Bài học

Hai mặt phẳng vuông góc — điều kiện và hệ quả

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu và áp dụng được dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc (không cần dựng góc phẳng mỗi lần), và dùng hệ quả của nó để tìm thêm những đường thẳng vuông góc với mặt phẳng mới trong hình.

Bài học dùng trực tiếp góc nhị diện $90°$ vừa gặp ở bài trước, cùng dấu hiệu và tính chất suy ra của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Chương 1). Tính chất hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau (đã học từ THCS) cũng được dùng lại ở đây.

Khởi động

Ở bài trước, em đã tính được góc nhị diện cạnh $AB$ giữa mặt bên $(SAB)$ và đáy $(ABCD)$ bằng đúng $90°$ — nhưng phải dựng hẳn hai tia vuông góc rồi đo. Có cách nào nhận ra ngay hai mặt phẳng vuông góc mà không cần dựng góc phẳng mỗi lần không? Câu trả lời nằm ở mối liên hệ giữa "một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng" (đã học) và "hai mặt phẳng vuông góc" (sắp học).

Định nghĩa và dấu hiệu nhận biết

Hai mặt phẳng vuông gócHai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu

(P) \perp (Q)

, nếu góc nhị diện tạo bởi chúng bằng

90°

.Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu $(P) \perp (Q)$, nếu góc nhị diện tạo bởi chúng bằng $90°$.

Định lí sau (thừa nhận, không chứng minh ở chương trình này) là dấu hiệu chính của cả bài: nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa một đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ , thì $(P) \perp (Q)$ . Dấu hiệu này biến bài toán "đo một góc nhị diện" thành bài toán quen thuộc hơn nhiều: "tìm một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng" — đúng kĩ năng đã luyện ở Chương 1. Đi kèm là một hệ quả rất hữu ích: nếu $(P) \perp (Q)$ với giao tuyến $\Delta$ , và $a$ là một đường thẳng nằm trong $(P)$ mà $a \perp \Delta$ , thì $a \perp (Q)$ — tức là một khi đã biết hai mặt phẳng vuông góc, ta được quyền suy ra thêm những cặp đường-mặt vuông góc mới chỉ từ một điều kiện vuông góc với giao tuyến.

Định lí sau (thừa nhận, không chứng minh ở chương trình này) là dấu hiệu chính của cả bài: nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa một đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, thì $(P) \perp (Q)$. Dấu hiệu này biến bài toán "đo một góc nhị diện" thành bài toán quen thuộc hơn nhiều: "tìm một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng" — đúng kĩ năng đã luyện ở Chương 1. Đi kèm là một hệ quả rất hữu ích: nếu $(P) \perp (Q)$ với giao tuyến $\Delta$, và $a$ là một đường thẳng nằm trong $(P)$ mà $a \perp \Delta$, thì $a \perp (Q)$ — tức là một khi đã biết hai mặt phẳng vuông góc, ta được quyền suy ra thêm những cặp đường-mặt vuông góc mới chỉ từ một điều kiện vuông góc với giao tuyến.

Một hệ quả trực tiếp đáng nhớ: nếu $SA \perp (ABCD)$ thì MỌI mặt phẳng chứa $SA$ đều vuông góc với $(ABCD)$ — không cần xét riêng từng mặt $(SAB)$ , $(SAD)$ hay $(SAC)$ . Đó là lí do ba bài toán tưởng như độc lập ở phần "góc nhị diện" của bài trước (cạnh $AB$ , cạnh $AD$ đều cho $90°$ ) và ví dụ 1 dưới đây ( $(SAC) \perp (ABCD)$ ) đều đúng cùng một lúc: cả ba chỉ là biểu hiện khác nhau của MỘT sự kiện duy nhất — $SA$ vuông góc với mặt đáy.

