Bài học

Tốc độ tăng trưởng qua tích phân: nước và dân số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng tích phân của một hàm tốc độ để tính tổng lượng tích lũy theo thời gian trong hai bối cảnh khác nhau — bơm nước theo tốc độ tăng dần, và dân số tăng trưởng theo hàm mũ — và biết cách xử lý nguyên hàm của hàm mũ dạng $e^{kt}$ khi $k$ là một hằng số cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước tích phân một hàm vận tốc để ra quãng đường. Ý tưởng ở đây giống hệt, chỉ đổi tên: nếu $r(t)$ là tốc độ thay đổi của một đại lượng (lít/phút, người/năm) tại thời điểm $t$ , thì tổng lượng thay đổi từ thời điểm $a$ đến $b$ chính là $\int_a^b r(t)\,dt$ — không khác gì việc lấy tích phân của vận tốc để ra quãng đường.

Bài trước tích phân một hàm vận tốc để ra quãng đường. Ý tưởng ở đây giống hệt, chỉ đổi tên: nếu $r(t)$ là tốc độ thay đổi của một đại lượng (lít/phút, người/năm) tại thời điểm $t$, thì tổng lượng thay đổi từ thời điểm $a$ đến $b$ chính là $\int_a^b r(t)\,dt$ — không khác gì việc lấy tích phân của vận tốc để ra quãng đường.

Khởi động

Một bể nước đang được bơm nước vào với tốc độ không đều — lúc đầu bơm chậm, sau đó máy bơm chạy nhanh dần. Biết công thức mô tả tốc độ bơm tại mỗi thời điểm, làm sao tính được tổng số lít nước đã bơm được sau một khoảng thời gian nhất định, khi không thể đo trực tiếp bằng đồng hồ đo lưu lượng?

Tổng lượng nước bơm được từ hàm tốc độ

Ví dụ

Tổng lượng nước bơm vào bể sau 10 phút

1
Một bể nước đang được bơm nước vào với tốc độ $r(t) = 3t^2 + 2t$ (lít/phút) tại thời điểm $t$ phút kể từ lúc bắt đầu bơm, với $0 \leq t \leq 10$ . Tính tổng lượng nước bơm được sau 10 phút.
Một bể nước đang được bơm nước vào với tốc độ $r(t) = 3t^2 + 2t$ (lít/phút) tại thời điểm $t$ phút kể từ lúc bắt đầu bơm, với $0 \leq t \leq 10$. Tính tổng lượng nước bơm được sau 10 phút.
2
Tổng lượng nước bơm được là $\int_0^{10} r(t)\,dt = \int_0^{10} (3t^2 + 2t)\,dt$ .
Tổng lượng nước bơm được là $\int_0^{10} r(t)\,dt = \int_0^{10} (3t^2 + 2t)\,dt$.
3
Một nguyên hàm của $3t^2+2t$ là $F(t) = t^3 + t^2$ . Vậy $\int_0^{10} (3t^2+2t)\,dt = F(10) - F(0) = (1000+100) - 0 = 1100$ .
Một nguyên hàm của $3t^2+2t$ là $F(t) = t^3 + t^2$. Vậy $\int_0^{10} (3t^2+2t)\,dt = F(10) - F(0) = (1000+100) - 0 = 1100$.
4
Vậy tổng lượng nước bơm được sau 10 phút là $1\,100$ lít. Vì $r(t) \geq 0$ với mọi $t \in [0;10]$ (tốc độ bơm không âm), tích phân có dấu cũng chính là tổng lượng nước tích lũy — không cần tách đoạn như bài toán chuyển động đổi chiều ở bài trước.
Vậy tổng lượng nước bơm được sau 10 phút là $1\,100$ lít. Vì $r(t) \geq 0$ với mọi $t \in [0;10]$ (tốc độ bơm không âm), tích phân có dấu cũng chính là tổng lượng nước tích lũy — không cần tách đoạn như bài toán chuyển động đổi chiều ở bài trước.

Về mặt hình học, $\int_0^{10} r(t)\,dt$ chính là diện tích phần mặt phẳng nằm giữa đồ thị $r(t)$ và trục hoành, trên đoạn từ $t=0$ đến $t=10$ — đúng khái niệm diện tích hình phẳng đã học ở phần tích phân, chỉ đổi tên trục tung từ $y$ thành tốc độ bơm. Đọc theo cách này giúp hình dung vì sao tích phân cho "tổng" chứ không phải "trung bình" hay "giá trị cuối": diện tích cộng dồn toàn bộ lịch sử tốc độ bơm, không chỉ giá trị tại một thời điểm.

