Bài học

Ôn tập tổng hợp: bài toán thực tiễn và tối ưu hóa

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập này không dạy kỹ thuật mới — nó kiểm tra xem em có thực sự làm chủ bốn bước mô hình hóa hay chỉ nhớ từng công thức riêng lẻ của từng chương. Hai bài toán dưới đây dùng bối cảnh mới (chưa gặp trong khóa), và bài toán thứ hai kết hợp cả đạo hàm lẫn tích phân trong cùng một tình huống — đúng như một câu hỏi tổng hợp thực sự có thể xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT.

Nhìn lại toàn bộ khóa học

Khóa học đi qua năm bối cảnh: diện tích với chu vi cố định (Chương 1), chi phí vật liệu với thể tích hoặc diện tích cố định (Chương 2, 3), quãng đường từ vận tốc (Chương 4), tổng tích lũy từ tốc độ thay đổi (Chương 5), và chi phí – lợi nhuận kinh doanh (Chương 6). Dù bối cảnh khác nhau, mọi bài toán tối ưu đều đi qua đúng bốn bước: đặt ẩn và điều kiện, lập hàm mục tiêu, khảo sát trên miền ràng buộc (kể cả kiểm tra hai đầu mút), và kết luận có đơn vị. Các bài toán tích lũy (Chương 4, 5) thay bước "khảo sát cực trị" bằng "tính tích phân", nhưng vẫn giữ nguyên tinh thần: dịch tình huống thực tế thành một hàm số, rồi xử lý bằng công cụ giải tích phù hợp.

Sáu bối cảnh khác nhau, cùng một quy trình bốn bước — các đơn vị khác nhau (m², cm³, triệu đồng...) nên chỉ so sánh hình dạng cột, không so sánh độ lớn tuyệt đối giữa các cột.

Ba nhóm bài toán tối ưu (đạo hàm) trong khóa học đều chia sẻ một cấu trúc chung đáng ghi nhớ: một ràng buộc cố định (chu vi, thể tích, hoặc mối quan hệ giá – lượng) sinh ra một hệ thức giữa hai đại lượng; hệ thức đó cho phép rút một biến theo biến còn lại; và hàm mục tiêu chỉ còn phụ thuộc một ẩn duy nhất để khảo sát. Bước "rút biến" này — chứ không phải công thức diện tích hay thể tích riêng của từng hình — mới là kỹ năng cốt lõi cần thành thạo, vì nó lặp lại giống hệt nhau dù bối cảnh là hàng rào, bể chứa, hộp giấy, hay giá bán.

Hai nhóm bài toán tích lũy (tích phân) cũng chia sẻ một cấu trúc riêng: một hàm tốc độ $r(t)$ cho trước, và câu hỏi luôn quy về tính $\int_a^b r(t)\,dt$ trên đúng khoảng thời gian đề hỏi. Điểm khác biệt duy nhất giữa bài toán chuyển động và bài toán tăng trưởng/lãi suất là: vận tốc có thể đổi dấu (cần kiểm tra và tách đoạn), còn tốc độ bơm nước hay tốc độ sinh lời luôn giữ nguyên dấu trong các bài toán đã gặp — nhưng thói quen kiểm tra dấu trước khi tích phân vẫn nên giữ nguyên cho mọi bài, để không bỏ sót trường hợp đổi dấu khi đề bài thay đổi.