Một hệ quả trực tiếp đáng nhớ: nếu $SA \perp (ABCD)$ thì MỌI mặt phẳng chứa $SA$ đều vuông góc với $(ABCD)$ — không cần xét riêng từng mặt $(SAB)$, $(SAD)$ hay $(SAC)$. Đó là lí do ba bài toán tưởng như độc lập ở phần "góc nhị diện" của bài trước (cạnh $AB$, cạnh $AD$ đều cho $90°$) và ví dụ 1 dưới đây ($(SAC) \perp (ABCD)$) đều đúng cùng một lúc: cả ba chỉ là biểu hiện khác nhau của MỘT sự kiện duy nhất — $SA$ vuông góc với mặt đáy.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

1
Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$ cm, $SA \perp (ABCD)$ , $SA = 4$ cm. Chứng minh $(SAC) \perp (ABCD)$ .
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$ cm, $SA \perp (ABCD)$, $SA = 4$ cm. Chứng minh $(SAC) \perp (ABCD)$.
2
Hai đường chéo hình vuông vuông góc với nhau: $BD \perp AC$ . (1) Vì $SA \perp (ABCD)$ và $BD \subset (ABCD)$ , theo tính chất suy ra, $SA \perp BD$ . (2)
Hai đường chéo hình vuông vuông góc với nhau: $BD \perp AC$. (1) Vì $SA \perp (ABCD)$ và $BD \subset (ABCD)$, theo tính chất suy ra, $SA \perp BD$. (2)
3
Từ (1) và (2): $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ , $SA$ cùng nằm trong $(SAC)$ . Theo dấu hiệu Chương 1, $BD \perp (SAC)$ .
Từ (1) và (2): $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$, $SA$ cùng nằm trong $(SAC)$. Theo dấu hiệu Chương 1, $BD \perp (SAC)$.
4
$BD \perp (SAC)$ và $BD \subset (ABCD)$ — mặt phẳng $(ABCD)$ chứa một đường thẳng vuông góc với $(SAC)$ .
$BD \perp (SAC)$ và $BD \subset (ABCD)$ — mặt phẳng $(ABCD)$ chứa một đường thẳng vuông góc với $(SAC)$.
5
Theo dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc, $(ABCD) \perp (SAC)$ .
Theo dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc, $(ABCD) \perp (SAC)$.

Lời giải có hình

Hai đường chéo hình vuông vuông góc tại tâm O

Bước 1

Nhìn từ trên xuống mặt đáy $ABCD$ — một hình vuông thật sự, không méo qua phối cảnh.Nhìn từ trên xuống mặt đáy $ABCD$ — một hình vuông thật sự, không méo qua phối cảnh.

Ví dụ

Dùng hệ quả để tìm thêm một đường vuông góc với mặt phẳng

1
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên, gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ , $BD$ . Chứng minh $OB \perp (SAC)$ , từ đó tính khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$ .
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên, gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$, $BD$. Chứng minh $OB \perp (SAC)$, từ đó tính khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$.
2
Theo ví dụ 1, $(ABCD) \perp (SAC)$ với giao tuyến $AC$ . Vì $OB \subset (ABCD)$ và $OB \perp AC$ (hai đường chéo hình vuông vuông góc tại $O$ ), theo hệ quả, $OB \perp (SAC)$ .
Theo ví dụ 1, $(ABCD) \perp (SAC)$ với giao tuyến $AC$. Vì $OB \subset (ABCD)$ và $OB \perp AC$ (hai đường chéo hình vuông vuông góc tại $O$), theo hệ quả, $OB \perp (SAC)$.
3
Vì $OB \perp (SAC)$ , đoạn $OB$ chính là đoạn vuông góc ngắn nhất nối từ $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$ — tức $OB$ chính là khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$ , khái niệm sẽ được đặt tên chính thức ở Chương 4.
Vì $OB \perp (SAC)$, đoạn $OB$ chính là đoạn vuông góc ngắn nhất nối từ $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$ — tức $OB$ chính là khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$, khái niệm sẽ được đặt tên chính thức ở Chương 4.
4
$O$ là trung điểm đường chéo $BD$ (tính chất hình vuông), nên $OB = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ cm.
$O$ là trung điểm đường chéo $BD$ (tính chất hình vuông), nên $OB = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ cm.
5
Vậy khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$ bằng $2\sqrt{2}$ cm — và đáng chú ý, kết quả này không phụ thuộc chiều cao $SA$ của hình chóp, vì $OB$ nằm hoàn toàn trong mặt đáy.
Vậy khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$ bằng $2\sqrt{2}$ cm — và đáng chú ý, kết quả này không phụ thuộc chiều cao $SA$ của hình chóp, vì $OB$ nằm hoàn toàn trong mặt đáy.

