Bài học

Nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra dấu hiệu của một hàm hợp cần đổi biến số, chọn đúng $u = g(x)$ , và dùng phương pháp đổi biến số để đưa một nguyên hàm phức tạp về một nguyên hàm cơ bản theo biến mới $u$ .

Sau bài này, em nhận ra dấu hiệu của một hàm hợp cần đổi biến số, chọn đúng $u = g(x)$, và dùng phương pháp đổi biến số để đưa một nguyên hàm phức tạp về một nguyên hàm cơ bản theo biến mới $u$.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước đã cho em bảng nguyên hàm cơ bản và công thức mở rộng cho hàm hợp tuyến tính $f(ax+b)$ (prior-grade và same-grade bridge trong cùng chương). Nhưng công thức mở rộng chỉ xử lí được trường hợp bên trong hàm hợp là biểu thức bậc nhất. Bài này giải quyết trường hợp tổng quát: bên trong hàm hợp là một biểu thức $g(x)$ bất kì, miễn là đạo hàm $g'(x)$ của nó cũng xuất hiện trong biểu thức cần tính nguyên hàm. Đây là kĩ thuật tính nguyên hàm xuất hiện nhiều nhất trong đề thi tốt nghiệp THPT, vì phần lớn các hàm hợp không tuyến tính học sinh gặp phải đều rơi vào dạng này.

Khởi động

Tính $\int x \cdot e^{x^2}\,dx$ . Đây không phải dạng $f(ax+b)$ vì số mũ là $x^2$ , không phải biểu thức bậc nhất — công thức bài trước bó tay. Nhưng để ý: đạo hàm của $x^2$ là $2x$ , và biểu thức $x$ đứng trước $e^{x^2}$ gần giống $2x$ chỉ thiếu hệ số 2. Đó là dấu hiệu để đổi biến.

Tính $\int x \cdot e^{x^2}\,dx$. Đây không phải dạng $f(ax+b)$ vì số mũ là $x^2$, không phải biểu thức bậc nhất — công thức bài trước bó tay. Nhưng để ý: đạo hàm của $x^2$ là $2x$, và biểu thức $x$ đứng trước $e^{x^2}$ gần giống $2x$ chỉ thiếu hệ số 2. Đó là dấu hiệu để đổi biến.

Quy tắc đổi biến số

Cho $u = g(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng $K$ , và $f$ là hàm số liên tục sao cho $f(g(x))$ xác định trên $K$ . Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ , tức $\int f(u)\,du = F(u) + C$ , thì theo quy tắc đạo hàm hàm hợp: $\dfrac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))\cdot g'(x)$ . Vậy $\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = F(g(x)) + C$ . Nói cách khác: nếu biểu thức cần lấy nguyên hàm có dạng "một hàm số theo $g(x)$ " nhân với "đúng đạo hàm $g'(x)$ của nó" (sai khác một hằng số nhân), em đặt $u = g(x)$ , viết $du = g'(x)\,dx$ , và bài toán trở thành nguyên hàm cơ bản theo biến $u$ .

Cho $u = g(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng $K$, và $f$ là hàm số liên tục sao cho $f(g(x))$ xác định trên $K$. Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$, tức $\int f(u)\,du = F(u) + C$, thì theo quy tắc đạo hàm hàm hợp: $\dfrac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))\cdot g'(x)$. Vậy $\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = F(g(x)) + C$. Nói cách khác: nếu biểu thức cần lấy nguyên hàm có dạng "một hàm số theo $g(x)$" nhân với "đúng đạo hàm $g'(x)$ của nó" (sai khác một hằng số nhân), em đặt $u = g(x)$, viết $du = g'(x)\,dx$, và bài toán trở thành nguyên hàm cơ bản theo biến $u$.

Dấu hiệu nhận biết dạng đổi biến rất cụ thể: nhìn vào biểu thức, tìm phần "phức tạp nhất" (thường nằm trong căn, trong mũ, hoặc là số bị chia), đặt nó là $u$ , rồi kiểm tra xem đạo hàm $u'$ có xuất hiện (sai khác hằng số nhân) trong phần còn lại của biểu thức hay không. Nếu có, phép đổi biến sẽ triệt tiêu đúng phần đó.

