Bài học

Ôn tập: trả lời ngắn và bài toán tổng hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải đúng dạng câu hỏi trả lời ngắn (Phần III) về nguyên hàm và tích phân, trình bày một bài toán tổng hợp cần phối hợp nhiều kĩ thuật trong cùng một lời giải, và tổng kết lại toàn bộ nội dung khoá học bằng các công thức cốt lõi.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã luyện Phần I và Phần II của cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT 2025 (same-grade bridge). Bài cuối cùng này luyện Phần III — trả lời ngắn — nơi đề bài không cho sẵn các phương án, học sinh phải tự tính ra một con số cụ thể (thường làm tròn theo yêu cầu), và một dạng bài toán tổng hợp đòi hỏi phối hợp đổi biến số với đại số để tách một biểu thức thành các hằng số cần tìm. Đây cũng là bài học cuối cùng của khoá — sau bài này, toàn bộ nội dung Nguyên hàm và tích phân của chương trình Toán 12 đã được trình bày trọn vẹn.

Khởi động

Phần III của đề thi tốt nghiệp THPT 2025 không cho các phương án để loại trừ — chỉ có kết quả đúng hoặc sai. Điều đó có nghĩa: một phép tính sai dấu nhỏ, hay quên làm tròn đúng chữ số đề yêu cầu, sẽ khiến toàn bộ câu trả lời sai, dù phương pháp hoàn toàn đúng. Trình bày cẩn thận từng bước quan trọng hơn bao giờ hết ở dạng này.

Quy trình làm bài giúp tránh sai số tích luỹ khi làm tròn quá sớm.

Ví dụ

Trả lời ngắn: quãng đường từ vận tốc với đa thức bậc hai

1
Một chất điểm chuyển động có vận tốc $v(t) = 6t - 2t^2 + 1$ (m/s), $0 \le t \le 3$ giây. Tính quãng đường chất điểm đi được, làm tròn đến hàng phần trăm.
Một chất điểm chuyển động có vận tốc $v(t) = 6t - 2t^2 + 1$ (m/s), $0 \le t \le 3$ giây. Tính quãng đường chất điểm đi được, làm tròn đến hàng phần trăm.
2
Xét $v(t)=0 \Leftrightarrow 2t^2-6t-1=0$ , có hai nghiệm $t = \dfrac{6 \pm \sqrt{44}}{4} \approx -0{,}16$ và $t \approx 3{,}16$ , cả hai đều nằm ngoài đoạn $[0;3]$ . Vì $v(0)=1>0$ và không đổi dấu trên $[0;3]$ (không có nghiệm nào trong đoạn này), $v(t)>0$ trên toàn đoạn.
Xét $v(t)=0 \Leftrightarrow 2t^2-6t-1=0$, có hai nghiệm $t = \dfrac{6 \pm \sqrt{44}}{4} \approx -0{,}16$ và $t \approx 3{,}16$, cả hai đều nằm ngoài đoạn $[0;3]$. Vì $v(0)=1>0$ và không đổi dấu trên $[0;3]$ (không có nghiệm nào trong đoạn này), $v(t)>0$ trên toàn đoạn.
3
Vì $v(t)>0$ trên $[0;3]$ , quãng đường bằng đúng $s = \int_0^3 v(t)\,dt$ , không cần trị tuyệt đối.
Vì $v(t)>0$ trên $[0;3]$, quãng đường bằng đúng $s = \int_0^3 v(t)\,dt$, không cần trị tuyệt đối.
4
Một nguyên hàm của $v(t)$ là $F(t) = 3t^2 - \dfrac{2t^3}{3} + t$ . $s = F(3) - F(0) = \left(27 - 18 + 3\right) - 0 = 12$ .
Một nguyên hàm của $v(t)$ là $F(t) = 3t^2 - \dfrac{2t^3}{3} + t$. $s = F(3) - F(0) = \left(27 - 18 + 3\right) - 0 = 12$.
5
Vậy quãng đường chất điểm đi được là $s = 12{,}00$ m (đã là số nguyên, làm tròn đến hàng phần trăm vẫn là $12{,}00$ ).
Vậy quãng đường chất điểm đi được là $s = 12{,}00$ m (đã là số nguyên, làm tròn đến hàng phần trăm vẫn là $12{,}00$).

