Bài học

Ôn tập bảng tần số ghép nhóm, số trung bình, trung vị và tứ phân vị

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhắc lại đúng cách đọc một bảng tần số ghép nhóm, tính lại số trung bình, trung vị và tứ phân vị của một mẫu số liệu ghép nhóm — làm nền cho cả khoá học này, vốn hỏi một câu khác hẳn: hai lớp có điểm trung bình bằng nhau thì có học đều nhau không?

Kiến thức nền cần nhớ (ôn tập lớp 11)

Ở lớp 11, khi số liệu quá nhiều hoặc quá lẻ để liệt kê từng giá trị, người ta gộp chúng vào các nhóm dạng nửa khoảng $[a; b)$ và chỉ ghi lại tần số $n_i$ — số quan sát rơi vào mỗi nhóm. Đó là bảng tần số ghép nhóm. Vì không còn biết giá trị cụ thể bên trong một nhóm, em dùng giá trị đại diện $c_i = \dfrac{a+b}{2}$ (trung điểm của nhóm) thay cho toàn bộ các quan sát trong nhóm đó khi tính toán.

Số trung bình cộng của mẫu ghép nhóm: $\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum n_i c_i$ , với $n$ là tổng tần số. Đây chỉ là số trung bình cộng thông thường, tính trên giá trị đại diện thay vì giá trị gốc đã mất khi ghép nhóm.

Số trung bình cộng của mẫu ghép nhóm: $\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum n_i c_i$, với $n$ là tổng tần số. Đây chỉ là số trung bình cộng thông thường, tính trên giá trị đại diện thay vì giá trị gốc đã mất khi ghép nhóm.

Quy ước dùng xuyên suốt khoá học

Quy ước tính trung vị và tứ phân vị của mẫu ghép nhóm — theo SGK Toán 11, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống (Cánh diều và Chân trời sáng tạo dùng cùng công thức nội suy tuyến tính này): gọi $n$ là tổng tần số. Vị trí trung vị là $\dfrac{n}{2}$ , vị trí $Q_1$ là $\dfrac{n}{4}$ , vị trí $Q_3$ là $\dfrac{3n}{4}$ . Với mỗi vị trí, tìm nhóm chứa nó bằng tần số tích luỹ (cộng dồn $n_i$ từ nhóm đầu cho tới khi vượt qua vị trí đó), rồi nội suy tuyến tính trong nhóm chứa: nếu nhóm chứa là $[a_m; a_{m+1})$ với tần số $n_m$ và tần số tích luỹ trước đó là $C_{m-1}$ , giá trị cần tìm là $a_m + \dfrac{\text{vị trí} - C_{m-1}}{n_m}\left(a_{m+1}-a_m\right)$ . Khoá học này dùng đúng một quy ước này cho mọi bài, mọi ví dụ và mọi câu hỏi — không đổi công thức giữa các bài.

Quy ước tính trung vị và tứ phân vị của mẫu ghép nhóm — theo SGK Toán 11, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống (Cánh diều và Chân trời sáng tạo dùng cùng công thức nội suy tuyến tính này): gọi $n$ là tổng tần số. Vị trí trung vị là $\dfrac{n}{2}$, vị trí $Q_1$ là $\dfrac{n}{4}$, vị trí $Q_3$ là $\dfrac{3n}{4}$. Với mỗi vị trí, tìm nhóm chứa nó bằng tần số tích luỹ (cộng dồn $n_i$ từ nhóm đầu cho tới khi vượt qua vị trí đó), rồi nội suy tuyến tính trong nhóm chứa: nếu nhóm chứa là $[a_m; a_{m+1})$ với tần số $n_m$ và tần số tích luỹ trước đó là $C_{m-1}$, giá trị cần tìm là $a_m + \dfrac{\text{vị trí} - C_{m-1}}{n_m}\left(a_{m+1}-a_m\right)$. Khoá học này dùng đúng một quy ước này cho mọi bài, mọi ví dụ và mọi câu hỏi — không đổi công thức giữa các bài.

Khởi động

Lớp 12A và 12B cùng khảo sát thời gian tự học buổi tối của 40 học sinh, và hai lớp có số trung bình khá gần nhau. Vậy có phải học sinh hai lớp "học đều như nhau" không? Muốn trả lời chính xác, trước hết em cần tính lại đúng những số đặc trưng đã học ở lớp 11 cho hai bảng dữ liệu này.