Ví dụ

Áp dụng dấu hiệu cho một hình chóp có đáy tam giác

1
Cho hình chóp $S.ABC$ , đáy $ABC$ vuông tại $B$ , $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm, $SA \perp (ABC)$ , $SA = 5$ cm. Chứng minh $(SBC) \perp (SAB)$ .
Cho hình chóp $S.ABC$, đáy $ABC$ vuông tại $B$, $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm, $SA \perp (ABC)$, $SA = 5$ cm. Chứng minh $(SBC) \perp (SAB)$.
2
$BC \perp AB$ (giả thiết vuông tại $B$ ). (1) $SA \perp (ABC)$ và $BC \subset (ABC)$ , theo tính chất suy ra, $SA \perp BC$ . (2)
$BC \perp AB$ (giả thiết vuông tại $B$). (1) $SA \perp (ABC)$ và $BC \subset (ABC)$, theo tính chất suy ra, $SA \perp BC$. (2)
3
Từ (1), (2): $BC$ vuông góc hai đường cắt nhau $AB$ , $SA$ cùng nằm trong $(SAB)$ , nên $BC \perp (SAB)$ .
Từ (1), (2): $BC$ vuông góc hai đường cắt nhau $AB$, $SA$ cùng nằm trong $(SAB)$, nên $BC \perp (SAB)$.
4
$BC \subset (SBC)$ và $BC \perp (SAB)$ , nên theo dấu hiệu, $(SBC) \perp (SAB)$ — mái nhà hai dốc dựng trên nền tam giác vuông này thật sự gặp nhau theo một góc vuông giữa hai mặt.
$BC \subset (SBC)$ và $BC \perp (SAB)$, nên theo dấu hiệu, $(SBC) \perp (SAB)$ — mái nhà hai dốc dựng trên nền tam giác vuông này thật sự gặp nhau theo một góc vuông giữa hai mặt.

Bẫy hay gặp

Sai lầm phổ biến: dùng hệ quả mà quên kiểm tra đường thẳng đang xét có thật sự nằm trong MỘT TRONG HAI mặt phẳng đã biết vuông góc, và có vuông góc với đúng GIAO TUYẾN của chúng hay không — thiếu một trong hai điều kiện, hệ quả không áp dụng được. Sai lầm khác: nhầm chiều dấu hiệu — dấu hiệu đi từ "một đường vuông góc với một mặt" suy ra "hai mặt vuông góc", không phải chiều ngược lại; biết hai mặt phẳng vuông góc không có nghĩa MỌI đường trong mặt này đều vuông góc với mặt kia, chỉ những đường vuông góc với giao tuyến mới được (đó chính là nội dung của hệ quả, không phải một quy tắc tự động).

Luyện tập

Ghi nhớ

Muốn chứng minh $(P) \perp (Q)$ : tìm một đường thẳng $d \subset (Q)$ (hoặc $(P)$ ) sao cho $d$ vuông góc với mặt phẳng còn lại, theo đúng dấu hiệu Chương 1. Một khi đã có $(P) \perp (Q)$ với giao tuyến $\Delta$ , hệ quả cho phép tìm thêm: mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ và vuông góc với $\Delta$ đều tự động vuông góc với $(Q)$ .

Muốn chứng minh $(P) \perp (Q)$: tìm một đường thẳng $d \subset (Q)$ (hoặc $(P)$) sao cho $d$ vuông góc với mặt phẳng còn lại, theo đúng dấu hiệu Chương 1. Một khi đã có $(P) \perp (Q)$ với giao tuyến $\Delta$, hệ quả cho phép tìm thêm: mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ và vuông góc với $\Delta$ đều tự động vuông góc với $(Q)$.

Cả bốn chương đầu — góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng vuông góc mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc — đã dựng đủ bộ công cụ chứng minh quan hệ vuông góc. Chương tiếp theo dùng đúng những công cụ ấy để đo một đại lượng có thể tính bằng số ngay: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc một mặt phẳng trong không gian.