là bài toán liên tục tại điểm nối — kĩ thuật luôn là tính giới hạn một bên của mỗi nhánh, cho chúng bằng nhau và bằng giá trị hàm số tại điểm nối, rồi giải phương trình tìm $m$ . Nếu đề bài chỉ cho một phương trình bậc cao và yêu cầu chứng minh có nghiệm trong một khoảng mà không yêu cầu giải, đó luôn là bài toán định lí giá trị trung gian.

Một mẹo giúp em không nhầm dạng bài: nếu đề bài cho một hàm số với nhiều công thức trên từng khoảng và hỏi về một tham số $m$, gần như chắc chắn đây là bài toán liên tục tại điểm nối — kĩ thuật luôn là tính giới hạn một bên của mỗi nhánh, cho chúng bằng nhau và bằng giá trị hàm số tại điểm nối, rồi giải phương trình tìm $m$. Nếu đề bài chỉ cho một phương trình bậc cao và yêu cầu chứng minh có nghiệm trong một khoảng mà không yêu cầu giải, đó luôn là bài toán định lí giá trị trung gian.

Nhìn lại cả khoá học theo đúng trình tự đã học: Chương 1 xây dựng khái niệm giới hạn từ dãy số — đại lượng rời rạc, dễ hình dung bằng các điểm rời rạc áp sát một mức cố định. Chương 2 (dùng đúng tên gọi ở Chương 1 phần vô cực) hoàn thiện công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn bằng chính giới hạn đó. Chương 3 chuyển hẳn sang hàm số — biến liên tục thay vì rời rạc — và thêm khái niệm giới hạn một bên. Chương 4 dùng giới hạn để định nghĩa liên tục, rồi mở rộng thành một công cụ chứng minh sự tồn tại nghiệm. Nhìn theo mạch này, mỗi chương không phải một chủ đề tách rời mà là một bước xây trên nền chương trước.

Quy trình này gộp lại đúng các bước đã luyện riêng lẻ ở bốn bài trước của khoá học.

Ví dụ tổng hợp 1

Ví dụ

Ôn lại giới hạn dãy số phân thức bậc hai

1
Tính $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4n^2+n}{2n^2-3}$ .
Tính $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4n^2+n}{2n^2-3}$.
2
Biến $n$ , tiến ra vô cực, bậc tử bằng bậc mẫu (đều bậc 2). Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ : $\dfrac{4+\frac{1}{n}}{2-\frac{3}{n^2}}$ .
Biến $n$, tiến ra vô cực, bậc tử bằng bậc mẫu (đều bậc 2). Chia cả tử và mẫu cho $n^2$: $\dfrac{4+\frac{1}{n}}{2-\frac{3}{n^2}}$.
3
Khi $n \to +\infty$ , tử tiến tới $4$ , mẫu tiến tới $2$ . Vậy $\lim \dfrac{4n^2+n}{2n^2-3}=\dfrac{4}{2}=2$ .
Khi $n \to +\infty$, tử tiến tới $4$, mẫu tiến tới $2$. Vậy $\lim \dfrac{4n^2+n}{2n^2-3}=\dfrac{4}{2}=2$.
4
Với $n=100$ : $\dfrac{4(100)^2+100}{2(100)^2-3}=\dfrac{40100}{19997}\approx 2{,}005$ — đã rất gần 2, khớp với kết quả tính bằng giới hạn.
Với $n=100$: $\dfrac{4(100)^2+100}{2(100)^2-3}=\dfrac{40100}{19997}\approx 2{,}005$ — đã rất gần 2, khớp với kết quả tính bằng giới hạn.

Ví dụ tổng hợp 2

Ví dụ

Ôn lại giới hạn hàm số dạng 0/0 tại một điểm

1
Tính $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-2x-3}{x-3}$ .
Tính $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-2x-3}{x-3}$.
2
Biến $x$ , tiến tới điểm hữu hạn $3$ ; thay trực tiếp cho dạng $\dfrac{0}{0}$ . Phân tích: $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ , nên $\dfrac{x^2-2x-3}{x-3}=x+1$ với $x \ne 3$ .
Biến $x$, tiến tới điểm hữu hạn $3$; thay trực tiếp cho dạng $\dfrac{0}{0}$. Phân tích: $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$, nên $\dfrac{x^2-2x-3}{x-3}=x+1$ với $x \ne 3$.
3
$\lim_{x \to 3} (x+1)=3+1=4$ . Vậy $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-2x-3}{x-3}=4$ .
$\lim_{x \to 3} (x+1)=3+1=4$. Vậy $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-2x-3}{x-3}=4$.

