Bài học

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và đến mặt phẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và từ một điểm đến một mặt phẳng, bằng cách dựng đúng đoạn vuông góc rồi tận dụng những cặp vuông góc đã chứng minh ở các chương trước.

Bài học không giới thiệu công cụ chứng minh mới — toàn bộ nguyên liệu đã có sẵn: dấu hiệu và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Chương 1), và dấu hiệu, hệ quả của hai mặt phẳng vuông góc (Chương 3). Bài này chỉ đặt tên cho một đại lượng và chỉ ra cách tính nó bằng chính những chứng minh quen thuộc đó.

Khởi động

Một chiếc đèn chùm treo giữa trần nhà cách sàn một khoảng nào đó — khoảng cách ngắn nhất từ bóng đèn xuống sàn chính là độ dài dây treo nếu dây treo thẳng đứng. Nhưng nếu ta hỏi khoảng cách ngắn nhất từ bóng đèn đến một bức TƯỜNG (không phải sàn) thì sao — dây treo thẳng đứng không còn giúp ích trực tiếp nữa. Bài học này trả lời chính xác câu hỏi đó: khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bất kì, không chỉ mặt phẳng nằm ngay dưới chân điểm đó.

Định nghĩa khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳngKhoảng cách từ điểm

M

đến đường thẳng

d

là độ dài đoạn

MH

, với

H

là hình chiếu vuông góc của

M

lên

d

— đoạn ngắn nhất nối

M

với một điểm bất kì của

d

.Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$ là độ dài đoạn $MH$, với $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$ — đoạn ngắn nhất nối $M$ với một điểm bất kì của $d$.

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngKhoảng cách từ điểm

M

đến mặt phẳng

(P)

là độ dài đoạn

MH

, với

H

là hình chiếu vuông góc của

M

lên

(P)

— đoạn ngắn nhất nối

M

với một điểm bất kì của

(P)

.Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là độ dài đoạn $MH$, với $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ — đoạn ngắn nhất nối $M$ với một điểm bất kì của $(P)$.

Cả hai định nghĩa đều có cùng một cấu trúc: dựng đoạn vuông góc từ điểm đến đối tượng cần đo, rồi đo chính đoạn đó. Cái khó không nằm ở định nghĩa mà ở việc DỰNG đúng đoạn vuông góc — với đường thẳng, chân $H$ thường lộ ra ngay trong một tam giác đã có sẵn của hình; với mặt phẳng, $H$ thường phải dựng thêm bằng đúng kĩ thuật đã luyện ở Chương 1 và Chương 3: dựng một đoạn vuông góc với một đường trong mặt phẳng, rồi chứng minh đoạn đó vuông góc với cả mặt phẳng.

Vì sao đoạn vuông góc luôn là đoạn ngắn nhất? Với bất kì điểm $N \neq H$ khác trên $(P)$ , tam giác $MHN$ vuông tại $H$ (vì $MH \perp (P)$ nên $MH \perp HN$ ), nên theo Pythagoras, $MN^2 = MH^2 + HN^2 > MH^2$ , suy ra $MN > MH$ . Vậy trong mọi đoạn nối $M$ với một điểm của $(P)$ , đoạn vuông góc $MH$ luôn ngắn nhất — đúng lí do khoảng cách được định nghĩa bằng đoạn đó chứ không phải một đoạn xiên tuỳ ý.

Vì sao đoạn vuông góc luôn là đoạn ngắn nhất? Với bất kì điểm $N \neq H$ khác trên $(P)$, tam giác $MHN$ vuông tại $H$ (vì $MH \perp (P)$ nên $MH \perp HN$), nên theo Pythagoras, $MN^2 = MH^2 + HN^2 > MH^2$, suy ra $MN > MH$. Vậy trong mọi đoạn nối $M$ với một điểm của $(P)$, đoạn vuông góc $MH$ luôn ngắn nhất — đúng lí do khoảng cách được định nghĩa bằng đoạn đó chứ không phải một đoạn xiên tuỳ ý.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Trường hợp đơn giản nhất: khoảng cách đã có sẵn trong giả thiết

1
Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$ cm, $SA \perp (ABCD)$ , $SA = 4$ cm. Tính khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ .
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$ cm, $SA \perp (ABCD)$, $SA = 4$ cm. Tính khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$.
2
Vì $SA \perp (ABCD)$ , chân đường vuông góc hạ từ $S$ xuống $(ABCD)$ chính là điểm $A$ .
Vì $SA \perp (ABCD)$, chân đường vuông góc hạ từ $S$ xuống $(ABCD)$ chính là điểm $A$.
3
Vậy khoảng cách từ $S$ đến $(ABCD)$ chính là đoạn $SA = 4$ cm — trường hợp đơn giản nhất, khi giả thiết đã cho sẵn đường vuông góc, không cần dựng thêm gì.
Vậy khoảng cách từ $S$ đến $(ABCD)$ chính là đoạn $SA = 4$ cm — trường hợp đơn giản nhất, khi giả thiết đã cho sẵn đường vuông góc, không cần dựng thêm gì.