Tần số tích luỹTổng dồn tần số của một nhóm với tần số của tất cả các nhóm đứng trước nó. Tần số tích luỹ của nhóm cuối cùng luôn bằng

n

— tổng số quan sát của cả mẫu. Đây là công cụ duy nhất để xác định nhóm chứa trung vị hay tứ phân vị, không phải tần số riêng của từng nhóm.Tổng dồn tần số của một nhóm với tần số của tất cả các nhóm đứng trước nó. Tần số tích luỹ của nhóm cuối cùng luôn bằng $n$ — tổng số quan sát của cả mẫu. Đây là công cụ duy nhất để xác định nhóm chứa trung vị hay tứ phân vị, không phải tần số riêng của từng nhóm.

Vì sao cả khoá học này lại cần nhắc lại đúng những công thức trên trước khi học gì mới? Vì mọi số đo độ phân tán sắp học — khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn — đều tính dựa trên giá trị đại diện $c_i$ và các mốc như $Q_1$ , $Q_3$ vừa ôn lại. Nếu nội suy tứ phân vị sai ngay từ bài này, mọi phép tính ở các bài sau đều sai theo, dù công thức của bài sau có đúng đến đâu.

Vì sao cả khoá học này lại cần nhắc lại đúng những công thức trên trước khi học gì mới? Vì mọi số đo độ phân tán sắp học — khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn — đều tính dựa trên giá trị đại diện $c_i$ và các mốc như $Q_1$, $Q_3$ vừa ôn lại. Nếu nội suy tứ phân vị sai ngay từ bài này, mọi phép tính ở các bài sau đều sai theo, dù công thức của bài sau có đúng đến đâu.

Bảng dữ liệu dùng xuyên suốt chương này

Thời gian tự học buổi tối (phút) của 40 học sinh lớp 12A được ghi lại thành bảng tần số ghép nhóm sau, các nhóm đều có độ rộng 10 phút:\n\n| Nhóm (phút) | Tần số | |---|---| | [20; 30) | 4 | | [30; 40) | 8 | | [40; 50) | 14 | | [50; 60) | 10 | | [60; 70) | 4 | | Tổng | 40 |

Phân bố thời gian tự học buổi tối của lớp 12A — mẫu số liệu ghép nhóm dùng xuyên suốt chương này.

Ví dụ 1 — Tính số trung bình

Ví dụ

Tính số trung bình thời gian tự học của lớp 12A

1
Tính số trung bình thời gian tự học buổi tối của 40 học sinh lớp 12A ở bảng trên.
2
Ta có giá trị đại diện của 5 nhóm lần lượt là $c_1=25,\ c_2=35,\ c_3=45,\ c_4=55,\ c_5=65$ (phút), là trung điểm mỗi nửa khoảng.
Ta có giá trị đại diện của 5 nhóm lần lượt là $c_1=25,\ c_2=35,\ c_3=45,\ c_4=55,\ c_5=65$ (phút), là trung điểm mỗi nửa khoảng.
3
Theo công thức số trung bình của mẫu ghép nhóm, $\overline{x} = \dfrac{4\cdot25+8\cdot35+14\cdot45+10\cdot55+4\cdot65}{40} = \dfrac{1820}{40} = 45,5$ (phút).
Theo công thức số trung bình của mẫu ghép nhóm, $\overline{x} = \dfrac{4\cdot25+8\cdot35+14\cdot45+10\cdot55+4\cdot65}{40} = \dfrac{1820}{40} = 45,5$ (phút).
4
Giá trị 45,5 nằm trong nhóm $[40;50)$ — đúng nhóm có tần số lớn nhất (14 học sinh), hợp lý vì trung bình cộng thường lệch về phía nhóm đông nhất khi phân bố không quá lệch. Vậy $\overline{x} = 45,5$ phút.
Giá trị 45,5 nằm trong nhóm $[40;50)$ — đúng nhóm có tần số lớn nhất (14 học sinh), hợp lý vì trung bình cộng thường lệch về phía nhóm đông nhất khi phân bố không quá lệch. Vậy $\overline{x} = 45,5$ phút.