Ví dụ tổng hợp dạng thi

Ví dụ

Kết hợp giới hạn và liên tục để tìm tham số

1
Cho $g(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ nếu $x \ne 2$ , và $g(2)=m$ . Tìm $m$ để $g$ liên tục tại $x=2$ , sau đó cho biết đồ thị của $g$ khi đó là đường nào.
Cho $g(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ nếu $x \ne 2$, và $g(2)=m$. Tìm $m$ để $g$ liên tục tại $x=2$, sau đó cho biết đồ thị của $g$ khi đó là đường nào.
2
$\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ với $x \ne 2$ , nên $\lim_{x \to 2} g(x)=2+2=4$ .
$\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ với $x \ne 2$, nên $\lim_{x \to 2} g(x)=2+2=4$.
3
Để $g$ liên tục tại $x=2$ : cần $g(2)=\lim_{x \to 2} g(x)$ , tức $m=4$ .
Để $g$ liên tục tại $x=2$: cần $g(2)=\lim_{x \to 2} g(x)$, tức $m=4$.
4
Vậy $m=4$ , và khi đó $g(x)=x+2$ với mọi $x$ (kể cả $x=2$ , vì $g(2)=4=2+2$ ) — đồ thị của $g$ chính là đường thẳng $y=x+2$ , không còn lỗ hổng nào.
Vậy $m=4$, và khi đó $g(x)=x+2$ với mọi $x$ (kể cả $x=2$, vì $g(2)=4=2+2$) — đồ thị của $g$ chính là đường thẳng $y=x+2$, không còn lỗ hổng nào.
5
So sánh với đúng bài toán tương tự đã giải ở Chương 4 (cùng hàm số $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ tại $x=1$ cho $m=2$ ): cùng một dạng bài, chỉ khác con số cụ thể, và kĩ thuật áp dụng — tính giới hạn rồi cho bằng giá trị tại điểm — hoàn toàn không đổi.
So sánh với đúng bài toán tương tự đã giải ở Chương 4 (cùng hàm số $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ tại $x=1$ cho $m=2$): cùng một dạng bài, chỉ khác con số cụ thể, và kĩ thuật áp dụng — tính giới hạn rồi cho bằng giá trị tại điểm — hoàn toàn không đổi.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm tổng hợp hay gặp nhất khi ôn tập: áp dụng đúng một kĩ thuật nhưng sai ngữ cảnh — ví dụ dùng cách chia cho luỹ thừa cao nhất (dành cho giới hạn tại vô cực) cho một bài giới hạn tại điểm hữu hạn, hoặc ngược lại cố phân tích nhân tử cho một bài không hề có dạng $\dfrac{0}{0}$ . Luôn thực hiện đúng bước một (nhận dạng) trước khi chọn kĩ thuật ở bước ba. Một lỗi tổng hợp khác: đọc đề hỏi "chứng minh liên tục" hay "tìm $m$ để liên tục" nhưng lại trả lời bằng một phép tính giới hạn đơn thuần rồi dừng — quên bước cuối cùng là đối chiếu giới hạn đó với giá trị hàm số tại điểm đang xét, vốn là chính điều đề bài hỏi.

Sai lầm tổng hợp hay gặp nhất khi ôn tập: áp dụng đúng một kĩ thuật nhưng sai ngữ cảnh — ví dụ dùng cách chia cho luỹ thừa cao nhất (dành cho giới hạn tại vô cực) cho một bài giới hạn tại điểm hữu hạn, hoặc ngược lại cố phân tích nhân tử cho một bài không hề có dạng $\dfrac{0}{0}$. Luôn thực hiện đúng bước một (nhận dạng) trước khi chọn kĩ thuật ở bước ba. Một lỗi tổng hợp khác: đọc đề hỏi "chứng minh liên tục" hay "tìm $m$ để liên tục" nhưng lại trả lời bằng một phép tính giới hạn đơn thuần rồi dừng — quên bước cuối cùng là đối chiếu giới hạn đó với giá trị hàm số tại điểm đang xét, vốn là chính điều đề bài hỏi.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Quy trình chung: nhận dạng biến và điểm tiến tới → thử thay trực tiếp → khử dạng vô định đúng kĩ thuật (nhân tử / chia luỹ thừa cao nhất / liên hợp) → tính giới hạn → áp dụng cho liên tục (so với $f(a)$ ) hoặc cho định lí giá trị trung gian (xét dấu $f(a) \cdot f(b)$ ).

Quy trình chung: nhận dạng biến và điểm tiến tới → thử thay trực tiếp → khử dạng vô định đúng kĩ thuật (nhân tử / chia luỹ thừa cao nhất / liên hợp) → tính giới hạn → áp dụng cho liên tục (so với $f(a)$) hoặc cho định lí giá trị trung gian (xét dấu $f(a) \cdot f(b)$).

Khoá học tiếp theo dùng chính khái niệm giới hạn vừa hoàn thiện ở đây để định nghĩa đạo hàm — tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số — mở ra cả một chương công cụ mới để phân tích hàm số. Mọi kĩ thuật giới hạn em vừa ôn lại ở bài này — phân tích nhân tử, chia luỹ thừa cao nhất, nhân biểu thức liên hợp — sẽ quay lại nguyên vẹn ngay trong định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn của tỉ số biến thiên, nên hãy giữ chắc những kĩ thuật này trước khi bước tiếp.