Ví dụ

Dựng đường vuông góc để tính khoảng cách đến một đường thẳng và một mặt phẳng

1
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên. Tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SB$ , và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ .
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên. Tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SB$, và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
2
Trong mặt phẳng $(SAB)$ , gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ , tức $AH \perp SB$ tại $H$ . Theo đúng định nghĩa, $AH$ chính là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SB$ .
Trong mặt phẳng $(SAB)$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$, tức $AH \perp SB$ tại $H$. Theo đúng định nghĩa, $AH$ chính là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SB$.
3
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (vì $SA \perp AB$ ) có $SA = 4$ , $AB = 4$ , nên $SB = \sqrt{SA^2+AB^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (đường cao ứng với cạnh huyền): $AH = \dfrac{SA \cdot AB}{SB} = \dfrac{4 \cdot 4}{4\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ cm.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (vì $SA \perp AB$) có $SA = 4$, $AB = 4$, nên $SB = \sqrt{SA^2+AB^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (đường cao ứng với cạnh huyền): $AH = \dfrac{SA \cdot AB}{SB} = \dfrac{4 \cdot 4}{4\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ cm.
4
$BC \perp AB$ (hình vuông) và $BC \perp SA$ (tính chất suy ra từ $SA \perp (ABCD)$ ), nên $BC \perp (SAB)$ — kết quả đã quen từ Chương 1 và Chương 3. Vì $AH \subset (SAB)$ , suy ra $BC \perp AH$ . Kết hợp với $AH \perp SB$ (bước 1) và $SB$ , $BC$ cắt nhau tại $B$ cùng nằm trong $(SBC)$ , theo dấu hiệu, $AH \perp (SBC)$ .
$BC \perp AB$ (hình vuông) và $BC \perp SA$ (tính chất suy ra từ $SA \perp (ABCD)$), nên $BC \perp (SAB)$ — kết quả đã quen từ Chương 1 và Chương 3. Vì $AH \subset (SAB)$, suy ra $BC \perp AH$. Kết hợp với $AH \perp SB$ (bước 1) và $SB$, $BC$ cắt nhau tại $B$ cùng nằm trong $(SBC)$, theo dấu hiệu, $AH \perp (SBC)$.
5
Vậy khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SB$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ CÙNG bằng $AH = 2\sqrt{2}$ cm — một đoạn dựng ra để phục vụ mục đích đầu tiên hoá ra giải quyết luôn mục đích thứ hai.
Vậy khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SB$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ CÙNG bằng $AH = 2\sqrt{2}$ cm — một đoạn dựng ra để phục vụ mục đích đầu tiên hoá ra giải quyết luôn mục đích thứ hai.

Lời giải có hình

Chân đường vuông góc H dùng chung cho hai loại khoảng cách

Bước 1

Tam giác $SAB$ với $SA \perp AB$ (giả thiết) — cạnh huyền $SB$ .Tam giác $SAB$ với $SA \perp AB$ (giả thiết) — cạnh huyền $SB$.

Ví dụ

Dùng lại một khoảng cách đã tính từ chương trước

1
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở trên, $O$ là giao điểm hai đường chéo đáy. Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$ .
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở trên, $O$ là giao điểm hai đường chéo đáy. Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.
2
Ở Chương 3, ta đã chứng minh $OB \perp (SAC)$ (nhờ $(ABCD) \perp (SAC)$ và $OB \perp AC$ tại giao tuyến $AC$ ). Theo đúng định nghĩa, đoạn $OB$ chính là khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$ .
Ở Chương 3, ta đã chứng minh $OB \perp (SAC)$ (nhờ $(ABCD) \perp (SAC)$ và $OB \perp AC$ tại giao tuyến $AC$). Theo đúng định nghĩa, đoạn $OB$ chính là khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$.
3
$O$ là trung điểm đường chéo $BD$ , nên $OB = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ cm (đã tính ở Chương 3).
$O$ là trung điểm đường chéo $BD$, nên $OB = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ cm (đã tính ở Chương 3).
4
Vậy khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$ bằng $2\sqrt{2}$ cm — đúng bằng khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ ở ví dụ 2, một sự trùng khớp thú vị đến từ tính đối xứng của hình chóp này khi $SA = a$ .
Vậy khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$ bằng $2\sqrt{2}$ cm — đúng bằng khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ ở ví dụ 2, một sự trùng khớp thú vị đến từ tính đối xứng của hình chóp này khi $SA = a$.

Cả ba đều tính trên cùng một hình chóp S.ABCD (a = SA = 4 cm) để đối chiếu trực quan độ lớn.

Bẫy hay gặp

Sai lầm phổ biến nhất: lấy MỘT đoạn vuông góc bất kì trong hình rồi gọi đó là khoảng cách, mà quên kiểm tra đoạn đó có thật sự vuông góc với TOÀN BỘ mặt phẳng (không chỉ một đường trong đó) hay chưa — thiếu bước chứng minh này, con số tính ra không phải khoảng cách thật. Sai lầm thứ hai: khi điểm và mặt phẳng chưa có sẵn đường vuông góc lộ ra, học sinh cố đo một đoạn xiên bất kì (không vuông góc) rồi coi đó là khoảng cách — khoảng cách LUÔN LÀ đoạn vuông góc, mọi đoạn xiên khác đều dài hơn.

Luyện tập

Ghi nhớ

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc một mặt phẳng luôn là độ dài đoạn VUÔNG GÓC ngắn nhất — không phải một đoạn xiên tuỳ ý. Khi mặt phẳng đích chưa có sẵn đường vuông góc lộ ra, hãy tìm một mặt phẳng phụ chứa điểm xuất phát, dựng đường vuông góc với một cạnh trong mặt phẳng phụ đó, rồi chứng minh đường ấy vuông góc với CẢ mặt phẳng đích bằng đúng dấu hiệu của Chương 1 và Chương 3 — đây là kĩ thuật lõi của toàn bộ bài toán khoảng cách.

Chương cuối cùng của chủ đề này dùng lại chính khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ — chiều cao của cả hai công thức thể tích chính là một khoảng cách đã học ở chương này.