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: tách kết quả đổi biến thành các hằng số cần tìm

1
Biết $\int_0^1 \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = a\sqrt{2} + b$ , với $a, b$ là các số hữu tỉ. Tính $a+b$ .
Biết $\int_0^1 \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = a\sqrt{2} + b$, với $a, b$ là các số hữu tỉ. Tính $a+b$.
2
Đặt $u = x^2+1$ , $du = 2x\,dx$ , tức $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$ . Đổi cận: $x=0 \Rightarrow u=1$ ; $x=1 \Rightarrow u=2$ .
Đặt $u = x^2+1$, $du = 2x\,dx$, tức $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$. Đổi cận: $x=0 \Rightarrow u=1$; $x=1 \Rightarrow u=2$.
3
$\int_0^1 \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \int_1^2 \dfrac{1}{\sqrt{u}}\cdot\dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\int_1^2 u^{-1/2}\,du = \dfrac{1}{2}\left[2\sqrt{u}\right]_1^2 = \left[\sqrt{u}\right]_1^2 = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2}-1$ .
$\int_0^1 \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \int_1^2 \dfrac{1}{\sqrt{u}}\cdot\dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\int_1^2 u^{-1/2}\,du = \dfrac{1}{2}\left[2\sqrt{u}\right]_1^2 = \left[\sqrt{u}\right]_1^2 = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2}-1$.
4
$\int_0^1 \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \sqrt{2} - 1$ . So sánh với dạng $a\sqrt{2}+b$ đề cho: $a=1$ , $b=-1$ .
$\int_0^1 \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \sqrt{2} - 1$. So sánh với dạng $a\sqrt{2}+b$ đề cho: $a=1$, $b=-1$.
5
Vậy $a+b = 1 + (-1) = 0$ .
Vậy $a+b = 1 + (-1) = 0$.

Ví dụ

Trả lời ngắn: khi kết quả không phải một số đẹp

1
Một chất điểm có vận tốc $v(t) = 5 - t^2$ (m/s) trên đoạn $[0; \sqrt{5}]$ (giây), với $\sqrt{5}$ là thời điểm vận tốc bằng 0. Tính quãng đường chất điểm đi được, làm tròn đến hàng phần trăm.
Một chất điểm có vận tốc $v(t) = 5 - t^2$ (m/s) trên đoạn $[0; \sqrt{5}]$ (giây), với $\sqrt{5}$ là thời điểm vận tốc bằng 0. Tính quãng đường chất điểm đi được, làm tròn đến hàng phần trăm.
2
Với $0 \le t \le \sqrt{5}$ thì $t^2 \le 5$ , nên $v(t) = 5-t^2 \ge 0$ trên cả đoạn — không đổi chiều chuyển động.
Với $0 \le t \le \sqrt{5}$ thì $t^2 \le 5$, nên $v(t) = 5-t^2 \ge 0$ trên cả đoạn — không đổi chiều chuyển động.
3
Nguyên hàm $F(t) = 5t - \dfrac{t^3}{3}$ . $s = F(\sqrt{5}) - F(0) = \left(5\sqrt{5} - \dfrac{5\sqrt{5}}{3}\right) - 0 = \dfrac{15\sqrt{5} - 5\sqrt{5}}{3} = \dfrac{10\sqrt{5}}{3}$ .
Nguyên hàm $F(t) = 5t - \dfrac{t^3}{3}$. $s = F(\sqrt{5}) - F(0) = \left(5\sqrt{5} - \dfrac{5\sqrt{5}}{3}\right) - 0 = \dfrac{15\sqrt{5} - 5\sqrt{5}}{3} = \dfrac{10\sqrt{5}}{3}$.
4
$\dfrac{10\sqrt{5}}{3} \approx 7{,}4536$ , giữ nguyên dạng $\dfrac{10\sqrt{5}}{3}$ suốt quá trình tính, chỉ chuyển sang số thập phân ở bước cuối cùng này.
$\dfrac{10\sqrt{5}}{3} \approx 7{,}4536$, giữ nguyên dạng $\dfrac{10\sqrt{5}}{3}$ suốt quá trình tính, chỉ chuyển sang số thập phân ở bước cuối cùng này.
5
Vậy quãng đường chất điểm đi được xấp xỉ $s \approx 7{,}45$ m.
Vậy quãng đường chất điểm đi được xấp xỉ $s \approx 7{,}45$ m.