Bài toán tổng hợp 1: chi phí sản xuất khay đựng hàng

Ví dụ

Chi phí nhỏ nhất của khay đựng hàng hình hộp đáy vuông

1
Một xưởng cần làm một khay đựng hàng hình hộp chữ nhật, đáy hình vuông, không có nắp, thể tích đúng $1 \text{ m}^3$ . Vật liệu làm đáy giá $50$ nghìn đồng/m², vật liệu làm bốn mặt bên giá $200$ nghìn đồng/m² (dày hơn để chịu lực khi xếp chồng). Tìm kích thước khay để tổng chi phí nhỏ nhất.
Một xưởng cần làm một khay đựng hàng hình hộp chữ nhật, đáy hình vuông, không có nắp, thể tích đúng $1 \text{ m}^3$. Vật liệu làm đáy giá $50$ nghìn đồng/m², vật liệu làm bốn mặt bên giá $200$ nghìn đồng/m² (dày hơn để chịu lực khi xếp chồng). Tìm kích thước khay để tổng chi phí nhỏ nhất.
2
Gọi $x$ (m) là cạnh đáy, $x>0$ . Từ $V=x^2h=1$ , suy ra $h=\dfrac{1}{x^2}$ , xác định với mọi $x \in (0;+\infty)$ .
Gọi $x$ (m) là cạnh đáy, $x>0$. Từ $V=x^2h=1$, suy ra $h=\dfrac{1}{x^2}$, xác định với mọi $x \in (0;+\infty)$.
3
Diện tích đáy là $x^2$ , diện tích bốn mặt bên là $4xh = 4x \cdot \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{4}{x}$ . Tổng chi phí (nghìn đồng) là $C(x) = 50x^2 + 200 \cdot \dfrac{4}{x} = 50x^2 + \dfrac{800}{x}$ , với $x \in (0;+\infty)$ .
Diện tích đáy là $x^2$, diện tích bốn mặt bên là $4xh = 4x \cdot \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{4}{x}$. Tổng chi phí (nghìn đồng) là $C(x) = 50x^2 + 200 \cdot \dfrac{4}{x} = 50x^2 + \dfrac{800}{x}$, với $x \in (0;+\infty)$.
4
$C'(x) = 100x - \dfrac{800}{x^2}$ . Cho $C'(x)=0 \iff 100x^3=800 \iff x^3=8 \iff x=2$ . Dấu $C'(x)$ đổi từ âm sang dương khi $x$ qua 2, nên $C$ đạt cực tiểu tại $x=2$ , với $C(2) = 200+400=600$ . Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to +\infty$ , $C(x) \to +\infty$ ở cả hai phía, nên $x=2$ cho chi phí nhỏ nhất trên toàn miền.
$C'(x) = 100x - \dfrac{800}{x^2}$. Cho $C'(x)=0 \iff 100x^3=800 \iff x^3=8 \iff x=2$. Dấu $C'(x)$ đổi từ âm sang dương khi $x$ qua 2, nên $C$ đạt cực tiểu tại $x=2$, với $C(2) = 200+400=600$. Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to +\infty$, $C(x) \to +\infty$ ở cả hai phía, nên $x=2$ cho chi phí nhỏ nhất trên toàn miền.
5
Với $x=2$ m thì $h = \dfrac{1}{4}=0{,}25$ m. Khay có đáy vuông cạnh 2 m, cao 0,25 m — một khay rộng và nông, hợp lý cho một khay xếp hàng nhẹ. Tổng chi phí nhỏ nhất là $600$ nghìn đồng.
Với $x=2$ m thì $h = \dfrac{1}{4}=0{,}25$ m. Khay có đáy vuông cạnh 2 m, cao 0,25 m — một khay rộng và nông, hợp lý cho một khay xếp hàng nhẹ. Tổng chi phí nhỏ nhất là $600$ nghìn đồng.

Luyện tập có hướng dẫn

Bài toán tổng hợp 2: kết hợp cực trị và tích phân

Bài toán sau đây phối hợp cả hai kỹ thuật chính của khóa học trong cùng một tình huống — đúng dạng "phối hợp nhiều mạch kiến thức" thường gặp ở phần vận dụng cao của đề thi tốt nghiệp THPT.

Ví dụ

Vận tốc lớn nhất và quãng đường của một vật chuyển động

1
Một vật chuyển động trên một đường thẳng có vận tốc $v(t) = -t^2+6t$ (m/s), với $t \in [0;6]$ (giây). a) Tìm thời điểm vật có vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian này và giá trị vận tốc đó. b) Tính quãng đường vật đi được từ $t=0$ đến $t=6$ .
Một vật chuyển động trên một đường thẳng có vận tốc $v(t) = -t^2+6t$ (m/s), với $t \in [0;6]$ (giây). a) Tìm thời điểm vật có vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian này và giá trị vận tốc đó. b) Tính quãng đường vật đi được từ $t=0$ đến $t=6$.
2
$v'(t) = -2t+6$ . Cho $v'(t)=0 \iff t=3$ , thuộc $[0;6]$ . Với $t<3$ : $v'(t)>0$ ; với $t>3$ : $v'(t)<0$ , nên $v$ đạt cực đại tại $t=3$ , với $v(3) = -9+18=9$ . Hai đầu mút: $v(0)=0$ , $v(6)=-36+36=0$ , cả hai đều nhỏ hơn hẳn 9. Vậy vận tốc lớn nhất là $9$ m/s, đạt tại $t=3$ giây.
$v'(t) = -2t+6$. Cho $v'(t)=0 \iff t=3$, thuộc $[0;6]$. Với $t<3$: $v'(t)>0$; với $t>3$: $v'(t)<0$, nên $v$ đạt cực đại tại $t=3$, với $v(3) = -9+18=9$. Hai đầu mút: $v(0)=0$, $v(6)=-36+36=0$, cả hai đều nhỏ hơn hẳn 9. Vậy vận tốc lớn nhất là $9$ m/s, đạt tại $t=3$ giây.
3
$v(t) = -t^2+6t = t(6-t)$ . Trên $[0;6]$ : $t \geq 0$ và $6-t \geq 0$ , nên $v(t) \geq 0$ với mọi $t$ trong khoảng này — vật không đổi chiều, chỉ tăng tốc rồi giảm tốc nhưng luôn tiến về một phía.
$v(t) = -t^2+6t = t(6-t)$. Trên $[0;6]$: $t \geq 0$ và $6-t \geq 0$, nên $v(t) \geq 0$ với mọi $t$ trong khoảng này — vật không đổi chiều, chỉ tăng tốc rồi giảm tốc nhưng luôn tiến về một phía.
4
Vì $v(t) \geq 0$ trên suốt $[0;6]$ , quãng đường bằng đúng tích phân có dấu: gọi $F(t) = -\dfrac{t^3}{3}+3t^2$ , quãng đường là $\int_0^6 v(t)\,dt = F(6)-F(0) = (-72+108) - 0 = 36$ .
Vì $v(t) \geq 0$ trên suốt $[0;6]$, quãng đường bằng đúng tích phân có dấu: gọi $F(t) = -\dfrac{t^3}{3}+3t^2$, quãng đường là $\int_0^6 v(t)\,dt = F(6)-F(0) = (-72+108) - 0 = 36$.
5
Vậy vận tốc lớn nhất của vật là $9$ m/s tại thời điểm $t=3$ giây, và quãng đường vật đi được từ $t=0$ đến $t=6$ là $36$ mét.
Vậy vận tốc lớn nhất của vật là $9$ m/s tại thời điểm $t=3$ giây, và quãng đường vật đi được từ $t=0$ đến $t=6$ là $36$ mét.

Đồ thị không cắt trục hoành ở giữa khoảng — xác nhận vật không đổi chiều, nên quãng đường bằng đúng tích phân có dấu.

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất khi ôn tập tổng hợp là áp dụng nhầm kỹ thuật của chương này cho câu hỏi thuộc chương khác — ví dụ dùng đạo hàm để trả lời một câu hỏi thực chất cần tích phân ("tổng quãng đường"), hoặc ngược lại. Trước khi giải, luôn đọc kỹ câu hỏi hỏi về GIÁ TRỊ TẠI MỘT THỜI ĐIỂM/ĐIỂM (dùng đạo hàm để tìm cực trị) hay hỏi về TỔNG TÍCH LŨY TRÊN MỘT KHOẢNG (dùng tích phân) — đây là ranh giới quan trọng nhất xuyên suốt cả khóa học.

Khóa học kết thúc ở đây, nhưng quy trình bốn bước — đặt ẩn và điều kiện, lập hàm mục tiêu, khảo sát trên miền ràng buộc, kết luận có đơn vị — sẽ còn theo em vào phòng thi và cả những bài toán ứng dụng thực tế khác ngoài chương trình. Điều quan trọng không phải nhớ từng công thức của từng bài đã giải, mà là phản xạ nhận ra đúng loại bài toán, đặt đúng ẩn, và không bao giờ quên kiểm tra hai đầu mút trước khi kết luận.