Bài học

Hộp gấp từ tấm bìa: thể tích lớn nhất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập được hàm thể tích của một chiếc hộp gấp từ tấm bìa phẳng bằng cách cắt bốn góc hình vuông, tìm cạnh cắt cho thể tích lớn nhất, và giải một phương trình bậc ba xuất hiện từ đạo hàm bằng cách đưa về phương trình bậc hai quen thuộc.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước làm việc với hình chữ nhật phẳng, hai chiều. Bài này chuyển sang ba chiều: một chiếc hộp được gấp từ một tấm bìa, nên độ dài các cạnh hộp phụ thuộc vào cùng một ẩn theo cách khác — cắt góc càng sâu, đáy hộp càng nhỏ nhưng hộp càng cao. Quy trình bốn bước vẫn giữ nguyên, chỉ hình học của hàm mục tiêu là mới.

Khởi động

Một xưởng thủ công có những tấm bìa hình vuông cạnh 12 cm, muốn cắt bốn góc thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau rồi gấp các mép lên để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Cắt góc càng lớn thì hộp càng cao nhưng đáy càng nhỏ; cắt góc càng nhỏ thì đáy càng rộng nhưng hộp càng thấp. Cắt bao nhiêu thì thể tích hộp lớn nhất?

Hộp gấp từ tấm bìa hình vuông

Tấm bìa hình vuông cạnh 12 cm trước khi cắt bốn góc — mỗi góc cắt đi một hình vuông cạnh x.

Ví dụ

Thể tích lớn nhất của hộp gấp từ tấm bìa vuông

1
Một tấm bìa hình vuông cạnh 12 cm. Cắt ở mỗi góc một hình vuông cạnh $x$ rồi gấp các mép lên để được một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích hộp lớn nhất, và tính thể tích lớn nhất đó.
Một tấm bìa hình vuông cạnh 12 cm. Cắt ở mỗi góc một hình vuông cạnh $x$ rồi gấp các mép lên để được một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích hộp lớn nhất, và tính thể tích lớn nhất đó.
2
Gọi $x$ (cm) là cạnh hình vuông bị cắt ở mỗi góc. Sau khi gấp, đáy hộp là hình vuông cạnh $12 - 2x$ , chiều cao hộp bằng $x$ . Cần $12 - 2x > 0$ và $x>0$ , nên $x \in (0; 6)$ .
Gọi $x$ (cm) là cạnh hình vuông bị cắt ở mỗi góc. Sau khi gấp, đáy hộp là hình vuông cạnh $12 - 2x$, chiều cao hộp bằng $x$. Cần $12 - 2x > 0$ và $x>0$, nên $x \in (0; 6)$.
3
Thể tích hộp là $V(x) = x(12-2x)^2$ , với $x \in (0; 6)$ .
Thể tích hộp là $V(x) = x(12-2x)^2$, với $x \in (0; 6)$.
4
Khai triển $V(x) = x(144 - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ . Đạo hàm: $V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x-2)(x-6)$ . Cho $V'(x)=0 \iff x=2$ hoặc $x=6$ ; chỉ $x=2$ thuộc $(0;6)$ . Với $x<2$ (ví dụ $x=1$ ): $V'(1) = 12(-1)(-5) = 60 > 0$ . Với $2<x<6$ (ví dụ $x=4$ ): $V'(4)=12(2)(-2)=-48<0$ . Vậy $V$ đạt cực đại tại $x=2$ , với $V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128$ . Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to 6^-$ , cạnh đáy $12-2x \to 0$ nên $V(x) \to 0$ ở cả hai đầu — nhỏ hơn hẳn 128. Vậy $x=2$ cho thể tích lớn nhất trên toàn miền, không chỉ là cực trị địa phương.
Khai triển $V(x) = x(144 - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$. Đạo hàm: $V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x-2)(x-6)$. Cho $V'(x)=0 \iff x=2$ hoặc $x=6$; chỉ $x=2$ thuộc $(0;6)$. Với $x<2$ (ví dụ $x=1$): $V'(1) = 12(-1)(-5) = 60 > 0$. Với $2<x<6$ (ví dụ $x=4$): $V'(4)=12(2)(-2)=-48<0$. Vậy $V$ đạt cực đại tại $x=2$, với $V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128$. Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to 6^-$, cạnh đáy $12-2x \to 0$ nên $V(x) \to 0$ ở cả hai đầu — nhỏ hơn hẳn 128. Vậy $x=2$ cho thể tích lớn nhất trên toàn miền, không chỉ là cực trị địa phương.
5
Với $x=2$ cm, đáy hộp là hình vuông cạnh $12-4=8$ cm, chiều cao 2 cm. Thể tích lớn nhất là $8 \times 8 \times 2 = 128 \text{ cm}^3$ .
Với $x=2$ cm, đáy hộp là hình vuông cạnh $12-4=8$ cm, chiều cao 2 cm. Thể tích lớn nhất là $8 \times 8 \times 2 = 128 \text{ cm}^3$.

