Bài học

Tích phân xác định bằng phương pháp đổi biến số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng phương pháp đổi biến số vào tích phân xác định, đổi đúng cận theo biến mới khi đặt $u = g(x)$ , và tính trọn vẹn một tích phân xác định dạng hàm hợp mà không cần quay lại biến $x$ ban đầu.

Sau bài này, em áp dụng phương pháp đổi biến số vào tích phân xác định, đổi đúng cận theo biến mới khi đặt $u = g(x)$, và tính trọn vẹn một tích phân xác định dạng hàm hợp mà không cần quay lại biến $x$ ban đầu.

Kiến thức nền cần nhớ

Chương 3 đã dạy đổi biến số cho họ nguyên hàm: đặt $u=g(x)$ , viết lại biểu thức theo $u$ , tính nguyên hàm, rồi thay $u$ trở lại thành $g(x)$ (prior-grade trong cùng khoá). Bài liền trước vừa dạy công thức Newton–Leibniz cho tích phân xác định (same-grade bridge). Bài này ghép hai kĩ thuật đó lại, với một điểm khác biệt quan trọng: vì tích phân xác định gắn với hai cận cụ thể theo biến $x$ , khi đổi sang biến $u$ thì hai cận đó cũng phải đổi theo. Về bản chất, tích phân xác định theo biến $u$ và theo biến $x$ đo cùng một đại lượng — diện tích hay giá trị tích luỹ không phụ thuộc vào việc em đặt tên biến là gì — nên khi đổi tên biến, "vị trí" của hai đầu đoạn lấy tích phân cũng phải đổi tên theo, đúng như cách đổi đơn vị đo không làm thay đổi độ dài thật của một đoạn thẳng.

Chương 3 đã dạy đổi biến số cho họ nguyên hàm: đặt $u=g(x)$, viết lại biểu thức theo $u$, tính nguyên hàm, rồi thay $u$ trở lại thành $g(x)$ (prior-grade trong cùng khoá). Bài liền trước vừa dạy công thức Newton–Leibniz cho tích phân xác định (same-grade bridge). Bài này ghép hai kĩ thuật đó lại, với một điểm khác biệt quan trọng: vì tích phân xác định gắn với hai cận cụ thể theo biến $x$, khi đổi sang biến $u$ thì hai cận đó cũng phải đổi theo. Về bản chất, tích phân xác định theo biến $u$ và theo biến $x$ đo cùng một đại lượng — diện tích hay giá trị tích luỹ không phụ thuộc vào việc em đặt tên biến là gì — nên khi đổi tên biến, "vị trí" của hai đầu đoạn lấy tích phân cũng phải đổi tên theo, đúng như cách đổi đơn vị đo không làm thay đổi độ dài thật của một đoạn thẳng.

Khởi động

Muốn tính $\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx$ bằng cách đặt $u=x^2+1$ . Nhưng cận $x=0$ và $x=1$ là giá trị của biến $x$ , không phải của biến $u$ . Nếu tính xong theo $u$ mà quên đổi lại thành biến $x$ trước khi thay số, hoặc thay nhầm cận $x$ vào công thức theo $u$ , kết quả sẽ sai. Vậy quy trình đúng là gì?

Muốn tính $\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx$ bằng cách đặt $u=x^2+1$. Nhưng cận $x=0$ và $x=1$ là giá trị của biến $x$, không phải của biến $u$. Nếu tính xong theo $u$ mà quên đổi lại thành biến $x$ trước khi thay số, hoặc thay nhầm cận $x$ vào công thức theo $u$, kết quả sẽ sai. Vậy quy trình đúng là gì?

Đổi biến số kèm đổi cận

Cho $u=g(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a;b]$ , và $f$ liên tục trên tập giá trị của $g$ . Khi đó: $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$ . Điểm mấu chốt: cận mới không còn là $a, b$ theo biến $x$ nữa, mà là $g(a), g(b)$ — giá trị của $u$ tại hai đầu mút. Vì cận đã đổi sang đúng biến $u$ , sau khi tính xong tích phân theo $u$ , em có ngay kết quả cuối cùng — không cần thay $u$ trở lại thành $g(x)$ như ở nguyên hàm không xác định.

