Bài học

Phương sai của mẫu ghép nhóm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính đúng phương sai $S^2$ của một mẫu số liệu ghép nhóm bằng công thức trung bình bình phương độ lệch, và giải thích được ý nghĩa của từng bước trong công thức đó, không chỉ thay số một cách máy móc.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này cần lại số trung bình $\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum n_i c_i$ đã ôn ở bài 1, và giá trị đại diện $c_i$ của từng nhóm. Phương sai đo độ lệch của TOÀN BỘ các nhóm so với $\overline{x}$ , chứ không chỉ hai đầu mút như $R$ hay hai mốc $Q_1, Q_3$ như $\Delta Q$ .

Bài này cần lại số trung bình $\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum n_i c_i$ đã ôn ở bài 1, và giá trị đại diện $c_i$ của từng nhóm. Phương sai đo độ lệch của TOÀN BỘ các nhóm so với $\overline{x}$, chứ không chỉ hai đầu mút như $R$ hay hai mốc $Q_1, Q_3$ như $\Delta Q$.

Khởi động

$R$ và $\Delta Q$ đều chỉ dùng 2 đến 4 con số trong cả bảng tần số — bỏ qua phần lớn thông tin còn lại. Có cách nào đo độ phân tán mà dùng đến TẤT CẢ các nhóm và toàn bộ tần số, để không bỏ sót gì cả không? Câu trả lời nằm ngay trong công thức mà em sắp học.

Kiến thức trọng tâm

Phương sai (mẫu ghép nhóm)Kí hiệu

S^2

, là trung bình cộng có trọng số của bình phương độ lệch giữa giá trị đại diện mỗi nhóm và số trung bình của mẫu:

S^2 = \dfrac{1}{n}\sum n_i\left(c_i-\overline{x}\right)^2

.Kí hiệu $S^2$, là trung bình cộng có trọng số của bình phương độ lệch giữa giá trị đại diện mỗi nhóm và số trung bình của mẫu: $S^2 = \dfrac{1}{n}\sum n_i\left(c_i-\overline{x}\right)^2$.

Đọc công thức theo đúng thứ tự các bước bên trong nó. Đầu tiên, $c_i-\overline{x}$ đo độ lệch của nhóm thứ $i$ so với trung bình chung — có thể âm (nhóm thấp hơn trung bình) hoặc dương (nhóm cao hơn). Bình phương $\left(c_i-\overline{x}\right)^2$ xoá dấu âm đi, để một nhóm lệch xuống và một nhóm lệch lên không triệt tiêu nhau khi cộng lại — nếu không bình phương, tổng các độ lệch quanh trung bình luôn bằng 0, vô dụng cho việc đo phân tán.

Nhân với tần số $n_i$ rồi mới cộng lại có nghĩa là một nhóm đông người ảnh hưởng tới $S^2$ nhiều hơn một nhóm chỉ vài người, đúng như trực giác — một nhóm lệch xa trung bình nhưng chỉ có 1 quan sát không đáng lo bằng một nhóm lệch xa mà có tới 20 quan sát. Cuối cùng, chia cho $n$ biến tổng đó thành một trung bình — con số đại diện chung cho "độ lệch bình phương trung bình" của cả mẫu, không phụ thuộc vào việc mẫu có bao nhiêu quan sát.

Nhân với tần số $n_i$ rồi mới cộng lại có nghĩa là một nhóm đông người ảnh hưởng tới $S^2$ nhiều hơn một nhóm chỉ vài người, đúng như trực giác — một nhóm lệch xa trung bình nhưng chỉ có 1 quan sát không đáng lo bằng một nhóm lệch xa mà có tới 20 quan sát. Cuối cùng, chia cho $n$ biến tổng đó thành một trung bình — con số đại diện chung cho \"độ lệch bình phương trung bình\" của cả mẫu, không phụ thuộc vào việc mẫu có bao nhiêu quan sát.

