Bài học

Chi phí vật liệu bể chứa không nắp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập được hàm chi phí vật liệu của một bể chứa có thể tích cố định, tìm kích thước cho chi phí nhỏ nhất, và biết cách xét hai đầu mút khi miền xác định là một khoảng không bị chặn — tức là kiểm tra giới hạn của hàm khi ẩn tiến ra vô cực, thay vì so sánh với một giá trị biên hữu hạn.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã quen với miền xác định là một khoảng mở có hai đầu mút hữu hạn, nơi hàm mục tiêu tiến về một giá trị cụ thể khi ẩn tiến tới biên. Bài này đổi khác một chút: thể tích cố định buộc chiều cao phụ thuộc nghịch đảo vào diện tích đáy, nên miền xác định của ẩn là $(0; +\infty)$ — không có đầu mút hữu hạn nào để so sánh trực tiếp, phải xét giới hạn.

Khởi động

Một xưởng cần làm một bể chứa nước hình hộp chữ nhật, đáy hình vuông, không có nắp (miệng bể để hở), thể tích đúng bằng 32 mét khối. Đáy càng rộng thì bể càng thấp, tốn ít vật liệu cho thành bể nhưng tốn nhiều cho đáy; đáy càng hẹp thì ngược lại. Có một kích thước tối ưu hay chi phí chỉ tăng dần theo một hướng?

Chi phí vật liệu bể chứa nước không nắp

Khác với bài toán rào vườn, ở đây thể tích được giữ cố định còn diện tích vật liệu mới là đại lượng cần tối thiểu — một bài toán tối ưu "ngược chiều" so với bài trước. Trước khi lập hàm, em cần hình dung rõ bể gồm một mặt đáy hình vuông và bốn mặt bên hình chữ nhật, không có mặt trên.

Mặt đáy hình vuông cạnh x — bốn mặt bên hình chữ nhật cao h dựng lên từ bốn cạnh này, không có mặt trên.

Ví dụ

Kích thước bể chứa nước không nắp tốn ít vật liệu nhất

1
Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật, đáy hình vuông, không có nắp, cần có thể tích đúng $32 \text{ m}^3$ . Tìm kích thước đáy và chiều cao để diện tích vật liệu làm bể (đáy và bốn mặt bên) là nhỏ nhất.
Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật, đáy hình vuông, không có nắp, cần có thể tích đúng $32 \text{ m}^3$. Tìm kích thước đáy và chiều cao để diện tích vật liệu làm bể (đáy và bốn mặt bên) là nhỏ nhất.
2
Gọi $x$ (m) là cạnh đáy hình vuông, $x > 0$ , và $h$ (m) là chiều cao bể. Thể tích $V = x^2 h = 32$ , suy ra $h = \dfrac{32}{x^2}$ . Vì $h > 0$ với mọi $x > 0$ , miền xác định là $x \in (0; +\infty)$ .
Gọi $x$ (m) là cạnh đáy hình vuông, $x > 0$, và $h$ (m) là chiều cao bể. Thể tích $V = x^2 h = 32$, suy ra $h = \dfrac{32}{x^2}$. Vì $h > 0$ với mọi $x > 0$, miền xác định là $x \in (0; +\infty)$.
3
Diện tích vật liệu gồm đáy $x^2$ và bốn mặt bên $4xh$ : $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \dfrac{32}{x^2} = x^2 + \dfrac{128}{x}$ , với $x \in (0; +\infty)$ .
Diện tích vật liệu gồm đáy $x^2$ và bốn mặt bên $4xh$: $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \dfrac{32}{x^2} = x^2 + \dfrac{128}{x}$, với $x \in (0; +\infty)$.
4
$S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2}$ . Cho $S'(x) = 0 \iff 2x^3 = 128 \iff x^3 = 64 \iff x = 4$ . Với $x < 4$ thì $S'(x) < 0$ , với $x > 4$ thì $S'(x) > 0$ , nên $S$ đạt cực tiểu tại $x = 4$ , với $S(4) = 16 + 32 = 48$ . Vì miền không bị chặn, thay việc so sánh với một giá trị biên, ta xét giới hạn: khi $x \to 0^+$ thì $\dfrac{128}{x} \to +\infty$ nên $S(x) \to +\infty$ ; khi $x \to +\infty$ thì $x^2 \to +\infty$ nên $S(x) \to +\infty$ . Cả hai "đầu mút ở vô cực" đều cho chi phí lớn hơn hẳn 48, nên $x = 4$ chắc chắn là điểm cho diện tích nhỏ nhất trên toàn miền, không chỉ là cực tiểu địa phương.
$S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2}$. Cho $S'(x) = 0 \iff 2x^3 = 128 \iff x^3 = 64 \iff x = 4$. Với $x < 4$ thì $S'(x) < 0$, với $x > 4$ thì $S'(x) > 0$, nên $S$ đạt cực tiểu tại $x = 4$, với $S(4) = 16 + 32 = 48$. Vì miền không bị chặn, thay việc so sánh với một giá trị biên, ta xét giới hạn: khi $x \to 0^+$ thì $\dfrac{128}{x} \to +\infty$ nên $S(x) \to +\infty$; khi $x \to +\infty$ thì $x^2 \to +\infty$ nên $S(x) \to +\infty$. Cả hai "đầu mút ở vô cực" đều cho chi phí lớn hơn hẳn 48, nên $x = 4$ chắc chắn là điểm cho diện tích nhỏ nhất trên toàn miền, không chỉ là cực tiểu địa phương.
5
Với $x = 4$ m thì $h = \dfrac{32}{16} = 2$ m. Vậy bể có đáy vuông cạnh 4 m, cao 2 m thì diện tích vật liệu nhỏ nhất, bằng $48 \text{ m}^2$ .
Với $x = 4$ m thì $h = \dfrac{32}{16} = 2$ m. Vậy bể có đáy vuông cạnh 4 m, cao 2 m thì diện tích vật liệu nhỏ nhất, bằng $48 \text{ m}^2$.

Đồ thị tiến ra vô cực ở cả hai phía của miền (0; +∞), xác nhận x = 4 là điểm duy nhất cho chi phí nhỏ nhất.

Luyện tập có hướng dẫn

Khi hai loại vật liệu có giá khác nhau

Thực tế, vật liệu làm đáy (phải chịu lực và chống thấm tốt hơn) thường đắt hơn vật liệu làm thành bể. Bài toán trở nên thú vị hơn khi chi phí không còn tỉ lệ thuần với diện tích, mà tỉ lệ với đơn giá riêng của từng phần.