Cho $u=g(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a;b]$, và $f$ liên tục trên tập giá trị của $g$. Khi đó: $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$. Điểm mấu chốt: cận mới không còn là $a, b$ theo biến $x$ nữa, mà là $g(a), g(b)$ — giá trị của $u$ tại hai đầu mút. Vì cận đã đổi sang đúng biến $u$, sau khi tính xong tích phân theo $u$, em có ngay kết quả cuối cùng — không cần thay $u$ trở lại thành $g(x)$ như ở nguyên hàm không xác định.

Khác biệt duy nhất so với đổi biến ở nguyên hàm: cận phải đổi theo biến mới, và không cần quay lại biến x.

Ví dụ

Đổi biến với căn thức

1
Tính $\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx$ .
Tính $\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx$.
2
Đặt $u = x^2+1$ , $du = 2x\,dx$ , tức $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$ . Đổi cận: $x=0 \Rightarrow u = 0^2+1=1$ ; $x=1 \Rightarrow u=1^2+1=2$ .
Đặt $u = x^2+1$, $du = 2x\,dx$, tức $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$. Đổi cận: $x=0 \Rightarrow u = 0^2+1=1$; $x=1 \Rightarrow u=1^2+1=2$.
3
$\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int_1^2 \sqrt{u}\cdot\dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\int_1^2 u^{1/2}\,du$ .
$\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int_1^2 \sqrt{u}\cdot\dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\int_1^2 u^{1/2}\,du$.
4
$\dfrac{1}{2}\int_1^2 u^{1/2}\,du = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}u^{3/2}\Big|_1^2 = \dfrac{1}{3}\left(2^{3/2} - 1\right) = \dfrac{1}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)$ .
$\dfrac{1}{2}\int_1^2 u^{1/2}\,du = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}u^{3/2}\Big|_1^2 = \dfrac{1}{3}\left(2^{3/2} - 1\right) = \dfrac{1}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)$.
5
Vậy $\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx = \dfrac{2\sqrt{2}-1}{3} \approx 0,6095$ .
Vậy $\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx = \dfrac{2\sqrt{2}-1}{3} \approx 0,6095$.

Ví dụ

Đổi biến với hàm lượng giác nhân đôi góc

1
Tính $\int_0^{\pi/4} \sin(2x)\,dx$ .
Tính $\int_0^{\pi/4} \sin(2x)\,dx$.
2
Đặt $u=2x$ , $du=2\,dx$ , tức $dx = \dfrac{1}{2}du$ . Đổi cận: $x=0 \Rightarrow u=0$ ; $x=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow u=\dfrac{\pi}{2}$ .
Đặt $u=2x$, $du=2\,dx$, tức $dx = \dfrac{1}{2}du$. Đổi cận: $x=0 \Rightarrow u=0$; $x=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow u=\dfrac{\pi}{2}$.
3
$\int_0^{\pi/4} \sin(2x)\,dx = \int_0^{\pi/2} \sin u\cdot\dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\left[-\cos u\right]_0^{\pi/2} = \dfrac{1}{2}\left(-\cos\dfrac{\pi}{2}+\cos 0\right) = \dfrac{1}{2}(0+1) = \dfrac{1}{2}$ .
$\int_0^{\pi/4} \sin(2x)\,dx = \int_0^{\pi/2} \sin u\cdot\dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\left[-\cos u\right]_0^{\pi/2} = \dfrac{1}{2}\left(-\cos\dfrac{\pi}{2}+\cos 0\right) = \dfrac{1}{2}(0+1) = \dfrac{1}{2}$.
4
Vậy $\int_0^{\pi/4} \sin(2x)\,dx = \dfrac{1}{2}$ .
Vậy $\int_0^{\pi/4} \sin(2x)\,dx = \dfrac{1}{2}$.

So sánh Ví dụ 2 và Ví dụ 3: cả hai đều cho cận mới rất đẹp ( $0$ và $\pi/2$ ; $0$ và $1$ ), điều này không phải ngẫu nhiên — đề thi thường chọn hàm $g(x)$ sao cho $g(a)$ và $g(b)$ ra số tròn, để học sinh có thể tự kiểm tra: nếu cận mới ra một số quá lẻ hoặc âm bất thường so với dạng bài, rất có thể đã đặt sai $u$ hoặc tính nhầm ở bước đổi cận.

So sánh Ví dụ 2 và Ví dụ 3: cả hai đều cho cận mới rất đẹp ($0$ và $\pi/2$; $0$ và $1$), điều này không phải ngẫu nhiên — đề thi thường chọn hàm $g(x)$ sao cho $g(a)$ và $g(b)$ ra số tròn, để học sinh có thể tự kiểm tra: nếu cận mới ra một số quá lẻ hoặc âm bất thường so với dạng bài, rất có thể đã đặt sai $u$ hoặc tính nhầm ở bước đổi cận.

Ví dụ

Bài toán thi: đổi biến với hàm lôgarit

1
Tính $\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx$ .
Tính $\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx$.
2
Đặt $u = \ln x$ , $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ — đúng khớp phần $\dfrac{dx}{x}$ có sẵn. Đổi cận: $x=1 \Rightarrow u=\ln 1=0$ ; $x=e \Rightarrow u=\ln e=1$ .
Đặt $u = \ln x$, $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ — đúng khớp phần $\dfrac{dx}{x}$ có sẵn. Đổi cận: $x=1 \Rightarrow u=\ln 1=0$; $x=e \Rightarrow u=\ln e=1$.
3
$\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx = \int_0^1 u\,du = \dfrac{u^2}{2}\Big|_0^1 = \dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}$ .
$\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx = \int_0^1 u\,du = \dfrac{u^2}{2}\Big|_0^1 = \dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}$.
4
Vậy $\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx = \dfrac{1}{2}$ .
Vậy $\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx = \dfrac{1}{2}$.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: đổi biến khi biến cũ phải viết lại theo biến mới

1
Tính $\int_0^3 \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx$ .
Tính $\int_0^3 \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx$.
2
Đặt $u = x+1$ , suy ra $x = u-1$ và $du = dx$ . Đổi cận: $x=0 \Rightarrow u=1$ ; $x=3 \Rightarrow u=4$ .
Đặt $u = x+1$, suy ra $x = u-1$ và $du = dx$. Đổi cận: $x=0 \Rightarrow u=1$; $x=3 \Rightarrow u=4$.
3
Khác với các ví dụ trước, tử số $x$ cũng phải viết lại theo $u$ : $x = u-1$ , nên $\dfrac{x}{\sqrt{x+1}} = \dfrac{u-1}{\sqrt{u}} = \sqrt{u} - \dfrac{1}{\sqrt{u}}$ .
Khác với các ví dụ trước, tử số $x$ cũng phải viết lại theo $u$: $x = u-1$, nên $\dfrac{x}{\sqrt{x+1}} = \dfrac{u-1}{\sqrt{u}} = \sqrt{u} - \dfrac{1}{\sqrt{u}}$.
4
$\int_1^4 \left(\sqrt{u} - \dfrac{1}{\sqrt{u}}\right)du = \left[\dfrac{2}{3}u^{3/2} - 2\sqrt{u}\right]_1^4 = \left(\dfrac{16}{3}-4\right) - \left(\dfrac{2}{3}-2\right) = \dfrac{4}{3} - \left(-\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{8}{3}$ .
$\int_1^4 \left(\sqrt{u} - \dfrac{1}{\sqrt{u}}\right)du = \left[\dfrac{2}{3}u^{3/2} - 2\sqrt{u}\right]_1^4 = \left(\dfrac{16}{3}-4\right) - \left(\dfrac{2}{3}-2\right) = \dfrac{4}{3} - \left(-\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{8}{3}$.
5
Vậy $\int_0^3 \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx = \dfrac{8}{3}$ .
Vậy $\int_0^3 \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx = \dfrac{8}{3}$.