Vì sao đơn vị của phương sai luôn bị bình phương

Đơn vị của $S^2$ luôn là bình phương đơn vị dữ liệu gốc — cân nặng tính theo gram thì $S^2$ mang đơn vị $\text{gram}^2$ , thời gian tính theo phút thì $S^2$ mang đơn vị $\text{phút}^2$ . Bình phương đơn vị không có ý nghĩa vật lý trực tiếp để so sánh với dữ liệu gốc — đó là lý do bài sau đưa $S^2$ trở lại đúng đơn vị ban đầu. Nói "phương sai là 109" mà không kèm đơn vị $\text{gram}^2$ là một cách trình bày thiếu, dù con số có đúng đến đâu.

Đơn vị của $S^2$ luôn là bình phương đơn vị dữ liệu gốc — cân nặng tính theo gram thì $S^2$ mang đơn vị $\text{gram}^2$, thời gian tính theo phút thì $S^2$ mang đơn vị $\text{phút}^2$. Bình phương đơn vị không có ý nghĩa vật lý trực tiếp để so sánh với dữ liệu gốc — đó là lý do bài sau đưa $S^2$ trở lại đúng đơn vị ban đầu. Nói \"phương sai là 109\" mà không kèm đơn vị $\text{gram}^2$ là một cách trình bày thiếu, dù con số có đúng đến đâu.

Vì dùng đến mọi nhóm, phương sai không bỏ sót thông tin theo cách $R$ và $\Delta Q$ vẫn có thể bỏ sót. Một trại chăn nuôi muốn biết đàn gà con có phát triển đồng đều không sẽ quan tâm tới phương sai cân nặng hơn là chỉ nhìn con nặng nhất và nhẹ nhất — vì cách phân bố của toàn bộ đàn, không chỉ hai cá thể cực đoan, mới nói lên việc chăm sóc có đồng đều hay không.

Ví dụ 1 — Tính phương sai cân nặng gà con

Ví dụ

Phương sai cân nặng gà con

1
Tính phương sai của bảng cân nặng 30 con gà con: nhóm $[80;90), [90;100), [100;110), [110;120), [120;130)$ với tần số $3, 7, 12, 6, 2$ .
Tính phương sai của bảng cân nặng 30 con gà con: nhóm $[80;90), [90;100), [100;110), [110;120), [120;130)$ với tần số $3, 7, 12, 6, 2$.
2
Giá trị đại diện là $c_1=85,\ c_2=95,\ c_3=105,\ c_4=115,\ c_5=125$ . $\overline{x} = \dfrac{3\cdot85+7\cdot95+12\cdot105+6\cdot115+2\cdot125}{30} = \dfrac{3120}{30} = 104$ (gram).
Giá trị đại diện là $c_1=85,\ c_2=95,\ c_3=105,\ c_4=115,\ c_5=125$. $\overline{x} = \dfrac{3\cdot85+7\cdot95+12\cdot105+6\cdot115+2\cdot125}{30} = \dfrac{3120}{30} = 104$ (gram).
3
Độ lệch $c_i-\overline{x}$ lần lượt là $85-104=-19$ , $95-104=-9$ , $105-104=1$ , $115-104=11$ , $125-104=21$ . (1)
Độ lệch $c_i-\overline{x}$ lần lượt là $85-104=-19$, $95-104=-9$, $105-104=1$, $115-104=11$, $125-104=21$. (1)
4
Bình phương từng độ lệch: $361,\ 81,\ 1,\ 121,\ 441$ . Nhân với tần số tương ứng: $3\cdot361=1083$ ; $7\cdot81=567$ ; $12\cdot1=12$ ; $6\cdot121=726$ ; $2\cdot441=882$ . (2)
Bình phương từng độ lệch: $361,\ 81,\ 1,\ 121,\ 441$. Nhân với tần số tương ứng: $3\cdot361=1083$; $7\cdot81=567$; $12\cdot1=12$; $6\cdot121=726$; $2\cdot441=882$. (2)
5
Từ (2), tổng $=1083+567+12+726+882=3270$ . Từ đó $S^2 = \dfrac{3270}{30} = 109$ $\text{gram}^2$ .
Từ (2), tổng $=1083+567+12+726+882=3270$. Từ đó $S^2 = \dfrac{3270}{30} = 109$ $\text{gram}^2$.
6
Nhóm $[80;90)$ lệch xa trung bình nhất ( $|-19|=19$ ) nhưng chỉ có tần số 3, trong khi nhóm $[100;110)$ gần trung bình nhất (lệch chỉ 1) lại có tần số đông nhất (12) — đúng như công thức dự đoán, nhóm gần trung bình và đông người đóng góp rất ít vào $S^2$ , còn nhóm lệch xa dù ít người vẫn đóng góp đáng kể. Vậy $S^2=109$ $\text{gram}^2$ .
Nhóm $[80;90)$ lệch xa trung bình nhất ($|-19|=19$) nhưng chỉ có tần số 3, trong khi nhóm $[100;110)$ gần trung bình nhất (lệch chỉ 1) lại có tần số đông nhất (12) — đúng như công thức dự đoán, nhóm gần trung bình và đông người đóng góp rất ít vào $S^2$, còn nhóm lệch xa dù ít người vẫn đóng góp đáng kể. Vậy $S^2=109$ $\text{gram}^2$.

Ví dụ 2 — Phương sai thời gian tự học của lớp 12A

Ví dụ

Phương sai thời gian tự học của lớp 12A

1
Dùng lại bảng thời gian tự học của lớp 12A (đã biết $\overline{x}=45,5$ phút từ bài 1), tính phương sai $S_A^2$ .
Dùng lại bảng thời gian tự học của lớp 12A (đã biết $\overline{x}=45,5$ phút từ bài 1), tính phương sai $S_A^2$.
2
Giá trị đại diện là $25, 35, 45, 55, 65$ . Độ lệch so với $\overline{x}=45,5$ lần lượt là $-20,5;\ -10,5;\ -0,5;\ 9,5;\ 19,5$ . (1)
Giá trị đại diện là $25, 35, 45, 55, 65$. Độ lệch so với $\overline{x}=45,5$ lần lượt là $-20,5;\ -10,5;\ -0,5;\ 9,5;\ 19,5$. (1)
3
Bình phương: $420,25;\ 110,25;\ 0,25;\ 90,25;\ 380,25$ . Nhân với tần số $4, 8, 14, 10, 4$ : $1681;\ 882;\ 3,5;\ 902,5;\ 1521$ . (2)
Bình phương: $420,25;\ 110,25;\ 0,25;\ 90,25;\ 380,25$. Nhân với tần số $4, 8, 14, 10, 4$: $1681;\ 882;\ 3,5;\ 902,5;\ 1521$. (2)
4
Từ (2), tổng $=1681+882+3,5+902,5+1521=4990$ . Suy ra $S_A^2 = \dfrac{4990}{40} = 124,75$ $\text{phút}^2$ .
Từ (2), tổng $=1681+882+3,5+902,5+1521=4990$. Suy ra $S_A^2 = \dfrac{4990}{40} = 124,75$ $\text{phút}^2$.
5
So với ví dụ cân nặng gà con, nhóm $[40;50)$ ở đây gần trung bình nhất (lệch chỉ $0,5$ ) và cũng đông nhất (tần số 14), nên đóng góp của nó vào tổng — chỉ $3,5$ trong tổng 4990 — là nhỏ nhất, đúng quy luật đã thấy ở ví dụ trước. Vậy $S_A^2=124,75$ $\text{phút}^2$ , một con số sẽ được dùng lại ở bài sau.
So với ví dụ cân nặng gà con, nhóm $[40;50)$ ở đây gần trung bình nhất (lệch chỉ $0,5$) và cũng đông nhất (tần số 14), nên đóng góp của nó vào tổng — chỉ $3,5$ trong tổng 4990 — là nhỏ nhất, đúng quy luật đã thấy ở ví dụ trước. Vậy $S_A^2=124,75$ $\text{phút}^2$, một con số sẽ được dùng lại ở bài sau.