Ví dụ

Biến thể: tính lượng nước bơm được trong một khoảng thời gian không bắt đầu từ 0

1
Với cùng tốc độ bơm $r(t) = 3t^2+2t$ (lít/phút), tính lượng nước bơm được riêng trong khoảng thời gian từ phút thứ 5 đến phút thứ 10.
Với cùng tốc độ bơm $r(t) = 3t^2+2t$ (lít/phút), tính lượng nước bơm được riêng trong khoảng thời gian từ phút thứ 5 đến phút thứ 10.
2
Dùng lại nguyên hàm $F(t)=t^3+t^2$ : lượng nước từ $t=5$ đến $t=10$ là $\int_5^{10} r(t)\,dt = F(10)-F(5) = 1100 - (125+25) = 1100-150 = 950$ .
Dùng lại nguyên hàm $F(t)=t^3+t^2$: lượng nước từ $t=5$ đến $t=10$ là $\int_5^{10} r(t)\,dt = F(10)-F(5) = 1100 - (125+25) = 1100-150 = 950$.
3
Vậy trong khoảng từ phút thứ 5 đến phút thứ 10, bể nhận thêm $950$ lít — khác với $1\,100$ lít của toàn bộ 10 phút đầu, vì cận dưới của tích phân không còn là 0. Luôn đọc kỹ đề để xác định đúng cận trên và cận dưới, thay vì mặc định lấy từ $t=0$ . Đây là lỗi thường gặp khi đề bài hỏi về "lượng tăng thêm trong khoảng thời gian sau", chứ không phải "tổng lượng kể từ đầu".
Vậy trong khoảng từ phút thứ 5 đến phút thứ 10, bể nhận thêm $950$ lít — khác với $1\,100$ lít của toàn bộ 10 phút đầu, vì cận dưới của tích phân không còn là 0. Luôn đọc kỹ đề để xác định đúng cận trên và cận dưới, thay vì mặc định lấy từ $t=0$. Đây là lỗi thường gặp khi đề bài hỏi về "lượng tăng thêm trong khoảng thời gian sau", chứ không phải "tổng lượng kể từ đầu".

Luyện tập có hướng dẫn

Tốc độ tăng trưởng dân số theo hàm mũ

Không phải mọi tốc độ tăng trưởng đều là đa thức. Dân số, số dư tài khoản, hay số lượng vi khuẩn thường tăng theo một tốc độ tỉ lệ với chính giá trị hiện tại — dẫn tới một hàm tốc độ dạng $e^{kt}$ . Nguyên hàm của $e^{kt}$ nằm trong bảng nguyên hàm cơ bản đã học: $\int e^{kt}\,dt = \dfrac{1}{k}e^{kt} + C$ với $k \neq 0$ .

Không phải mọi tốc độ tăng trưởng đều là đa thức. Dân số, số dư tài khoản, hay số lượng vi khuẩn thường tăng theo một tốc độ tỉ lệ với chính giá trị hiện tại — dẫn tới một hàm tốc độ dạng $e^{kt}$. Nguyên hàm của $e^{kt}$ nằm trong bảng nguyên hàm cơ bản đã học: $\int e^{kt}\,dt = \dfrac{1}{k}e^{kt} + C$ với $k \neq 0$.

Đây thực chất là một trường hợp riêng của kỹ thuật đổi biến cơ bản đã học ở phần nguyên hàm: đặt $u = kt$ thì $du = k\,dt$ , nên $\int e^{kt}\,dt = \dfrac{1}{k} \int e^u\,du = \dfrac{1}{k}e^u + C = \dfrac{1}{k}e^{kt}+C$ . Không cần học một công thức mới — chỉ cần nhận ra $e^{kt}$ là một hàm hợp và áp dụng đúng kỹ thuật đã quen.

Đây thực chất là một trường hợp riêng của kỹ thuật đổi biến cơ bản đã học ở phần nguyên hàm: đặt $u = kt$ thì $du = k\,dt$, nên $\int e^{kt}\,dt = \dfrac{1}{k} \int e^u\,du = \dfrac{1}{k}e^u + C = \dfrac{1}{k}e^{kt}+C$. Không cần học một công thức mới — chỉ cần nhận ra $e^{kt}$ là một hàm hợp và áp dụng đúng kỹ thuật đã quen.

