Bài học

Ôn tập tổng hợp: Các số đo độ phân tán

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp cả bốn số đo — khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn — trong một bài toán tổng hợp duy nhất, đúng cấu trúc một câu hỏi thống kê kiểu đề thi tốt nghiệp THPT.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không giới thiệu công thức mới. Toàn bộ nội dung dưới đây chỉ ghép lại năm bài trước: giá trị đại diện và số trung bình (bài 1), khoảng biến thiên $R$ (bài 2), khoảng tứ phân vị $\Delta Q$ (bài 3), phương sai $S^2$ (bài 4), độ lệch chuẩn $S$ và cách so sánh độ đồng đều (bài 5). Hãy chuẩn bị sẵn công thức của cả năm bài trước khi đọc tiếp.

Khởi động

Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán từ 2025 gồm ba phần: trắc nghiệm 4 lựa chọn, đúng/sai (4 ý mỗi câu), và trả lời ngắn — cả ba phần đều có thể hỏi về mẫu ghép nhóm. Bài ôn tập này dựng một bài toán đủ cả bốn số đo, giống cách một câu hỏi thật sẽ kết hợp chúng.

Nhìn lại cả chương: bài 1 ôn lại nền tảng đã học ở lớp 11 (giá trị đại diện, số trung bình, trung vị, tứ phân vị bằng nội suy). Bài 2 và 3 học hai số đo phân tán "nhẹ" — chỉ dùng vài mốc của mẫu. Bài 4 và 5 học hai số đo "nặng" — dùng toàn bộ dữ liệu, đưa về đúng đơn vị gốc. Bài này không thêm công thức nào mới, mà luyện đúng kĩ năng khó nhất: phối hợp cả bốn số đo trong một tình huống, đúng như một câu hỏi thi thật sẽ đòi hỏi.

Nhìn lại cả chương: bài 1 ôn lại nền tảng đã học ở lớp 11 (giá trị đại diện, số trung bình, trung vị, tứ phân vị bằng nội suy). Bài 2 và 3 học hai số đo phân tán \"nhẹ\" — chỉ dùng vài mốc của mẫu. Bài 4 và 5 học hai số đo \"nặng\" — dùng toàn bộ dữ liệu, đưa về đúng đơn vị gốc. Bài này không thêm công thức nào mới, mà luyện đúng kĩ năng khó nhất: phối hợp cả bốn số đo trong một tình huống, đúng như một câu hỏi thi thật sẽ đòi hỏi.

Quy trình tổng hợp

Ví dụ 1 — Bài toán tổng hợp trên một mẫu mới

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: thời gian giải một đề ôn tập

