Bài học

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được thế nào là một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, chứng minh được điều đó bằng dấu hiệu "vuông góc với hai đường cắt nhau", và sử dụng tính chất suy ra để chứng minh những cặp vuông góc khác trong hình.

Bài trước em đã biết hai đường thẳng vuông góc trong không gian không cần cắt nhau. Bài này dùng đúng khái niệm đó để định nghĩa một quan hệ mạnh hơn nhiều: một đường thẳng vuông góc với toàn bộ một mặt phẳng, tức là vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy — không chỉ một, mà là tất cả.

Khởi động

Một cây cột đèn dựng trên sân trường được coi là "dựng thẳng đứng", tức vuông góc với mặt sân. Nhưng mặt sân có vô số đường thẳng đi qua chân cột — làm sao kiểm tra cột vuông góc với tất cả các đường ấy trong khi ta không thể đo từng đường một? Định lí trong bài này trả lời đúng câu hỏi đó: chỉ cần kiểm tra với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt sân, kết luận đúng cho mọi đường còn lại được suy ra miễn phí.

Định nghĩa và dấu hiệu nhận biết

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳngĐường thẳng

d

được gọi là vuông góc với mặt phẳng

(P)

, kí hiệu

d \perp (P)

, nếu

d

vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong

(P)

.Đường thẳng $d$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$, kí hiệu $d \perp (P)$, nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.

Định nghĩa trên đúng nhưng không thể kiểm tra trực tiếp — mặt phẳng có vô số đường thẳng. Định lí sau (được thừa nhận, không yêu cầu chứng minh ở chương trình này) cho một dấu hiệu hữu hạn: nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$ , thì $d \perp (P)$ . Ngược lại, khi đã biết $d \perp (P)$ , ta được dùng miễn phí tính chất suy ra: $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ , dù đường đó có đi qua chân đường vuông góc hay không.

Định nghĩa trên đúng nhưng không thể kiểm tra trực tiếp — mặt phẳng có vô số đường thẳng. Định lí sau (được thừa nhận, không yêu cầu chứng minh ở chương trình này) cho một dấu hiệu hữu hạn: nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$, $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$, thì $d \perp (P)$. Ngược lại, khi đã biết $d \perp (P)$, ta được dùng miễn phí tính chất suy ra: $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$, dù đường đó có đi qua chân đường vuông góc hay không.

Định lí này chính là bài toán "kiểm tra cây cột đèn" ở phần khởi động, phát biểu lại bằng ngôn ngữ hình học: người thợ không cần đo cột với từng viên gạch của sân, chỉ cần đặt êke kiểm tra với hai cạnh vuông góc bất kì của sân (hai đường cắt nhau) là đủ. Về bản chất, dấu hiệu này gắn liền với khái niệm góc giữa hai đường thẳng ở bài trước: " $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ " chỉ là cách nói gọn cho "góc giữa $d$ và mọi đường thẳng của $(P)$ đều bằng $90°$ " — và định lí cho biết chỉ cần xác minh với hai đường cắt nhau, phần còn lại tự động đúng theo tính chất suy ra.

Định lí này chính là bài toán "kiểm tra cây cột đèn" ở phần khởi động, phát biểu lại bằng ngôn ngữ hình học: người thợ không cần đo cột với từng viên gạch của sân, chỉ cần đặt êke kiểm tra với hai cạnh vuông góc bất kì của sân (hai đường cắt nhau) là đủ. Về bản chất, dấu hiệu này gắn liền với khái niệm góc giữa hai đường thẳng ở bài trước: "$d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$" chỉ là cách nói gọn cho "góc giữa $d$ và mọi đường thẳng của $(P)$ đều bằng $90°$" — và định lí cho biết chỉ cần xác minh với hai đường cắt nhau, phần còn lại tự động đúng theo tính chất suy ra.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, biết $SA \perp AB$ và $SA \perp AD$ . Chứng minh $SA \perp (ABCD)$ .
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, biết $SA \perp AB$ và $SA \perp AD$. Chứng minh $SA \perp (ABCD)$.
2
Ta có $AB$ và $AD$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $A$ , và cả hai đều nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ (hai cạnh liên tiếp của hình vuông đáy).
Ta có $AB$ và $AD$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $A$, và cả hai đều nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ (hai cạnh liên tiếp của hình vuông đáy).
3
Theo giả thiết, $SA \perp AB$ và $SA \perp AD$ — $SA$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ , $AD$ đều nằm trong $(ABCD)$ .
Theo giả thiết, $SA \perp AB$ và $SA \perp AD$ — $SA$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$, $AD$ đều nằm trong $(ABCD)$.
4
Theo dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $SA \perp (ABCD)$ . Từ đây, $SA$ vuông góc với MỌI đường thẳng nằm trong đáy — kể cả những đường không đi qua $A$ , chẳng hạn đường chéo $BD$ — chứ không dừng lại ở riêng $AB$ , $AD$ đã dùng để chứng minh.
Theo dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $SA \perp (ABCD)$. Từ đây, $SA$ vuông góc với MỌI đường thẳng nằm trong đáy — kể cả những đường không đi qua $A$, chẳng hạn đường chéo $BD$ — chứ không dừng lại ở riêng $AB$, $AD$ đã dùng để chứng minh.