Dấu hiệu nhận biết dạng đổi biến rất cụ thể: nhìn vào biểu thức, tìm phần "phức tạp nhất" (thường nằm trong căn, trong mũ, hoặc là số bị chia), đặt nó là $u$, rồi kiểm tra xem đạo hàm $u'$ có xuất hiện (sai khác hằng số nhân) trong phần còn lại của biểu thức hay không. Nếu có, phép đổi biến sẽ triệt tiêu đúng phần đó.

Nhìn lại công thức mở rộng $f(ax+b)$ ở bài trước dưới góc độ này: đó chính là một trường hợp riêng của đổi biến số, ứng với $g(x) = ax+b$ và $g'(x) = a$ là một hằng số. Vì $g'(x)$ luôn bằng $a$ với mọi $x$ , phần "đạo hàm khớp" luôn tự động có sẵn (chỉ lệch hằng số $a$ ), nên bài trước không cần kiểm tra sự khớp — nó luôn đúng. Bài này tổng quát hoá sang trường hợp $g(x)$ không còn là hàm bậc nhất, khi đó $g'(x)$ phụ thuộc vào $x$ và việc kiểm tra sự khớp trở thành bước bắt buộc, không còn tự động như trước nữa.

Nhìn lại công thức mở rộng $f(ax+b)$ ở bài trước dưới góc độ này: đó chính là một trường hợp riêng của đổi biến số, ứng với $g(x) = ax+b$ và $g'(x) = a$ là một hằng số. Vì $g'(x)$ luôn bằng $a$ với mọi $x$, phần "đạo hàm khớp" luôn tự động có sẵn (chỉ lệch hằng số $a$), nên bài trước không cần kiểm tra sự khớp — nó luôn đúng. Bài này tổng quát hoá sang trường hợp $g(x)$ không còn là hàm bậc nhất, khi đó $g'(x)$ phụ thuộc vào $x$ và việc kiểm tra sự khớp trở thành bước bắt buộc, không còn tự động như trước nữa.

Quy trình đổi biến số dùng chung cho mọi dạng bài nguyên hàm hàm hợp không tuyến tính.

Ví dụ

Đổi biến với hàm số mũ

1
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = x \cdot e^{x^2}$ .
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = x \cdot e^{x^2}$.
2
Đặt $u = x^2$ , suy ra $du = 2x\,dx$ , tức $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$ .
Đặt $u = x^2$, suy ra $du = 2x\,dx$, tức $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$.
3
$\int x\,e^{x^2}\,dx = \int e^{u}\cdot\dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\int e^u\,du$ .
$\int x\,e^{x^2}\,dx = \int e^{u}\cdot\dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\int e^u\,du$.
4
$\dfrac{1}{2}\int e^u\,du = \dfrac{1}{2}e^u + C$ .
$\dfrac{1}{2}\int e^u\,du = \dfrac{1}{2}e^u + C$.
5
Vậy $\int x\,e^{x^2}\,dx = \dfrac{1}{2}e^{x^2} + C$ . Kiểm tra: $\left(\dfrac{1}{2}e^{x^2}\right)' = \dfrac{1}{2}\cdot e^{x^2}\cdot 2x = x\,e^{x^2}$ , đúng.
Vậy $\int x\,e^{x^2}\,dx = \dfrac{1}{2}e^{x^2} + C$. Kiểm tra: $\left(\dfrac{1}{2}e^{x^2}\right)' = \dfrac{1}{2}\cdot e^{x^2}\cdot 2x = x\,e^{x^2}$, đúng.

Ví dụ

Đổi biến với hàm lượng giác

1
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = \sin^3 x \cos x$ .
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = \sin^3 x \cos x$.
2
Đặt $u = \sin x$ , suy ra $du = \cos x\,dx$ — đúng phần $\cos x$ đang có sẵn trong đề bài, không cần thêm hệ số.
Đặt $u = \sin x$, suy ra $du = \cos x\,dx$ — đúng phần $\cos x$ đang có sẵn trong đề bài, không cần thêm hệ số.
3
$\int \sin^3 x \cos x\,dx = \int u^3\,du = \dfrac{u^4}{4} + C$ .
$\int \sin^3 x \cos x\,dx = \int u^3\,du = \dfrac{u^4}{4} + C$.
4
Vậy $\int \sin^3 x \cos x\,dx = \dfrac{\sin^4 x}{4} + C$ . Kiểm tra: $\left(\dfrac{\sin^4 x}{4}\right)' = \dfrac{4\sin^3 x \cos x}{4} = \sin^3 x \cos x$ , đúng.
Vậy $\int \sin^3 x \cos x\,dx = \dfrac{\sin^4 x}{4} + C$. Kiểm tra: $\left(\dfrac{\sin^4 x}{4}\right)' = \dfrac{4\sin^3 x \cos x}{4} = \sin^3 x \cos x$, đúng.

Ví dụ

Bài toán thi: nhận diện đúng phân thức cần đổi biến

1
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ trên $\mathbb{R}$ .
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ trên $\mathbb{R}$.
2
Mẫu số $x^2+1$ có đạo hàm là $2x$ , và tử số $x$ chính là $2x$ chia đôi — đây là dấu hiệu rõ ràng để đặt $u$ bằng mẫu số.
Mẫu số $x^2+1$ có đạo hàm là $2x$, và tử số $x$ chính là $2x$ chia đôi — đây là dấu hiệu rõ ràng để đặt $u$ bằng mẫu số.
3
Đặt $u = x^2+1$ , suy ra $du = 2x\,dx$ , tức $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$ .
Đặt $u = x^2+1$, suy ra $du = 2x\,dx$, tức $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$.
4
$\int \dfrac{x}{x^2+1}\,dx = \int \dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\ln|u| + C$ . Vì $u = x^2+1 > 0$ với mọi $x$ , không cần dấu giá trị tuyệt đối khi thay lại.
$\int \dfrac{x}{x^2+1}\,dx = \int \dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\ln|u| + C$. Vì $u = x^2+1 > 0$ với mọi $x$, không cần dấu giá trị tuyệt đối khi thay lại.
5
Vậy $\int \dfrac{x}{x^2+1}\,dx = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$ . Kiểm tra: $\left(\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)\right)' = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^2+1} = \dfrac{x}{x^2+1}$ , đúng với $f(x)$ .
Vậy $\int \dfrac{x}{x^2+1}\,dx = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$. Kiểm tra: $\left(\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)\right)' = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^2+1} = \dfrac{x}{x^2+1}$, đúng với $f(x)$.

Ví dụ

Bài toán thi: nguyên hàm của tan x

1
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = \tan x$ trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ .
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = \tan x$ trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$.
2
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ , nên $\int \tan x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx$ .
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, nên $\int \tan x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx$.
3
Đặt $u = \cos x$ , suy ra $du = -\sin x\,dx$ , tức $\sin x\,dx = -du$ .
Đặt $u = \cos x$, suy ra $du = -\sin x\,dx$, tức $\sin x\,dx = -du$.
4
$\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \dfrac{-du}{u} = -\ln|u| + C$ .
$\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \dfrac{-du}{u} = -\ln|u| + C$.
5
Trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ thì $\cos x > 0$ , nên $|u| = \cos x$ . Vậy $\int \tan x\,dx = -\ln(\cos x) + C$ . Kiểm tra: $(-\ln(\cos x))' = -\dfrac{-\sin x}{\cos x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ , đúng.
Trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ thì $\cos x > 0$, nên $|u| = \cos x$. Vậy $\int \tan x\,dx = -\ln(\cos x) + C$. Kiểm tra: $(-\ln(\cos x))' = -\dfrac{-\sin x}{\cos x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, đúng.

Bốn ví dụ trên chia sẻ đúng một cấu trúc, dù thuộc bốn dạng hàm số khác nhau: hàm mũ, hàm lượng giác luỹ thừa, phân thức, và tỉ số lượng giác. Mỗi lần, phần "phức tạp" bên trong ( $x^2$ , $\sin x$ , $x^2+1$ , $\cos x$ ) đóng vai trò $u$ , và phần còn lại của biểu thức luôn hoá ra chính là $u'$ nhân với một hằng số. Nhìn quen mắt bốn dạng này — hàm mũ của một biểu thức, luỹ thừa của $\sin x$ hay $\cos x$ , phân thức có tử là đạo hàm của mẫu, và tỉ số $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ hoặc $\dfrac{\cos x}{\sin x}$ — sẽ giúp em nhận ra ngay dấu hiệu đổi biến trong phòng thi, thay vì phải thử từng cách đặt $u$ một cách ngẫu nhiên.

Bốn ví dụ trên chia sẻ đúng một cấu trúc, dù thuộc bốn dạng hàm số khác nhau: hàm mũ, hàm lượng giác luỹ thừa, phân thức, và tỉ số lượng giác. Mỗi lần, phần "phức tạp" bên trong ($x^2$, $\sin x$, $x^2+1$, $\cos x$) đóng vai trò $u$, và phần còn lại của biểu thức luôn hoá ra chính là $u'$ nhân với một hằng số. Nhìn quen mắt bốn dạng này — hàm mũ của một biểu thức, luỹ thừa của $\sin x$ hay $\cos x$, phân thức có tử là đạo hàm của mẫu, và tỉ số $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ hoặc $\dfrac{\cos x}{\sin x}$ — sẽ giúp em nhận ra ngay dấu hiệu đổi biến trong phòng thi, thay vì phải thử từng cách đặt $u$ một cách ngẫu nhiên.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp: đặt $u = g(x)$ nhưng phần còn lại của biểu thức không khớp với $g'(x)$ (sai khác một hằng số), rồi vẫn cố tính như thể khớp. Ví dụ đặt $u = x^3$ cho $\int x\,e^{x^3}\,dx$ thì $du = 3x^2\,dx$ , không xuất hiện $x$ đơn lẻ trong đề — phép đổi biến này không dùng được, phải tìm cách khác. Luôn kiểm tra sự khớp nhau trước khi tính tiếp, đừng ép biến đổi.

Sai lầm thường gặp: đặt $u = g(x)$ nhưng phần còn lại của biểu thức không khớp với $g'(x)$ (sai khác một hằng số), rồi vẫn cố tính như thể khớp. Ví dụ đặt $u = x^3$ cho $\int x\,e^{x^3}\,dx$ thì $du = 3x^2\,dx$, không xuất hiện $x$ đơn lẻ trong đề — phép đổi biến này không dùng được, phải tìm cách khác. Luôn kiểm tra sự khớp nhau trước khi tính tiếp, đừng ép biến đổi.

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt

Phương pháp đổi biến số dùng khi biểu thức cần lấy nguyên hàm có dạng "hàm số theo $g(x)$ " nhân với đúng đạo hàm $g'(x)$ (sai khác hằng số nhân) của phần bên trong. Đặt $u = g(x)$ , tính $du = g'(x)\,dx$ , viết lại toàn bộ biểu thức theo $u$ , tính nguyên hàm cơ bản theo $u$ , rồi thay $u$ trở lại thành $g(x)$ . Bước kiểm tra sự khớp giữa phần còn lại và $g'(x)$ là bước quan trọng nhất, quyết định phép đổi biến có dùng được hay không.

Phương pháp đổi biến số dùng khi biểu thức cần lấy nguyên hàm có dạng "hàm số theo $g(x)$" nhân với đúng đạo hàm $g'(x)$ (sai khác hằng số nhân) của phần bên trong. Đặt $u = g(x)$, tính $du = g'(x)\,dx$, viết lại toàn bộ biểu thức theo $u$, tính nguyên hàm cơ bản theo $u$, rồi thay $u$ trở lại thành $g(x)$. Bước kiểm tra sự khớp giữa phần còn lại và $g'(x)$ là bước quan trọng nhất, quyết định phép đổi biến có dùng được hay không.

Đổi biến số giải quyết được nguyên hàm của tích một hàm hợp với đạo hàm của phần bên trong nó — dạng toán chiếm phần lớn các bài nguyên hàm hàm hợp trong chương trình lớp 12, đúng như bốn ví dụ vừa luyện. Bài tiếp theo chuyển sang một câu hỏi khác hẳn: thay vì tìm cả họ nguyên hàm, ta tính giá trị tích luỹ của một hàm số trên một đoạn $[a;b]$ cụ thể — tích phân xác định, qua công thức Newton–Leibniz — và đúng kĩ thuật đổi biến số vừa học sẽ quay lại trong bối cảnh mới đó, kèm thêm một bước: đổi cận.