Ví dụ

Chi phí nhỏ nhất khi đáy và thành bể có đơn giá khác nhau

1
Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật, đáy hình vuông, không có nắp, thể tích $8 \text{ m}^3$ . Chi phí làm đáy là 100 nghìn đồng/m², chi phí làm mặt bên là 50 nghìn đồng/m². Tìm kích thước bể để tổng chi phí nhỏ nhất.
Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật, đáy hình vuông, không có nắp, thể tích $8 \text{ m}^3$. Chi phí làm đáy là 100 nghìn đồng/m², chi phí làm mặt bên là 50 nghìn đồng/m². Tìm kích thước bể để tổng chi phí nhỏ nhất.
2
Gọi $x$ (m) là cạnh đáy, $x > 0$ . Từ $V = x^2 h = 8$ , suy ra $h = \dfrac{8}{x^2}$ , xác định với mọi $x \in (0; +\infty)$ .
Gọi $x$ (m) là cạnh đáy, $x > 0$. Từ $V = x^2 h = 8$, suy ra $h = \dfrac{8}{x^2}$, xác định với mọi $x \in (0; +\infty)$.
3
Diện tích đáy là $x^2$ , diện tích bốn mặt bên là $4xh = 4x \cdot \dfrac{8}{x^2} = \dfrac{32}{x}$ . Tổng chi phí (nghìn đồng) là $C(x) = 100 x^2 + 50 \cdot \dfrac{32}{x} = 100x^2 + \dfrac{1600}{x}$ , với $x \in (0; +\infty)$ .
Diện tích đáy là $x^2$, diện tích bốn mặt bên là $4xh = 4x \cdot \dfrac{8}{x^2} = \dfrac{32}{x}$. Tổng chi phí (nghìn đồng) là $C(x) = 100 x^2 + 50 \cdot \dfrac{32}{x} = 100x^2 + \dfrac{1600}{x}$, với $x \in (0; +\infty)$.
4
$C'(x) = 200x - \dfrac{1600}{x^2}$ . Cho $C'(x) = 0 \iff 200x^3 = 1600 \iff x^3 = 8 \iff x = 2$ . Dấu $C'(x)$ đổi từ âm sang dương khi $x$ qua 2, nên $C$ đạt cực tiểu tại $x=2$ , với $C(2) = 400 + 800 = 1200$ (nghìn đồng). Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to +\infty$ , cả hai số hạng của $C(x)$ đều tiến ra $+\infty$ (một hạng qua $\dfrac{1600}{x}$ , hạng kia qua $100x^2$ ), nên $C(x) \to +\infty$ ở cả hai phía — $x=2$ là điểm cho chi phí nhỏ nhất trên toàn miền.
$C'(x) = 200x - \dfrac{1600}{x^2}$. Cho $C'(x) = 0 \iff 200x^3 = 1600 \iff x^3 = 8 \iff x = 2$. Dấu $C'(x)$ đổi từ âm sang dương khi $x$ qua 2, nên $C$ đạt cực tiểu tại $x=2$, với $C(2) = 400 + 800 = 1200$ (nghìn đồng). Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to +\infty$, cả hai số hạng của $C(x)$ đều tiến ra $+\infty$ (một hạng qua $\dfrac{1600}{x}$, hạng kia qua $100x^2$), nên $C(x) \to +\infty$ ở cả hai phía — $x=2$ là điểm cho chi phí nhỏ nhất trên toàn miền.
5
Với $x = 2$ m thì $h = \dfrac{8}{4} = 2$ m — bể có đáy vuông cạnh 2 m, cao 2 m (thực chất là một khối lập phương). Tổng chi phí nhỏ nhất là $1\,200$ nghìn đồng, tức $1{,}2$ triệu đồng.
Với $x = 2$ m thì $h = \dfrac{8}{4} = 2$ m — bể có đáy vuông cạnh 2 m, cao 2 m (thực chất là một khối lập phương). Tổng chi phí nhỏ nhất là $1\,200$ nghìn đồng, tức $1{,}2$ triệu đồng.

Sai lầm thường gặp

Một sai lầm thường gặp là gán nhầm đơn giá — nhân đơn giá đáy với diện tích mặt bên hoặc ngược lại. Luôn viết rõ diện tích đáy và diện tích mặt bên thành hai biểu thức riêng theo $x$ trước khi nhân với đơn giá tương ứng, thay vì cộng gộp diện tích rồi mới nhân một đơn giá chung.

Cả hai ví dụ đều cho một kết quả đáng chú ý: kích thước tối ưu không phụ thuộc vào việc "đoán" hình dạng đẹp mắt, mà đến từ việc giải chính xác $S'(x)=0$ và kiểm tra giới hạn ở hai phía. Khi miền xác định không bị chặn, kiểm tra giới hạn chính là phiên bản của việc "xét hai đầu mút" — bỏ qua bước này, em không thể khẳng định chắc chắn điểm tìm được là nhỏ nhất toàn cục chứ không phải chỉ là một điểm dừng.

Bài tiếp theo đổi hướng bài toán: thay vì cho chu vi cố định để tối đa diện tích (như hàng rào), hoặc cho thể tích cố định để tối thiểu vật liệu (như bể chứa), em sẽ gặp bài toán ngược — cho diện tích cố định, tìm chu vi (hoặc chi phí rào) nhỏ nhất, một góc nhìn khác của cùng kỹ thuật.