Lời giải có hình

SA vuông góc với hai đường cắt nhau trong đáy

Bước 1

Cho hình vuông đáy $ABCD$ với hai cạnh $AB$ , $AD$ cắt nhau tại $A$ .Cho hình vuông đáy $ABCD$ với hai cạnh $AB$, $AD$ cắt nhau tại $A$.

Ví dụ

Khai thác tính chất suy ra để tìm thêm cặp vuông góc

1
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên, đáy là hình vuông, $SA \perp (ABCD)$ . Chứng minh $BD \perp SC$ .
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên, đáy là hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh $BD \perp SC$.
2
Vì $SA \perp (ABCD)$ và $BD$ nằm trong $(ABCD)$ , theo tính chất suy ra, $SA \perp BD$ . (1)
Vì $SA \perp (ABCD)$ và $BD$ nằm trong $(ABCD)$, theo tính chất suy ra, $SA \perp BD$. (1)
3
Hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau, nên $BD \perp AC$ . (2)
Hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau, nên $BD \perp AC$. (2)
4
Từ (1) và (2): $BD$ vuông góc với hai đường thẳng $SA$ và $AC$ — mà $SA$ , $AC$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ . Theo dấu hiệu nhận biết, $BD \perp (SAC)$ .
Từ (1) và (2): $BD$ vuông góc với hai đường thẳng $SA$ và $AC$ — mà $SA$, $AC$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$. Theo dấu hiệu nhận biết, $BD \perp (SAC)$.
5
Vì $SC$ nằm trong $(SAC)$ và $BD \perp (SAC)$ , theo tính chất suy ra, $BD \perp SC$ . Vậy $BD \perp SC$ — hai đường thẳng này chéo nhau trong không gian nhưng vẫn vuông góc theo đúng nghĩa đã học ở bài trước.
Vì $SC$ nằm trong $(SAC)$ và $BD \perp (SAC)$, theo tính chất suy ra, $BD \perp SC$. Vậy $BD \perp SC$ — hai đường thẳng này chéo nhau trong không gian nhưng vẫn vuông góc theo đúng nghĩa đã học ở bài trước.