Cả hai đầu mút của miền (0; 6) đều cho thể tích 0 — xác nhận x = 2 là điểm cho thể tích lớn nhất toàn cục.

Luyện tập có hướng dẫn

Có thể hình dung trực quan vì sao $x=2$ hợp lý mà không cần vẽ đồ thị: nếu cắt quá ít ( $x$ gần 0), hộp gần như phẳng, gần như không có chiều cao, nên thể tích gần 0. Nếu cắt quá nhiều ( $x$ gần 6), đáy hộp co lại gần như một điểm, thể tích cũng gần 0 dù chiều cao lớn. Thể tích lớn nhất phải nằm ở đâu đó cân bằng giữa hai thái cực này — đúng là ý nghĩa của việc so sánh với hai đầu mút, chỉ diễn đạt bằng lời thay vì bằng số.

Có thể hình dung trực quan vì sao $x=2$ hợp lý mà không cần vẽ đồ thị: nếu cắt quá ít ($x$ gần 0), hộp gần như phẳng, gần như không có chiều cao, nên thể tích gần 0. Nếu cắt quá nhiều ($x$ gần 6), đáy hộp co lại gần như một điểm, thể tích cũng gần 0 dù chiều cao lớn. Thể tích lớn nhất phải nằm ở đâu đó cân bằng giữa hai thái cực này — đúng là ý nghĩa của việc so sánh với hai đầu mút, chỉ diễn đạt bằng lời thay vì bằng số.

Khi tấm bìa không phải hình vuông

Nếu tấm bìa là hình chữ nhật thay vì hình vuông, hai cạnh của đáy hộp sau khi cắt không còn bằng nhau nữa, nhưng quy trình bốn bước không đổi — chỉ hàm mục tiêu có thêm một thừa số.

