Bài học

Hình chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định được hình chiếu vuông góc của một điểm và của một đường thẳng lên một mặt phẳng, từ đó tính được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng cách quy về góc trong một tam giác vuông.

Bài học dùng trực tiếp khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vừa học ở Chương 1 để định nghĩa hình chiếu, và dùng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông (lớp 9) để tính góc. Nắm chắc dấu hiệu " $d \perp (P)$ khi vuông góc với hai đường cắt nhau trong $(P)$ " là điều kiện bắt buộc trước khi học bài này.

Bài học dùng trực tiếp khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vừa học ở Chương 1 để định nghĩa hình chiếu, và dùng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông (lớp 9) để tính góc. Nắm chắc dấu hiệu "$d \perp (P)$ khi vuông góc với hai đường cắt nhau trong $(P)$" là điều kiện bắt buộc trước khi học bài này.

Khởi động

Trên nóc một căn nhà có một cột ăng-ten dựng vuông góc với sân thượng phẳng, và một dây văng chằng từ đỉnh ăng-ten xuống một góc lan can để giữ cho cột không đổ. Dây văng đó nghiêng so với mặt sân thượng — góc nghiêng ấy là gì và làm sao đo được khi ta chỉ biết chiều cao cột và khoảng cách trên sân? Đó chính là góc giữa một đường thẳng (dây văng) và một mặt phẳng (sân thượng), chủ đề của bài học này.

Hình chiếu vuông góc lên một mặt phẳng

Hình chiếu vuông góc của một điểmHình chiếu vuông góc của điểm

M

lên mặt phẳng

(P)

là điểm

H \in (P)

sao cho

MH \perp (P)

—

H

chính là "điểm của

(P)

gần

M

nhất".Hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên mặt phẳng $(P)$ là điểm $H \in (P)$ sao cho $MH \perp (P)$ — $H$ chính là "điểm của $(P)$ gần $M$ nhất".

Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng $d$ lên $(P)$ (khi $d$ không vuông góc với $(P)$ ) là đường thẳng $d'$ đi qua hình chiếu của hai điểm bất kì trên $d$ — nói cách khác, $d'$ gồm hình chiếu của tất cả các điểm thuộc $d$ . Từ đó, góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ được định nghĩa là góc giữa $d$ và hình chiếu $d'$ của nó — cũng chính là góc nhỏ nhất mà $d$ tạo với bất kì đường thẳng nào nằm trong $(P)$ , nên góc này luôn thuộc $[0°;90°]$ . Riêng khi $d \perp (P)$ , ta quy ước góc giữa chúng bằng $90°$ .

Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng $d$ lên $(P)$ (khi $d$ không vuông góc với $(P)$) là đường thẳng $d'$ đi qua hình chiếu của hai điểm bất kì trên $d$ — nói cách khác, $d'$ gồm hình chiếu của tất cả các điểm thuộc $d$. Từ đó, góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ được định nghĩa là góc giữa $d$ và hình chiếu $d'$ của nó — cũng chính là góc nhỏ nhất mà $d$ tạo với bất kì đường thẳng nào nằm trong $(P)$, nên góc này luôn thuộc $[0°;90°]$. Riêng khi $d \perp (P)$, ta quy ước góc giữa chúng bằng $90°$.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Góc giữa dây văng và mặt sân thượng

1
Trên sân thượng hình vuông $ABCD$ cạnh $a = 4$ m, người ta dựng cột ăng-ten $SA$ vuông góc với mặt sân, cao $SA = 4\sqrt{2}$ m. Một dây văng nối đỉnh $S$ tới góc đối diện $C$ của sân. Tính góc giữa dây văng $SC$ và mặt sân $(ABCD)$ .
Trên sân thượng hình vuông $ABCD$ cạnh $a = 4$ m, người ta dựng cột ăng-ten $SA$ vuông góc với mặt sân, cao $SA = 4\sqrt{2}$ m. Một dây văng nối đỉnh $S$ tới góc đối diện $C$ của sân. Tính góc giữa dây văng $SC$ và mặt sân $(ABCD)$.
2
Vì $SA \perp (ABCD)$ , hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ chính là $A$ . Điểm $C$ đã thuộc $(ABCD)$ nên là hình chiếu của chính nó. Vậy hình chiếu của đoạn dây văng $SC$ lên mặt sân là đoạn $AC$ — đường chéo của sân thượng.
Vì $SA \perp (ABCD)$, hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ chính là $A$. Điểm $C$ đã thuộc $(ABCD)$ nên là hình chiếu của chính nó. Vậy hình chiếu của đoạn dây văng $SC$ lên mặt sân là đoạn $AC$ — đường chéo của sân thượng.
3
Theo định nghĩa, góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$ của nó, tức là góc $\widehat{SCA}$ trong tam giác $SAC$ — tam giác này vuông tại $A$ vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AC$ .
Theo định nghĩa, góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$ của nó, tức là góc $\widehat{SCA}$ trong tam giác $SAC$ — tam giác này vuông tại $A$ vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AC$.
4
Đường chéo sân: $AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ m. Trong tam giác vuông $SAC$ : $\tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1$ , suy ra $\widehat{SCA} = 45°$ .
Đường chéo sân: $AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ m. Trong tam giác vuông $SAC$: $\tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1$, suy ra $\widehat{SCA} = 45°$.
5
Vậy dây văng $SC$ nghiêng $45°$ so với mặt sân thượng.
Vậy dây văng $SC$ nghiêng $45°$ so với mặt sân thượng.

Lời giải có hình

Hình chiếu của dây văng SC lên mặt sân (ABCD)

Bước 1

Cho mặt sân với góc $A$ và góc đối diện $C$ , khoảng cách $AC$ là đường chéo sân.Cho mặt sân với góc $A$ và góc đối diện $C$, khoảng cách $AC$ là đường chéo sân.

Ví dụ

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy (khi số liệu không cho góc tròn)

1
Vẫn sân thượng và cột ăng-ten ở ví dụ trên ( $ABCD$ hình vuông cạnh $4$ m, $SA \perp (ABCD)$ , $SA = 4\sqrt{2}$ m). Một dây văng khác nối $S$ tới đỉnh kề $B$ của sân (không phải đỉnh đối diện). Tính góc giữa $SB$ và mặt sân, làm tròn đến phút.
Vẫn sân thượng và cột ăng-ten ở ví dụ trên ($ABCD$ hình vuông cạnh $4$ m, $SA \perp (ABCD)$, $SA = 4\sqrt{2}$ m). Một dây văng khác nối $S$ tới đỉnh kề $B$ của sân (không phải đỉnh đối diện). Tính góc giữa $SB$ và mặt sân, làm tròn đến phút.
2
Hình chiếu của $S$ vẫn là $A$ , hình chiếu của $B$ là chính nó, nên hình chiếu của $SB$ là cạnh $AB$ . Góc cần tìm là $\widehat{SBA}$ trong tam giác vuông $SAB$ (vuông tại $A$ ).
Hình chiếu của $S$ vẫn là $A$, hình chiếu của $B$ là chính nó, nên hình chiếu của $SB$ là cạnh $AB$. Góc cần tìm là $\widehat{SBA}$ trong tam giác vuông $SAB$ (vuông tại $A$).
3
$\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} \approx 1{,}414$ .
$\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} \approx 1{,}414$.
4
$\widehat{SBA} = \arctan(\sqrt{2}) \approx 54{,}7356°$ , đổi phần lẻ sang phút: $0{,}7356 \times 60 \approx 44'$ .
$\widehat{SBA} = \arctan(\sqrt{2}) \approx 54{,}7356°$, đổi phần lẻ sang phút: $0{,}7356 \times 60 \approx 44'$.
5
Vậy góc giữa dây văng $SB$ và mặt sân xấp xỉ $54°44'$ — khác với $45°$ ở ví dụ trước vì $AB$ (cạnh sân) ngắn hơn $AC$ (đường chéo sân), nên đường xiên $SB$ dốc hơn.
Vậy góc giữa dây văng $SB$ và mặt sân xấp xỉ $54°44'$ — khác với $45°$ ở ví dụ trước vì $AB$ (cạnh sân) ngắn hơn $AC$ (đường chéo sân), nên đường xiên $SB$ dốc hơn.

Nhận xét thêm

Giá trị $54°44'$ vừa tính không phải số lạ: đó đúng là góc mà $\cos = \sqrt{3}/3$ (tương đương $\tan = \sqrt{2}$ ) — chính góc em từng gặp ở bài "góc giữa hai đường thẳng" (Chương 1) khi tính góc giữa $SC$ và $AB$ bằng định lí côsin ở một hình chóp khác. Hai bài toán đo hai loại góc khác nhau — góc giữa hai đường thẳng và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng — nhưng đều rơi vào cùng tỉ số $\tan = \sqrt{2}$ vì cả hai đều được chọn số liệu sao cho một cạnh dài gấp $\sqrt{2}$ lần cạnh kia trong tam giác vuông tương ứng. Việc hai bài cho cùng một góc là do cách chọn số liệu, không phải một định lí tổng quát — nhưng vẫn là một cách hữu ích để dò lại kết quả bằng máy tính.

Giá trị $54°44'$ vừa tính không phải số lạ: đó đúng là góc mà $\cos = \sqrt{3}/3$ (tương đương $\tan = \sqrt{2}$) — chính góc em từng gặp ở bài "góc giữa hai đường thẳng" (Chương 1) khi tính góc giữa $SC$ và $AB$ bằng định lí côsin ở một hình chóp khác. Hai bài toán đo hai loại góc khác nhau — góc giữa hai đường thẳng và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng — nhưng đều rơi vào cùng tỉ số $\tan = \sqrt{2}$ vì cả hai đều được chọn số liệu sao cho một cạnh dài gấp $\sqrt{2}$ lần cạnh kia trong tam giác vuông tương ứng. Việc hai bài cho cùng một góc là do cách chọn số liệu, không phải một định lí tổng quát — nhưng vẫn là một cách hữu ích để dò lại kết quả bằng máy tính.

Ví dụ

Đổi hình dạng đáy: chân vuông góc không phải hình vuông

1
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ vuông tại $B$ , $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm, cạnh bên $SA \perp (ABC)$ , $SA = 5$ cm. Tính góc giữa $SC$ và mặt đáy $(ABC)$ .
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ vuông tại $B$, $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm, cạnh bên $SA \perp (ABC)$, $SA = 5$ cm. Tính góc giữa $SC$ và mặt đáy $(ABC)$.
2
Theo Pythagoras trong tam giác vuông $ABC$ : $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ cm.
Theo Pythagoras trong tam giác vuông $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ cm.
3
Hình chiếu của $S$ là $A$ , hình chiếu của $C$ là chính nó, nên hình chiếu của $SC$ là $AC$ . Góc cần tìm là $\widehat{SCA}$ trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$ vì $SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp AC$ ).
Hình chiếu của $S$ là $A$, hình chiếu của $C$ là chính nó, nên hình chiếu của $SC$ là $AC$. Góc cần tìm là $\widehat{SCA}$ trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$ vì $SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp AC$).
4
$\tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{5}{5} = 1$ , suy ra $\widehat{SCA} = 45°$ .
$\tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{5}{5} = 1$, suy ra $\widehat{SCA} = 45°$.
5
Vậy góc giữa $SC$ và $(ABC)$ bằng $45°$ — đúng $45°$ không phải vì đáy là hình vuông, mà vì ở bài toán này $SA$ bằng đúng cạnh huyền $AC$ của đáy; hễ chiều cao bằng hình chiếu thì góc luôn là $45°$ , bất kể hình dạng đáy.
Vậy góc giữa $SC$ và $(ABC)$ bằng $45°$ — đúng $45°$ không phải vì đáy là hình vuông, mà vì ở bài toán này $SA$ bằng đúng cạnh huyền $AC$ của đáy; hễ chiều cao bằng hình chiếu thì góc luôn là $45°$, bất kể hình dạng đáy.

Bẫy hay gặp

Sai lầm phổ biến nhất: nhầm hình chiếu của cả đường thẳng với hình chiếu của một điểm bất kì trên nó — ví dụ tưởng hình chiếu của $SC$ là $SA$ hay một đoạn nào khác thay vì đúng đoạn $AC$ . Luôn xác định RIÊNG hình chiếu của từng đầu mút rồi nối lại. Sai lầm thứ hai: quên rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn đo trong tam giác vuông tạo bởi chính đường thẳng, hình chiếu của nó và đoạn vuông góc — không phải một tam giác tuỳ tiện nào khác trong hình.

Sai lầm phổ biến nhất: nhầm hình chiếu của cả đường thẳng với hình chiếu của một điểm bất kì trên nó — ví dụ tưởng hình chiếu của $SC$ là $SA$ hay một đoạn nào khác thay vì đúng đoạn $AC$. Luôn xác định RIÊNG hình chiếu của từng đầu mút rồi nối lại. Sai lầm thứ hai: quên rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn đo trong tam giác vuông tạo bởi chính đường thẳng, hình chiếu của nó và đoạn vuông góc — không phải một tam giác tuỳ tiện nào khác trong hình.

Luyện tập

Ghi nhớ

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng theo đúng quy trình: tìm hình chiếu của đỉnh (điểm không thuộc mặt phẳng), suy ra hình chiếu của cả đường thẳng, nhận diện tam giác vuông tại chân đường vuông góc, rồi dùng tỉ số lượng giác. Khi số liệu không cho ra một góc tròn, cứ để kết quả dưới dạng $\arctan$ hoặc làm tròn đến phút — đó là cách trình bày chuẩn của đề thi, không phải dấu hiệu tính sai.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đo độ nghiêng của MỘT đường so với MỘT mặt. Chương tiếp theo nâng lên một bậc: đo độ nghiêng giữa HAI mặt phẳng với nhau, thông qua khái niệm góc nhị diện — công cụ cần thiết để hiểu vì sao có những cặp mặt phẳng "vuông góc" với nhau trong không gian.