Mỗi nhóm đóng góp bao nhiêu vào phương sai

Đóng góp

n_i(c_i-\overline{x})^2

của từng nhóm — nhóm giữa gần trung bình và đông người đóng góp ít nhất vào phương sai.Đóng góp $n_i(c_i-\overline{x})^2$ của từng nhóm — nhóm giữa gần trung bình và đông người đóng góp ít nhất vào phương sai.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Bẫy: quên chia cho n, hoặc quên bình phương độ lệch

Lỗi phổ biến nhất là quên chia cho $n$ ở bước cuối — chỉ dừng lại ở tổng $\sum n_i(c_i-\overline{x})^2 = 3270$ rồi coi đó là phương sai, trong khi phương sai thật phải chia cho $n=30$ để ra 109. Một lỗi khác là quên bình phương, chỉ cộng độ lệch có dấu — luôn cho kết quả gần 0 và vô nghĩa.

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt

Phương sai $S^2=\dfrac{1}{n}\sum n_i(c_i-\overline{x})^2$ dùng đến toàn bộ các nhóm và toàn bộ tần số của mẫu, không bỏ sót nhóm nào như $R$ hay $\Delta Q$ . Bốn bước bắt buộc là tính độ lệch, bình phương, nhân tần số, rồi chia cho $n$ — bỏ một bước bất kỳ đều cho ra một con số không còn là phương sai. Nhưng vì độ lệch đã bị bình phương, đơn vị của $S^2$ cũng bị bình phương theo, khiến nó khó so sánh trực tiếp với dữ liệu gốc — $S^2=109$ $\text{gram}^2$ không tự nói lên "khoảng cách điển hình" bao nhiêu gram.

Phương sai $S^2=\dfrac{1}{n}\sum n_i(c_i-\overline{x})^2$ dùng đến toàn bộ các nhóm và toàn bộ tần số của mẫu, không bỏ sót nhóm nào như $R$ hay $\Delta Q$. Bốn bước bắt buộc là tính độ lệch, bình phương, nhân tần số, rồi chia cho $n$ — bỏ một bước bất kỳ đều cho ra một con số không còn là phương sai. Nhưng vì độ lệch đã bị bình phương, đơn vị của $S^2$ cũng bị bình phương theo, khiến nó khó so sánh trực tiếp với dữ liệu gốc — $S^2=109$ $\text{gram}^2$ không tự nói lên \"khoảng cách điển hình\" bao nhiêu gram.

Bài tiếp theo khai căn bậc hai của $S^2$ để đưa số đo phân tán trở lại đúng đơn vị ban đầu — đó là độ lệch chuẩn, số đo được dùng phổ biến nhất để kết luận mẫu nào đồng đều hơn. Ghi nhớ hai con số vừa tính được ở bài này, $S_A^2$ và cân nặng gà con $S^2=109$ , vì bài sau sẽ dùng lại chúng ngay từ ví dụ đầu tiên, không tính lại từ đầu.

Bài tiếp theo khai căn bậc hai của $S^2$ để đưa số đo phân tán trở lại đúng đơn vị ban đầu — đó là độ lệch chuẩn, số đo được dùng phổ biến nhất để kết luận mẫu nào đồng đều hơn. Ghi nhớ hai con số vừa tính được ở bài này, $S_A^2$ và cân nặng gà con $S^2=109$, vì bài sau sẽ dùng lại chúng ngay từ ví dụ đầu tiên, không tính lại từ đầu.