Ví dụ 4 khác ba ví dụ đầu ở một điểm quan trọng: khi đặt $u=x+1$ , biến $x$ ở tử số không tự động biến mất như $x\,dx$ hay $\dfrac{dx}{x}$ ở các bài trước — em phải chủ động viết lại $x = u-1$ rồi thay vào toàn bộ biểu thức, không chỉ riêng phần vi phân. Đây là kĩ năng thường bị bỏ sót: học sinh quen với các bài mà toàn bộ phần "dư" biến mất gọn gàng thành $du$ , nên gặp trường hợp phải viết lại biến còn sót lại thì dễ lúng túng.

Ví dụ 4 khác ba ví dụ đầu ở một điểm quan trọng: khi đặt $u=x+1$, biến $x$ ở tử số không tự động biến mất như $x\,dx$ hay $\dfrac{dx}{x}$ ở các bài trước — em phải chủ động viết lại $x = u-1$ rồi thay vào toàn bộ biểu thức, không chỉ riêng phần vi phân. Đây là kĩ năng thường bị bỏ sót: học sinh quen với các bài mà toàn bộ phần "dư" biến mất gọn gàng thành $du$, nên gặp trường hợp phải viết lại biến còn sót lại thì dễ lúng túng.

Bốn ví dụ trên đều đổi cận theo đúng công thức $u=g(x)$ : cận dưới mới là $g(\text{cận dưới cũ})$ , cận trên mới là $g(\text{cận trên cũ})$ . Ở Ví dụ 2, cận dưới mới ( $u=0$ ) vẫn nhỏ hơn cận trên mới ( $u=\pi/2$ ), giữ đúng thứ tự — nhưng điều đó không phải lúc nào cũng đúng: nếu $g$ nghịch biến trên đoạn đang xét, cận dưới mới có thể lớn hơn cận trên mới, và khi đó công thức $\int_{g(a)}^{g(b)}$ vẫn áp dụng nguyên vẹn — không cần tự ý đảo lại cho "thuận mắt", vì việc đảo cận chỉ đổi dấu, còn công thức đã tính đúng dấu đó rồi.

Bốn ví dụ trên đều đổi cận theo đúng công thức $u=g(x)$: cận dưới mới là $g(\text{cận dưới cũ})$, cận trên mới là $g(\text{cận trên cũ})$. Ở Ví dụ 2, cận dưới mới ($u=0$) vẫn nhỏ hơn cận trên mới ($u=\pi/2$), giữ đúng thứ tự — nhưng điều đó không phải lúc nào cũng đúng: nếu $g$ nghịch biến trên đoạn đang xét, cận dưới mới có thể lớn hơn cận trên mới, và khi đó công thức $\int_{g(a)}^{g(b)}$ vẫn áp dụng nguyên vẹn — không cần tự ý đảo lại cho "thuận mắt", vì việc đảo cận chỉ đổi dấu, còn công thức đã tính đúng dấu đó rồi.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp: đổi biến $u=g(x)$ , tính đúng nguyên hàm theo $u$ , nhưng lại thay CẬN THEO $x$ (chẳng hạn vẫn dùng $0$ và $1$ ) vào công thức đã viết theo $u$ — quên rằng cận phải là $g(0)$ và $g(1)$ , không phải $0$ và $1$ nữa. Cách chắc chắn nhất để tránh lỗi này: viết rõ dòng "đổi cận" riêng biệt như trong các ví dụ trên, trước khi viết lại toàn bộ tích phân theo $u$ .

Sai lầm thường gặp: đổi biến $u=g(x)$, tính đúng nguyên hàm theo $u$, nhưng lại thay CẬN THEO $x$ (chẳng hạn vẫn dùng $0$ và $1$) vào công thức đã viết theo $u$ — quên rằng cận phải là $g(0)$ và $g(1)$, không phải $0$ và $1$ nữa. Cách chắc chắn nhất để tránh lỗi này: viết rõ dòng "đổi cận" riêng biệt như trong các ví dụ trên, trước khi viết lại toàn bộ tích phân theo $u$.

Kiểm tra nhanh

Nhìn lại toàn bộ bốn ví dụ, dấu hiệu nhận biết dạng đổi biến ở tích phân xác định giống hệt dấu hiệu đã học ở Chương 3 cho họ nguyên hàm — chỉ thêm đúng một bước đổi cận. Vì vậy, kĩ năng "nhìn ra $u$ " mà em luyện ở Chương 3 không mất đi, mà tái sử dụng nguyên vẹn ở đây; cái mới duy nhất cần luyện thêm là thói quen viết dòng đổi cận ngay sau khi chọn $u$ , trước khi viết lại tích phân, để không bỏ sót bước quan trọng này.

Nhìn lại toàn bộ bốn ví dụ, dấu hiệu nhận biết dạng đổi biến ở tích phân xác định giống hệt dấu hiệu đã học ở Chương 3 cho họ nguyên hàm — chỉ thêm đúng một bước đổi cận. Vì vậy, kĩ năng "nhìn ra $u$" mà em luyện ở Chương 3 không mất đi, mà tái sử dụng nguyên vẹn ở đây; cái mới duy nhất cần luyện thêm là thói quen viết dòng đổi cận ngay sau khi chọn $u$, trước khi viết lại tích phân, để không bỏ sót bước quan trọng này.

Tóm tắt

Đổi biến số cho tích phân xác định dùng công thức $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$ : đặt $u=g(x)$ , tính $du$ , đổi cận thành $g(a)$ và $g(b)$ , viết lại toàn bộ biểu thức theo $u$ (kể cả phần biến $x$ còn sót lại ngoài $du$ , như Ví dụ 4), rồi tính tích phân trực tiếp theo $u$ — không cần thay $u$ trở lại $x$ vì cận đã đổi đúng biến. Bước đổi cận là điểm khác biệt duy nhất so với đổi biến ở nguyên hàm, và cũng là nguồn sai sót phổ biến nhất nếu bị bỏ quên.

Đổi biến số cho tích phân xác định dùng công thức $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$: đặt $u=g(x)$, tính $du$, đổi cận thành $g(a)$ và $g(b)$, viết lại toàn bộ biểu thức theo $u$ (kể cả phần biến $x$ còn sót lại ngoài $du$, như Ví dụ 4), rồi tính tích phân trực tiếp theo $u$ — không cần thay $u$ trở lại $x$ vì cận đã đổi đúng biến. Bước đổi cận là điểm khác biệt duy nhất so với đổi biến ở nguyên hàm, và cũng là nguồn sai sót phổ biến nhất nếu bị bỏ quên.

Một cách tự kiểm tra kết quả nhanh mà không cần tính lại nguyên hàm: sau khi đổi biến, hai cận mới theo $u$ phải khớp với miền giá trị thực tế của $g(x)$ trên đoạn $[a;b]$ — nếu $g$ đơn điệu tăng thì cận dưới mới nhỏ hơn cận trên mới, còn nếu $g$ đơn điệu giảm thì ngược lại. Kiểm tra nhanh chiều tăng giảm của $g$ trước khi đổi cận giúp phát hiện ngay lỗi tính nhầm cận, một lỗi rất khó nhận ra nếu chỉ nhìn vào con số cuối cùng.

Với đổi biến số nắm vững ở cả họ nguyên hàm lẫn tích phân xác định, cùng công thức Newton–Leibniz và bảng nguyên hàm mở rộng của các bài trước, khoá học đã đủ công cụ để chuyển sang hai bài ôn tập cuối cùng: luyện phản xạ chọn đúng phương pháp và giải theo cấu trúc ba phần của đề thi tốt nghiệp THPT 2025.