1
Thời gian giải xong một đề ôn tập (phút) của 50 học sinh được ghép thành 6 nhóm độ rộng 10: $[10;20), [20;30), [30;40), [40;50), [50;60), [60;70)$ với tần số lần lượt $3, 9, 15, 13, 7, 3$ . Tính đủ bốn số đo: $R$ , $\Delta Q$ , $S^2$ , $S$ .
Thời gian giải xong một đề ôn tập (phút) của 50 học sinh được ghép thành 6 nhóm độ rộng 10: $[10;20), [20;30), [30;40), [40;50), [50;60), [60;70)$ với tần số lần lượt $3, 9, 15, 13, 7, 3$. Tính đủ bốn số đo: $R$, $\Delta Q$, $S^2$, $S$.
2
Giá trị đại diện: $15, 25, 35, 45, 55, 65$ . $\overline{x} = \dfrac{3\cdot15+9\cdot25+15\cdot35+13\cdot45+7\cdot55+3\cdot65}{50} = \dfrac{1960}{50} = 39,2$ (phút). (1)
Giá trị đại diện: $15, 25, 35, 45, 55, 65$. $\overline{x} = \dfrac{3\cdot15+9\cdot25+15\cdot35+13\cdot45+7\cdot55+3\cdot65}{50} = \dfrac{1960}{50} = 39,2$ (phút). (1)
3
Nhóm đầu $[10;20)$ , nhóm cuối $[60;70)$ : $R = 70-10 = 60$ (phút). (2)
Nhóm đầu $[10;20)$, nhóm cuối $[60;70)$: $R = 70-10 = 60$ (phút). (2)
4
Tần số tích luỹ: $3, 12, 27, 40, 47, 50$ . Vị trí $Q_1=\dfrac{50}{4}=12,5$ : tích luỹ hết nhóm $[20;30)$ là 12 (chưa tới 12,5), hết nhóm $[30;40)$ là 27 (đã vượt qua 12,5), nên $Q_1$ rơi vào nhóm $[30;40)$ với $C_{m-1}=12,\ n_m=15$ : $Q_1 = 30 + \dfrac{12,5-12}{15}\cdot10 \approx 30,33$ (phút). (3)
Tần số tích luỹ: $3, 12, 27, 40, 47, 50$. Vị trí $Q_1=\dfrac{50}{4}=12,5$: tích luỹ hết nhóm $[20;30)$ là 12 (chưa tới 12,5), hết nhóm $[30;40)$ là 27 (đã vượt qua 12,5), nên $Q_1$ rơi vào nhóm $[30;40)$ với $C_{m-1}=12,\ n_m=15$: $Q_1 = 30 + \dfrac{12,5-12}{15}\cdot10 \approx 30,33$ (phút). (3)
5
Vị trí $Q_3=\dfrac{3\cdot50}{4}=37,5$ : tích luỹ hết nhóm $[30;40)$ là 27 (chưa tới 37,5), hết nhóm $[40;50)$ là 40 (đã vượt qua 37,5), nên $Q_3$ rơi vào nhóm $[40;50)$ với $C_{m-1}=27,\ n_m=13$ : $Q_3 = 40 + \dfrac{37,5-27}{13}\cdot10 \approx 48,08$ (phút). Từ (3): $\Delta Q = 48,08 - 30,33 \approx 17,74$ (phút). (4)
Vị trí $Q_3=\dfrac{3\cdot50}{4}=37,5$: tích luỹ hết nhóm $[30;40)$ là 27 (chưa tới 37,5), hết nhóm $[40;50)$ là 40 (đã vượt qua 37,5), nên $Q_3$ rơi vào nhóm $[40;50)$ với $C_{m-1}=27,\ n_m=13$: $Q_3 = 40 + \dfrac{37,5-27}{13}\cdot10 \approx 48,08$ (phút). Từ (3): $\Delta Q = 48,08 - 30,33 \approx 17,74$ (phút). (4)
6
Độ lệch $c_i-\overline{x}$ so với $39,2$ : $-24,2;\ -14,2;\ -4,2;\ 5,8;\ 15,8;\ 25,8$ . Bình phương: $585,64;\ 201,64;\ 17,64;\ 33,64;\ 249,64;\ 665,64$ . (5)
Độ lệch $c_i-\overline{x}$ so với $39,2$: $-24,2;\ -14,2;\ -4,2;\ 5,8;\ 15,8;\ 25,8$. Bình phương: $585,64;\ 201,64;\ 17,64;\ 33,64;\ 249,64;\ 665,64$. (5)
7
Nhân với tần số $3, 9, 15, 13, 7, 3$ : $1756,92;\ 1814,76;\ 264,6;\ 437,32;\ 1747,48;\ 1996,92$ , tổng $=8018$ . Từ (5): $S^2 = \dfrac{8018}{50} = 160,36$ $\text{phút}^2$ , suy ra $S=\sqrt{160,36}\approx12,66$ (phút). (6)
Nhân với tần số $3, 9, 15, 13, 7, 3$: $1756,92;\ 1814,76;\ 264,6;\ 437,32;\ 1747,48;\ 1996,92$, tổng $=8018$. Từ (5): $S^2 = \dfrac{8018}{50} = 160,36$ $\text{phút}^2$, suy ra $S=\sqrt{160,36}\approx12,66$ (phút). (6)
8
Từ (1)–(6): $\overline{x}\approx39,2$ , $R=60$ , $\Delta Q\approx17,74$ , $S^2=160,36$ , $S\approx12,66$ (đều tính bằng phút hoặc phút²). Kiểm tra: $\Delta Q < R$ đúng như quy luật đã học ( $\Delta Q$ chỉ đo phần lõi nên luôn không vượt quá $R$ ), và $12,66^2\approx160,36$ khớp với $S^2$ vừa tính — hai cách tính độc lập cho kết quả nhất quán. Vậy bài toán được giải trọn vẹn.
Từ (1)–(6): $\overline{x}\approx39,2$, $R=60$, $\Delta Q\approx17,74$, $S^2=160,36$, $S\approx12,66$ (đều tính bằng phút hoặc phút²). Kiểm tra: $\Delta Q < R$ đúng như quy luật đã học ($\Delta Q$ chỉ đo phần lõi nên luôn không vượt quá $R$), và $12,66^2\approx160,36$ khớp với $S^2$ vừa tính — hai cách tính độc lập cho kết quả nhất quán. Vậy bài toán được giải trọn vẹn.

Biểu đồ tổng hợp

Mẫu số liệu dùng cho bài toán tổng hợp cuối chương.

Ba số đo cùng đơn vị (phút) nhưng đo những phạm vi khác nhau của mẫu: R đo toàn bộ bề rộng, ΔQ đo phần lõi 50% giữa, S đo độ lệch điển hình dùng toàn bộ dữ liệu.

Ví dụ 2 — Dạng đúng/sai kiểu đề thi tốt nghiệp THPT

Ví dụ

Bốn mệnh đề đúng/sai về hai lớp 12A và 12B

1
Xét bảng thời gian tự học của lớp 12A và 12B đã dùng xuyên suốt chương. Xét tính đúng sai của bốn mệnh đề sau: (a) Hai lớp có cùng khoảng biến thiên. (b) Lớp 12A có khoảng tứ phân vị lớn hơn lớp 12B. (c) Lớp 12A đồng đều hơn lớp 12B vì có độ lệch chuẩn nhỏ hơn. (d) Số trung bình của lớp 12B lớn hơn lớp 12A.
2
$R_A=R_B=50$ phút (đã tính ở bài 2) — mệnh đề (a) ĐÚNG.
$R_A=R_B=50$ phút (đã tính ở bài 2) — mệnh đề (a) ĐÚNG.
3
$\Delta Q_A=16,5$ phút, $\Delta Q_B=11,5$ phút (bài 3), nên $\Delta Q_A > \Delta Q_B$ — mệnh đề (b) ĐÚNG.
$\Delta Q_A=16,5$ phút, $\Delta Q_B=11,5$ phút (bài 3), nên $\Delta Q_A > \Delta Q_B$ — mệnh đề (b) ĐÚNG.
4
$S_A\approx11,17$ phút, $S_B\approx9,63$ phút (bài 5), nên $S_A > S_B$ — lớp 12A có độ lệch chuẩn LỚN hơn, không phải nhỏ hơn, nên lớp 12A kém đồng đều hơn lớp 12B chứ không phải đồng đều hơn — mệnh đề (c) SAI.
$S_A\approx11,17$ phút, $S_B\approx9,63$ phút (bài 5), nên $S_A > S_B$ — lớp 12A có độ lệch chuẩn LỚN hơn, không phải nhỏ hơn, nên lớp 12A kém đồng đều hơn lớp 12B chứ không phải đồng đều hơn — mệnh đề (c) SAI.
5
$\overline{x}_A=45,5$ phút, $\overline{x}_B=46,5$ phút, nên $\overline{x}_B > \overline{x}_A$ — mệnh đề (d) ĐÚNG. Vậy trong bốn mệnh đề, (a), (b), (d) đúng và (c) sai — đúng dạng một câu hỏi phần II đề thi tốt nghiệp THPT, nơi mỗi ý phải được kiểm chứng độc lập bằng số liệu, không suy diễn từ ý khác.
$\overline{x}_A=45,5$ phút, $\overline{x}_B=46,5$ phút, nên $\overline{x}_B > \overline{x}_A$ — mệnh đề (d) ĐÚNG. Vậy trong bốn mệnh đề, (a), (b), (d) đúng và (c) sai — đúng dạng một câu hỏi phần II đề thi tốt nghiệp THPT, nơi mỗi ý phải được kiểm chứng độc lập bằng số liệu, không suy diễn từ ý khác.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp — tổng kết cả chương

Ba bẫy lặp lại suốt chương

Ba lỗi hay gặp nhất suốt chương: (1) tìm nhóm chứa vị trí bằng tần số riêng lẻ thay vì tần số tích luỹ; (2) lấy giá trị đại diện hoặc đầu mút nhầm chỗ giữa các công thức $R$ , $\Delta Q$ , $S^2$ ; (3) kết luận "đồng đều hơn" chỉ dựa vào so sánh số trung bình thay vì so sánh độ lệch chuẩn hoặc khoảng tứ phân vị. Đọc lại đúng công thức trước khi thay số, đừng làm theo trí nhớ mơ hồ.

Ba lỗi hay gặp nhất suốt chương: (1) tìm nhóm chứa vị trí bằng tần số riêng lẻ thay vì tần số tích luỹ; (2) lấy giá trị đại diện hoặc đầu mút nhầm chỗ giữa các công thức $R$, $\Delta Q$, $S^2$; (3) kết luận \"đồng đều hơn\" chỉ dựa vào so sánh số trung bình thay vì so sánh độ lệch chuẩn hoặc khoảng tứ phân vị. Đọc lại đúng công thức trước khi thay số, đừng làm theo trí nhớ mơ hồ.

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt cả chương

Chương này học bốn số đo độ phân tán của mẫu ghép nhóm, tăng dần độ đầy đủ: khoảng biến thiên $R$ (2 mốc), khoảng tứ phân vị $\Delta Q$ (4 mốc, ổn định hơn), phương sai $S^2$ và độ lệch chuẩn $S$ (dùng toàn bộ dữ liệu, $S$ cùng đơn vị dữ liệu gốc). Kĩ năng quan trọng nhất không phải là tính đúng công thức, mà là biết dùng đúng số đo để kết luận và lập luận mẫu nào đồng đều hơn — kể cả khi hai mẫu có số trung bình gần bằng nhau.

Nhắc lại quy ước xuyên suốt chương: mọi vị trí trung vị, $Q_1$ , $Q_3$ đều tìm bằng tần số tích luỹ rồi nội suy tuyến tính trong nhóm chứa, theo đúng quy ước của SGK Toán 11–12, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống. Một học sinh nắm chắc bốn số đo này, cùng cách so sánh chúng, đã sẵn sàng cho cả ba dạng câu hỏi thống kê của đề thi tốt nghiệp THPT: trắc nghiệm, đúng/sai và trả lời ngắn.

Nhắc lại quy ước xuyên suốt chương: mọi vị trí trung vị, $Q_1$, $Q_3$ đều tìm bằng tần số tích luỹ rồi nội suy tuyến tính trong nhóm chứa, theo đúng quy ước của SGK Toán 11–12, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống. Một học sinh nắm chắc bốn số đo này, cùng cách so sánh chúng, đã sẵn sàng cho cả ba dạng câu hỏi thống kê của đề thi tốt nghiệp THPT: trắc nghiệm, đúng/sai và trả lời ngắn.

Khoá học tiếp theo rời khỏi việc mô tả một mẫu số liệu đơn lẻ, chuyển sang suy luận về xác suất của các biến cố có liên quan với nhau — bắt đầu từ xác suất có điều kiện, dùng lại chính kĩ năng đọc bảng dữ liệu và lập luận từng bước đã luyện tập xuyên suốt chương này.