Ví dụ 2 — Tính trung vị và tứ phân vị

Ví dụ

Tính trung vị,

Q_1

Q_3

của lớp 12ATính trung vị, $Q_1$, $Q_3$ của lớp 12A

1
Tính trung vị, tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của bảng thời gian tự học lớp 12A.
Tính trung vị, tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của bảng thời gian tự học lớp 12A.
2
Cộng dồn tần số theo thứ tự nhóm: $4,\ 12,\ 26,\ 36,\ 40$ . Đây là căn cứ duy nhất để tìm nhóm chứa một vị trí cho trước.
Cộng dồn tần số theo thứ tự nhóm: $4,\ 12,\ 26,\ 36,\ 40$. Đây là căn cứ duy nhất để tìm nhóm chứa một vị trí cho trước.
3
Vị trí trung vị là $\dfrac{40}{2}=20$ . Tần số tích luỹ đạt 12 sau nhóm $[30;40)$ và đạt 26 sau nhóm $[40;50)$ , nên vị trí 20 rơi vào nhóm $[40;50)$ — đây là nhóm chứa trung vị. (1)
Vị trí trung vị là $\dfrac{40}{2}=20$. Tần số tích luỹ đạt 12 sau nhóm $[30;40)$ và đạt 26 sau nhóm $[40;50)$, nên vị trí 20 rơi vào nhóm $[40;50)$ — đây là nhóm chứa trung vị. (1)
4
Áp dụng công thức nội suy với $a_m=40,\ n_m=14,\ C_{m-1}=12$ : $M_e = 40 + \dfrac{20-12}{14}\cdot10 \approx 45,71$ (phút).
Áp dụng công thức nội suy với $a_m=40,\ n_m=14,\ C_{m-1}=12$: $M_e = 40 + \dfrac{20-12}{14}\cdot10 \approx 45,71$ (phút).
5
Vị trí $Q_1$ là $\dfrac{40}{4}=10$ , rơi vào nhóm $[30;40)$ vì tần số tích luỹ trước đó là 4 và sau nhóm này là 12 (vượt qua 10). (2). Nội suy: $Q_1 = 30 + \dfrac{10-4}{8}\cdot10 = 37,5$ (phút).
Vị trí $Q_1$ là $\dfrac{40}{4}=10$, rơi vào nhóm $[30;40)$ vì tần số tích luỹ trước đó là 4 và sau nhóm này là 12 (vượt qua 10). (2). Nội suy: $Q_1 = 30 + \dfrac{10-4}{8}\cdot10 = 37,5$ (phút).
6
Vị trí $Q_3$ là $\dfrac{3\cdot40}{4}=30$ , rơi vào nhóm $[50;60)$ vì tần số tích luỹ trước đó là 26 và sau nhóm này là 36. (3). Nội suy: $Q_3 = 50 + \dfrac{30-26}{10}\cdot10 = 54$ (phút).
Vị trí $Q_3$ là $\dfrac{3\cdot40}{4}=30$, rơi vào nhóm $[50;60)$ vì tần số tích luỹ trước đó là 26 và sau nhóm này là 36. (3). Nội suy: $Q_3 = 50 + \dfrac{30-26}{10}\cdot10 = 54$ (phút).
7
Ba giá trị thoả $Q_1=37,5 < M_e\approx45,71 < Q_3=54$ , đúng thứ tự tăng dần một tứ phân vị phải có — nếu tính ra ngược lại thì chắc chắn đã nội suy sai nhóm. Vậy $M_e\approx45,71$ phút, $Q_1=37,5$ phút, $Q_3=54$ phút.
Ba giá trị thoả $Q_1=37,5 < M_e\approx45,71 < Q_3=54$, đúng thứ tự tăng dần một tứ phân vị phải có — nếu tính ra ngược lại thì chắc chắn đã nội suy sai nhóm. Vậy $M_e\approx45,71$ phút, $Q_1=37,5$ phút, $Q_3=54$ phút.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Bẫy: nhầm tần số với tần số tích luỹ

Nhiều học sinh tìm nhóm chứa trung vị/tứ phân vị bằng cách nhìn tần số $n_i$ của từng nhóm rồi đoán, thay vì cộng dồn thành tần số tích luỹ. Một tần số $n_i$ lớn không có nghĩa vị trí cần tìm rơi vào đúng nhóm đó — phải so vị trí với tần số tích luỹ, không phải với tần số riêng lẻ.

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt

Mẫu ghép nhóm thay giá trị gốc bằng giá trị đại diện và tần số. Số trung bình là trung bình cộng có trọng số theo tần số. Trung vị và tứ phân vị được xác định bằng hai bước: tìm nhóm chứa vị trí cần tính qua tần số tích luỹ, rồi nội suy tuyến tính trong nhóm đó. Cả khoá học này xây trên đúng bộ công thức vừa nhắc lại.

Bài tiếp theo hỏi một câu hoàn toàn mới: nếu chỉ biết trung bình, trung vị và tứ phân vị thôi thì đã đủ để so sánh "mức độ đồng đều" giữa hai lớp chưa? Số đo đầu tiên trả lời câu hỏi đó là khoảng biến thiên.