Ví dụ

Thể tích lớn nhất của hộp gấp từ tấm bìa chữ nhật

1
Một tấm bìa hình chữ nhật kích thước $16 \text{ cm} \times 10 \text{ cm}$ . Cắt ở mỗi góc một hình vuông cạnh $x$ rồi gấp thành hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích lớn nhất.
Một tấm bìa hình chữ nhật kích thước $16 \text{ cm} \times 10 \text{ cm}$. Cắt ở mỗi góc một hình vuông cạnh $x$ rồi gấp thành hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích lớn nhất.
2
Gọi $x$ (cm) là cạnh hình vuông cắt ở mỗi góc. Đáy hộp có kích thước $(16-2x)(10-2x)$ , chiều cao $x$ . Cần $10-2x>0$ (điều kiện chặt hơn $16-2x>0$ ) và $x>0$ , nên $x \in (0; 5)$ .
Gọi $x$ (cm) là cạnh hình vuông cắt ở mỗi góc. Đáy hộp có kích thước $(16-2x)(10-2x)$, chiều cao $x$. Cần $10-2x>0$ (điều kiện chặt hơn $16-2x>0$) và $x>0$, nên $x \in (0; 5)$.
3
Thể tích $V(x) = x(16-2x)(10-2x)$ , với $x \in (0;5)$ .
Thể tích $V(x) = x(16-2x)(10-2x)$, với $x \in (0;5)$.
4
Khai triển: $(16-2x)(10-2x) = 160 - 52x + 4x^2$ , nên $V(x) = 160x - 52x^2 + 4x^3$ . Đạo hàm $V'(x) = 160 - 104x + 12x^2$ . Cho $V'(x)=0$ , chia cả hai vế cho 4: $3x^2 - 26x + 40 = 0$ . Biệt thức $\Delta = 26^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 676 - 480 = 196 = 14^2$ . Hai nghiệm: $x = \dfrac{26+14}{6} = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$ và $x = \dfrac{26-14}{6} = 2$ . Chỉ $x=2$ thuộc $(0;5)$ (nghiệm kia lớn hơn 5, loại). Với $x<2$ : $V'(1) = 160-104+12=68>0$ ; với $2<x<5$ : $V'(3) = 160-312+108=-44<0$ . Vậy $V$ đạt cực đại tại $x=2$ , với $V(2) = 2 \cdot 12 \cdot 6 = 144$ . Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to 5^-$ , một cạnh đáy tiến về 0 nên $V(x) \to 0$ — nhỏ hơn hẳn 144.
Khai triển: $(16-2x)(10-2x) = 160 - 52x + 4x^2$, nên $V(x) = 160x - 52x^2 + 4x^3$. Đạo hàm $V'(x) = 160 - 104x + 12x^2$. Cho $V'(x)=0$, chia cả hai vế cho 4: $3x^2 - 26x + 40 = 0$. Biệt thức $\Delta = 26^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 676 - 480 = 196 = 14^2$. Hai nghiệm: $x = \dfrac{26+14}{6} = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$ và $x = \dfrac{26-14}{6} = 2$. Chỉ $x=2$ thuộc $(0;5)$ (nghiệm kia lớn hơn 5, loại). Với $x<2$: $V'(1) = 160-104+12=68>0$; với $2<x<5$: $V'(3) = 160-312+108=-44<0$. Vậy $V$ đạt cực đại tại $x=2$, với $V(2) = 2 \cdot 12 \cdot 6 = 144$. Khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to 5^-$, một cạnh đáy tiến về 0 nên $V(x) \to 0$ — nhỏ hơn hẳn 144.
5
Với $x=2$ cm, đáy hộp kích thước $12 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$ , cao 2 cm. Thể tích lớn nhất là $144 \text{ cm}^3$ .
Với $x=2$ cm, đáy hộp kích thước $12 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$, cao 2 cm. Thể tích lớn nhất là $144 \text{ cm}^3$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất ở dạng bài này là quên kiểm tra CẢ HAI cạnh khi tấm bìa không phải hình vuông, chỉ dùng cạnh dài để đặt điều kiện — dẫn đến miền xác định sai và có thể chọn nhầm một nghiệm của $V'(x)=0$ nằm ngoài miền thực. Một sai lầm khác là quên loại nghiệm bậc ba/bậc hai không thuộc miền, rồi nhầm nó với đáp số.

Hai ví dụ trong bài đều dẫn tới cùng một đáp số $x=2$ dù kích thước tấm bìa khác nhau — một sự trùng hợp về số liệu, không phải một quy luật chung. Điều thật sự chung giữa hai ví dụ là kỹ thuật: đưa phương trình đạo hàm bậc hai (sau khi rút gọn từ bậc ba) về dạng quen thuộc, dùng biệt thức $\Delta$ để tìm nghiệm, rồi loại nghiệm không thuộc miền xác định trước khi kết luận.

Bài tiếp theo giữ nguyên ý tưởng cắt-gấp nhưng đổi hình dạng: một chiếc lon hình trụ, nơi ẩn số không còn là cạnh cắt mà là bán kính đáy, và hàm thể tích liên hệ với diện tích toàn phần qua một công thức khác hẳn hình hộp.

Một điều cần nhớ khi trình bày dạng bài cắt góc: luôn viết rõ đáy hộp có kích thước bao nhiêu SAU khi cắt (không phải kích thước tấm bìa gốc), vì đề thi thường hỏi thêm diện tích đáy hoặc diện tích toàn phần của hộp sau khi gấp — hai đại lượng khác hẳn diện tích tấm bìa ban đầu, dù học sinh hay nhầm lẫn vì chúng cùng xuất phát từ một tấm bìa.