Ví dụ

Dân số tăng thêm sau 10 năm theo tốc độ tăng trưởng hàm mũ

1
Dân số một thị trấn tăng với tốc độ $r(t) = 200e^{0{,}05t}$ (người/năm) tại năm thứ $t$ kể từ mốc thống kê, với $0 \leq t \leq 10$ . Tính số dân tăng thêm sau 10 năm, làm tròn đến hàng đơn vị.
Dân số một thị trấn tăng với tốc độ $r(t) = 200e^{0{,}05t}$ (người/năm) tại năm thứ $t$ kể từ mốc thống kê, với $0 \leq t \leq 10$. Tính số dân tăng thêm sau 10 năm, làm tròn đến hàng đơn vị.
2
Số dân tăng thêm là $\int_0^{10} 200e^{0{,}05t}\,dt$ .
Số dân tăng thêm là $\int_0^{10} 200e^{0{,}05t}\,dt$.
3
Một nguyên hàm của $200e^{0{,}05t}$ là $F(t) = \dfrac{200}{0{,}05}e^{0{,}05t} = 4000e^{0{,}05t}$ . Vậy $\int_0^{10} 200e^{0{,}05t}\,dt = F(10)-F(0) = 4000e^{0{,}5} - 4000e^0 = 4000(e^{0{,}5}-1)$ .
Một nguyên hàm của $200e^{0{,}05t}$ là $F(t) = \dfrac{200}{0{,}05}e^{0{,}05t} = 4000e^{0{,}05t}$. Vậy $\int_0^{10} 200e^{0{,}05t}\,dt = F(10)-F(0) = 4000e^{0{,}5} - 4000e^0 = 4000(e^{0{,}5}-1)$.
4
Với $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ , số dân tăng thêm là $4000 \times 0{,}6487 \approx 2594{,}9$ , làm tròn $2\,595$ người. Vậy sau 10 năm, thị trấn tăng thêm khoảng $2\,595$ người.
Với $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$, số dân tăng thêm là $4000 \times 0{,}6487 \approx 2594{,}9$, làm tròn $2\,595$ người. Vậy sau 10 năm, thị trấn tăng thêm khoảng $2\,595$ người.

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất khi tích phân một hàm mũ dạng $e^{kt}$ là quên chia cho hệ số $k$ trong nguyên hàm — viết nhầm $\int e^{kt}dt = e^{kt}+C$ thay vì đúng $\dfrac{1}{k}e^{kt}+C$ . Luôn kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm của kết quả vừa tìm, xem có ra đúng hàm ban đầu hay không, trước khi thay cận.

Sai lầm thường gặp nhất khi tích phân một hàm mũ dạng $e^{kt}$ là quên chia cho hệ số $k$ trong nguyên hàm — viết nhầm $\int e^{kt}dt = e^{kt}+C$ thay vì đúng $\dfrac{1}{k}e^{kt}+C$. Luôn kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm của kết quả vừa tìm, xem có ra đúng hàm ban đầu hay không, trước khi thay cận.

Diện tích dưới đường cong từ t=0 đến t=10 chính là tổng số dân tăng thêm — khoảng 2 595 người.

Hai ví dụ trong bài, dù một hàm đa thức và một hàm mũ, đều dùng chung một ý tưởng: tổng lượng thay đổi của một đại lượng chính là tích phân của tốc độ thay đổi tức thời trên khoảng thời gian đang xét. Khác biệt duy nhất nằm ở kỹ thuật tính nguyên hàm — đa thức thì lấy nguyên hàm từng số hạng, hàm mũ thì chia cho hệ số mũ.

Bài tiếp theo áp dụng đúng ý tưởng này cho một bối cảnh gần gũi hơn với đề thi kinh tế: tốc độ sinh lời của một khoản đầu tư, và một câu hỏi so sánh hai khoản đầu tư có tốc độ sinh lời khác nhau — nơi tổng tích lũy và tốc độ tức thời có thể cho hai câu trả lời khác nhau về việc khoản nào "tốt hơn".

Một điểm cần phân biệt rõ trước khi sang bài tiếp theo: $r(t)$ luôn là một tốc độ — đơn vị của nó luôn có dạng "một lượng trên một đơn vị thời gian" (lít/phút, người/năm). Còn kết quả của phép tích phân $\int r(t)\,dt$ là một tổng lượng, đơn vị chỉ còn "một lượng" (lít, người) vì đơn vị thời gian đã bị triệt tiêu trong quá trình lấy tích phân. Ghi nhớ sự thay đổi đơn vị này giúp phát hiện ngay một phép tính bị sai — nếu đáp số cuối vẫn mang đơn vị "trên thời gian", chắc chắn đã tính nhầm một bước nào đó.