Ví dụ

Dựng một đường vuông góc với cả một mặt phẳng khác

1
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ như trên. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $SB$ (tức $AH \perp SB$ , $H \in SB$ ). Chứng minh $AH \perp (SBC)$ .
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ như trên. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $SB$ (tức $AH \perp SB$, $H \in SB$). Chứng minh $AH \perp (SBC)$.
2
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC \perp AB$ . (1) Vì $SA \perp (ABCD)$ và $BC$ nằm trong $(ABCD)$ , theo tính chất suy ra, $SA \perp BC$ . (2) Từ (1) và (2): $BC$ vuông góc với hai đường cắt nhau $AB$ , $SA$ cùng nằm trong $(SAB)$ , nên theo dấu hiệu, $BC \perp (SAB)$ .
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC \perp AB$. (1) Vì $SA \perp (ABCD)$ và $BC$ nằm trong $(ABCD)$, theo tính chất suy ra, $SA \perp BC$. (2) Từ (1) và (2): $BC$ vuông góc với hai đường cắt nhau $AB$, $SA$ cùng nằm trong $(SAB)$, nên theo dấu hiệu, $BC \perp (SAB)$.
3
Vì $AH$ nằm trong $(SAB)$ và $BC \perp (SAB)$ , theo tính chất suy ra, $BC \perp AH$ . (3)
Vì $AH$ nằm trong $(SAB)$ và $BC \perp (SAB)$, theo tính chất suy ra, $BC \perp AH$. (3)
4
Theo giả thiết dựng hình, $AH \perp SB$ . (4) Từ (3) và (4): $AH$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BC$ , $SB$ cùng nằm trong $(SBC)$ . Theo dấu hiệu nhận biết, $AH \perp (SBC)$ .
Theo giả thiết dựng hình, $AH \perp SB$. (4) Từ (3) và (4): $AH$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BC$, $SB$ cùng nằm trong $(SBC)$. Theo dấu hiệu nhận biết, $AH \perp (SBC)$.
5
Vậy đoạn $AH$ — vốn chỉ được dựng để vuông góc với riêng $SB$ — hoá ra vuông góc với cả mặt phẳng $(SBC)$ . Kĩ thuật "dựng một đường vuông góc với một cạnh rồi chứng minh nó vuông góc với cả mặt phẳng chứa cạnh đó" sẽ được dùng lại nguyên vẹn khi tính khoảng cách ở Chương 4.
Vậy đoạn $AH$ — vốn chỉ được dựng để vuông góc với riêng $SB$ — hoá ra vuông góc với cả mặt phẳng $(SBC)$. Kĩ thuật "dựng một đường vuông góc với một cạnh rồi chứng minh nó vuông góc với cả mặt phẳng chứa cạnh đó" sẽ được dùng lại nguyên vẹn khi tính khoảng cách ở Chương 4.

Bẫy hay gặp

Học sinh hay dừng lại ngay sau khi chỉ ra đường thẳng vuông góc với MỘT đường trong mặt phẳng rồi vội kết luận nó vuông góc với cả mặt phẳng — dấu hiệu đòi hỏi đúng HAI đường cắt nhau, thiếu một đường là kết luận chưa có cơ sở. Bẫy thứ hai: quên rằng hai đường dùng trong dấu hiệu phải cắt nhau — nếu chọn nhầm hai đường song song (ví dụ $AB$ và $CD$ ), dù vuông góc cả hai, dấu hiệu vẫn không áp dụng được vì chúng không "kẹp" đủ các phương của mặt phẳng.

Học sinh hay dừng lại ngay sau khi chỉ ra đường thẳng vuông góc với MỘT đường trong mặt phẳng rồi vội kết luận nó vuông góc với cả mặt phẳng — dấu hiệu đòi hỏi đúng HAI đường cắt nhau, thiếu một đường là kết luận chưa có cơ sở. Bẫy thứ hai: quên rằng hai đường dùng trong dấu hiệu phải cắt nhau — nếu chọn nhầm hai đường song song (ví dụ $AB$ và $CD$), dù vuông góc cả hai, dấu hiệu vẫn không áp dụng được vì chúng không "kẹp" đủ các phương của mặt phẳng.

Luyện tập

Ghi nhớ

Muốn chứng minh $d \perp (P)$ : tìm hai đường thẳng cắt nhau trong $(P)$ , chứng minh $d$ vuông góc với từng đường, rồi kết luận theo dấu hiệu. Một khi đã có $d \perp (P)$ , được dùng miễn phí tính chất suy ra để tìm thêm bất kì cặp vuông góc nào khác liên quan đến $d$ và một đường bất kì trong $(P)$ — kể cả khi hai đường đó chéo nhau.

Muốn chứng minh $d \perp (P)$: tìm hai đường thẳng cắt nhau trong $(P)$, chứng minh $d$ vuông góc với từng đường, rồi kết luận theo dấu hiệu. Một khi đã có $d \perp (P)$, được dùng miễn phí tính chất suy ra để tìm thêm bất kì cặp vuông góc nào khác liên quan đến $d$ và một đường bất kì trong $(P)$ — kể cả khi hai đường đó chéo nhau.

Chương tiếp theo dùng chính khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vừa học để định nghĩa góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng — đại lượng đo mức độ "xiên" của một đường thẳng so với một mặt phẳng, xuất hiện trong hầu hết đề kiểm tra hình không gian lớp 11.