Ví dụ 3 khác hai ví dụ trước ở chỗ kết quả chính xác chứa căn thức $\sqrt{5}$ , không phải một số nguyên hay phân số đơn giản — đây là tình huống Phần III thường gặp nhất trong thực tế, vì hầu hết bài toán thực tế không cho ra số đẹp. Kỉ luật giữ nguyên dạng chính xác ( $\dfrac{10\sqrt{5}}{3}$ ) đến tận bước cuối, chỉ quy đổi sang số thập phân đúng một lần khi ghi đáp số, là điều phân biệt một bài làm chính xác với một bài làm bị trôi sai số qua nhiều bước làm tròn giữa chừng — một thói quen đáng mang sang cả những môn học khác có tính toán số liệu tương tự.

Ví dụ 3 khác hai ví dụ trước ở chỗ kết quả chính xác chứa căn thức $\sqrt{5}$, không phải một số nguyên hay phân số đơn giản — đây là tình huống Phần III thường gặp nhất trong thực tế, vì hầu hết bài toán thực tế không cho ra số đẹp. Kỉ luật giữ nguyên dạng chính xác ($\dfrac{10\sqrt{5}}{3}$) đến tận bước cuối, chỉ quy đổi sang số thập phân đúng một lần khi ghi đáp số, là điều phân biệt một bài làm chính xác với một bài làm bị trôi sai số qua nhiều bước làm tròn giữa chừng — một thói quen đáng mang sang cả những môn học khác có tính toán số liệu tương tự.

Ví dụ 2 minh hoạ đúng dạng "bài toán tổng hợp" hay xuất hiện ở câu khó cuối đề: kết quả một tích phân không phải một số đẹp, mà là một biểu thức chứa $\sqrt{2}$ (hoặc $\sqrt{3}$ , $\ln 2$ , $e$ …) cộng với một số hữu tỉ, và đề bài yêu cầu tính một tổ hợp của các hệ số đó ( $a+b$ , $a-2b$ , $ab$ , …) thay vì hỏi trực tiếp giá trị tích phân. Kĩ thuật tính (ở đây là đổi biến số) không đổi so với các bài đã học — cái mới chỉ là bước cuối, đối chiếu kết quả với dạng biểu thức đề cho để đọc ra đúng $a$ và $b$ .

Ví dụ 2 minh hoạ đúng dạng "bài toán tổng hợp" hay xuất hiện ở câu khó cuối đề: kết quả một tích phân không phải một số đẹp, mà là một biểu thức chứa $\sqrt{2}$ (hoặc $\sqrt{3}$, $\ln 2$, $e$…) cộng với một số hữu tỉ, và đề bài yêu cầu tính một tổ hợp của các hệ số đó ($a+b$, $a-2b$, $ab$, …) thay vì hỏi trực tiếp giá trị tích phân. Kĩ thuật tính (ở đây là đổi biến số) không đổi so với các bài đã học — cái mới chỉ là bước cuối, đối chiếu kết quả với dạng biểu thức đề cho để đọc ra đúng $a$ và $b$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp ở Phần III: làm tròn kết quả trung gian quá sớm (ví dụ làm tròn $\sqrt{44} \approx 6{,}6$ ngay giữa bài thay vì giữ nguyên căn thức đến bước cuối), khiến sai số tích luỹ qua nhiều bước và đáp số cuối lệch khỏi giá trị đúng. Quy tắc an toàn: chỉ làm tròn đúng MỘT lần, ở bước ghi kết quả cuối cùng, đúng số chữ số đề yêu cầu — mọi bước trung gian giữ nguyên dạng chính xác (phân số, căn thức, $\ln$ , $e$ , $\pi$ ).

Kiểm tra nhanh

Một cách tự kiểm tra riêng cho dạng "tính $a+b$ ": sau khi tách được kết quả thành $a\sqrt{2}+b$ (hay $a\ln 2+b$ , $ae+b$ …), thay ngược $a$ và $b$ vào đúng dạng đó và tính giá trị số, rồi so sánh với giá trị số của tích phân gốc — nếu hai con số này khớp nhau (trong sai số làm tròn), phép tách $a, b$ chắc chắn đúng. Đây là phép kiểm tra nhanh hơn nhiều so với tính lại toàn bộ tích phân từ đầu, và không đòi hỏi công cụ nào ngoài một phép tính số học đơn giản trên máy tính cầm tay.

Một cách tự kiểm tra riêng cho dạng "tính $a+b$": sau khi tách được kết quả thành $a\sqrt{2}+b$ (hay $a\ln 2+b$, $ae+b$…), thay ngược $a$ và $b$ vào đúng dạng đó và tính giá trị số, rồi so sánh với giá trị số của tích phân gốc — nếu hai con số này khớp nhau (trong sai số làm tròn), phép tách $a, b$ chắc chắn đúng. Đây là phép kiểm tra nhanh hơn nhiều so với tính lại toàn bộ tích phân từ đầu, và không đòi hỏi công cụ nào ngoài một phép tính số học đơn giản trên máy tính cầm tay.

Tóm tắt

Phần III không cho phương án để loại trừ, nên trình bày từng bước rõ ràng và chỉ làm tròn đúng một lần ở bước cuối là kĩ năng sống còn của dạng này. Bài toán tổng hợp dạng "tính $a+b$ " từ một kết quả tích phân chứa $\sqrt{2}$ , $\ln 2$ , hay $e$ không đòi hỏi kĩ thuật mới — vẫn là hai công cụ đã học — chỉ thêm bước đối chiếu kết quả với dạng biểu thức đề cho để đọc đúng từng hệ số.

Phần III không cho phương án để loại trừ, nên trình bày từng bước rõ ràng và chỉ làm tròn đúng một lần ở bước cuối là kĩ năng sống còn của dạng này. Bài toán tổng hợp dạng "tính $a+b$" từ một kết quả tích phân chứa $\sqrt{2}$, $\ln 2$, hay $e$ không đòi hỏi kĩ thuật mới — vẫn là hai công cụ đã học — chỉ thêm bước đối chiếu kết quả với dạng biểu thức đề cho để đọc đúng từng hệ số.

Nhìn lại toàn bộ khoá học: Chương 1–2 xây bảng nguyên hàm và công thức mở rộng $f(ax+b)$ ; Chương 3 xây kĩ thuật đổi biến số cho họ nguyên hàm; Chương 4 chuyển sang tích phân xác định qua công thức Newton–Leibniz; Chương 5 ghép kĩ thuật đổi biến số vào đúng bối cảnh có cận số; và hai bài ôn tập vừa qua rèn phản xạ nhận diện công cụ cho cả ba phần của đề thi. Toàn bộ nội dung này bám sát đúng khung chương trình nguyên hàm — tích phân của Toán 12 theo CT GDPT 2018 và cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT 2025, và đúng độ khó một học sinh thi tốt nghiệp cần đạt được, không vượt quá cũng không dừng lại ở mức nhận biết công thức đơn thuần.

Nhìn lại toàn bộ khoá học: Chương 1–2 xây bảng nguyên hàm và công thức mở rộng $f(ax+b)$; Chương 3 xây kĩ thuật đổi biến số cho họ nguyên hàm; Chương 4 chuyển sang tích phân xác định qua công thức Newton–Leibniz; Chương 5 ghép kĩ thuật đổi biến số vào đúng bối cảnh có cận số; và hai bài ôn tập vừa qua rèn phản xạ nhận diện công cụ cho cả ba phần của đề thi. Toàn bộ nội dung này bám sát đúng khung chương trình nguyên hàm — tích phân của Toán 12 theo CT GDPT 2018 và cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT 2025, và đúng độ khó một học sinh thi tốt nghiệp cần đạt được, không vượt quá cũng không dừng lại ở mức nhận biết công thức đơn thuần.

Khoá học kết thúc ở đây với đủ hai công cụ tính nguyên hàm và tích phân xác định — bảng nguyên hàm mở rộng và đổi biến số — cùng công thức Newton–Leibniz nối liền hai khái niệm đó, và phản xạ nhận diện công cụ phù hợp cho cả ba phần của đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Chương tiếp theo trong lộ trình Toán 12 (Ứng dụng tích phân: diện tích và thể tích) sẽ dùng lại đúng những công cụ này để tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay.