Bài học

Khái niệm nguyên hàm và tính chất tuyến tính

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng định nghĩa nguyên hàm của một hàm số trên một khoảng, giải thích được vì sao một hàm số có vô số nguyên hàm chứ không chỉ một, và vận dụng hai tính chất tuyến tính để tìm nguyên hàm của tổng, hiệu và tích với hằng số.

Kiến thức nền cần nhớ

Lớp 11 em đã học đạo hàm: cho hàm số $F$ , đạo hàm $F'(x)$ đo tốc độ thay đổi của $F$ tại $x$ (same-grade bridge, đúng hơn là prior-grade review). Nguyên hàm đặt câu hỏi ngược lại: biết tốc độ thay đổi $f(x)$ , hàm ban đầu $F(x)$ là gì? Đây là phép toán ngược của đạo hàm, và nó mở ra toàn bộ chương giải tích tích phân của lớp 12.

Lớp 11 em đã học đạo hàm: cho hàm số $F$, đạo hàm $F'(x)$ đo tốc độ thay đổi của $F$ tại $x$ (same-grade bridge, đúng hơn là prior-grade review). Nguyên hàm đặt câu hỏi ngược lại: biết tốc độ thay đổi $f(x)$, hàm ban đầu $F(x)$ là gì? Đây là phép toán ngược của đạo hàm, và nó mở ra toàn bộ chương giải tích tích phân của lớp 12.

Khởi động

Một chiếc xe có đồng hồ đo tốc độ nhưng không có đồng hồ đo quãng đường. Biết vận tốc $v(t)$ tại mọi thời điểm, làm sao tính lại được quãng đường xe đã đi? Câu hỏi này chính là bài toán nguyên hàm nhìn dưới góc độ vật lí.

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$ . Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$ . Chú ý từ "một": $F$ không phải nguyên hàm duy nhất. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F(x) + C$ với $C$ là hằng số tuỳ ý cũng là một nguyên hàm, vì $(F(x)+C)' = F'(x) = f(x)$ . Ngược lại, người ta chứng minh được rằng hai nguyên hàm bất kì của cùng một $f(x)$ trên $K$ chỉ khác nhau một hằng số. Tập hợp tất cả các nguyên hàm $F(x) + C$ gọi là họ nguyên hàm của $f(x)$ , kí hiệu $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ .

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$. Chú ý từ "một": $F$ không phải nguyên hàm duy nhất. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F(x) + C$ với $C$ là hằng số tuỳ ý cũng là một nguyên hàm, vì $(F(x)+C)' = F'(x) = f(x)$. Ngược lại, người ta chứng minh được rằng hai nguyên hàm bất kì của cùng một $f(x)$ trên $K$ chỉ khác nhau một hằng số. Tập hợp tất cả các nguyên hàm $F(x) + C$ gọi là họ nguyên hàm của $f(x)$, kí hiệu $\int f(x)\,dx = F(x) + C$.

Hình bên vẽ ba đường cong cùng dạng $y = x^3 - x^2 + x + C$ ứng với $C = -1, 0, 1$ . Ba đường này không cắt nhau, chỉ là ảnh tịnh tiến của nhau theo phương thẳng đứng — đúng như tính chất họ nguyên hàm: mọi nguyên hàm của cùng một $f(x)$ đều có cùng hình dạng, chỉ lệch nhau một hằng số $C$ .

Hình bên vẽ ba đường cong cùng dạng $y = x^3 - x^2 + x + C$ ứng với $C = -1, 0, 1$. Ba đường này không cắt nhau, chỉ là ảnh tịnh tiến của nhau theo phương thẳng đứng — đúng như tính chất họ nguyên hàm: mọi nguyên hàm của cùng một $f(x)$ đều có cùng hình dạng, chỉ lệch nhau một hằng số $C$.

Cụm từ "trên khoảng $K$ " trong định nghĩa không phải chi tiết thừa. Xét $f(x) = \dfrac{1}{x}$ trên tập $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , tức là trên hai khoảng rời nhau $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$ . Trên mỗi khoảng riêng biệt, hằng số $C$ được chọn độc lập — nguyên hàm có thể là $\ln|x| + 2$ trên khoảng dương và $\ln|x| - 1$ trên khoảng âm, và đó vẫn là một nguyên hàm hợp lệ của $\dfrac{1}{x}$ trên tập xác định, vì tính chất "hai nguyên hàm chỉ khác nhau một hằng số" chỉ đúng khi xét trên cùng một khoảng liền.

Cụm từ "trên khoảng $K$" trong định nghĩa không phải chi tiết thừa. Xét $f(x) = \dfrac{1}{x}$ trên tập $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, tức là trên hai khoảng rời nhau $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$. Trên mỗi khoảng riêng biệt, hằng số $C$ được chọn độc lập — nguyên hàm có thể là $\ln|x| + 2$ trên khoảng dương và $\ln|x| - 1$ trên khoảng âm, và đó vẫn là một nguyên hàm hợp lệ của $\dfrac{1}{x}$ trên tập xác định, vì tính chất "hai nguyên hàm chỉ khác nhau một hằng số" chỉ đúng khi xét trên cùng một khoảng liền.

Họ nguyên hàm của f(x) = 3x^2 - 2x + 1: mọi đường đều có cùng dạng, chỉ khác nhau hằng số C.

Hai tính chất tuyến tính

Từ định nghĩa và quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích với hằng số, ta suy ra ngay hai tính chất dùng liên tục trong mọi bài toán nguyên hàm sau này: $\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$ , và với $k \neq 0$ : $\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ . Nói cách khác, muốn tìm nguyên hàm của một tổng hay một hiệu, em tách riêng từng số hạng, tìm nguyên hàm của từng hạng tử rồi cộng lại — không có công thức riêng cho nguyên hàm của một tích hai hàm số nói chung (đó là lí do Chương 3 phải xây riêng kĩ thuật đổi biến số cho những tích hàm hợp như thế).

Từ định nghĩa và quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích với hằng số, ta suy ra ngay hai tính chất dùng liên tục trong mọi bài toán nguyên hàm sau này: $\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$, và với $k \neq 0$: $\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$. Nói cách khác, muốn tìm nguyên hàm của một tổng hay một hiệu, em tách riêng từng số hạng, tìm nguyên hàm của từng hạng tử rồi cộng lại — không có công thức riêng cho nguyên hàm của một tích hai hàm số nói chung (đó là lí do Chương 3 phải xây riêng kĩ thuật đổi biến số cho những tích hàm hợp như thế).

Một nhầm lẫn rất phổ biến là nghĩ rằng nguyên hàm của một tích bằng tích hai nguyên hàm, tương tự cách tính đạo hàm. Thử kiểm chứng bằng ví dụ đơn giản: lấy $f(x) = x$ và $g(x) = x$ . Nguyên hàm của mỗi hàm là $\dfrac{x^2}{2}$ , nếu nhân hai kết quả này lại ta được $\dfrac{x^4}{4}$ . Nhưng nguyên hàm thật sự của $f(x)g(x) = x^2$ lại là $\dfrac{x^3}{3}$ , hoàn toàn khác $\dfrac{x^4}{4}$ . Vậy quy tắc "nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm" là sai — không tồn tại công thức tách rời như vậy, và đây chính là lí do Chương 3 phải xây riêng kĩ thuật đổi biến số để xử lí đúng những tích hàm hợp phức tạp hơn.

Một nhầm lẫn rất phổ biến là nghĩ rằng nguyên hàm của một tích bằng tích hai nguyên hàm, tương tự cách tính đạo hàm. Thử kiểm chứng bằng ví dụ đơn giản: lấy $f(x) = x$ và $g(x) = x$. Nguyên hàm của mỗi hàm là $\dfrac{x^2}{2}$, nếu nhân hai kết quả này lại ta được $\dfrac{x^4}{4}$. Nhưng nguyên hàm thật sự của $f(x)g(x) = x^2$ lại là $\dfrac{x^3}{3}$, hoàn toàn khác $\dfrac{x^4}{4}$. Vậy quy tắc "nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm" là sai — không tồn tại công thức tách rời như vậy, và đây chính là lí do Chương 3 phải xây riêng kĩ thuật đổi biến số để xử lí đúng những tích hàm hợp phức tạp hơn.

Ví dụ

Nguyên hàm của một đa thức

1
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ trên $\mathbb{R}$ .
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ trên $\mathbb{R}$.
2
Ta có $\int f(x)\,dx = \int 3x^2\,dx - \int 2x\,dx + \int 1\,dx = 3\int x^2\,dx - 2\int x\,dx + \int 1\,dx$ .
Ta có $\int f(x)\,dx = \int 3x^2\,dx - \int 2x\,dx + \int 1\,dx = 3\int x^2\,dx - 2\int x\,dx + \int 1\,dx$.
3
Theo bảng nguyên hàm, $\int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3} + C_1$ , $\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2} + C_2$ , $\int 1\,dx = x + C_3$ . Thay vào: $\int f(x)\,dx = 3\cdot\dfrac{x^3}{3} - 2\cdot\dfrac{x^2}{2} + x + C = x^3 - x^2 + x + C$ .
Theo bảng nguyên hàm, $\int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3} + C_1$, $\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2} + C_2$, $\int 1\,dx = x + C_3$. Thay vào: $\int f(x)\,dx = 3\cdot\dfrac{x^3}{3} - 2\cdot\dfrac{x^2}{2} + x + C = x^3 - x^2 + x + C$.
4
Đạo hàm ngược lại: $(x^3 - x^2 + x)' = 3x^2 - 2x + 1 = f(x)$ , đúng với đề bài.
Đạo hàm ngược lại: $(x^3 - x^2 + x)' = 3x^2 - 2x + 1 = f(x)$, đúng với đề bài.
5
Vậy $\int (3x^2 - 2x + 1)\,dx = x^3 - x^2 + x + C$ , với $C \in \mathbb{R}$ .
Vậy $\int (3x^2 - 2x + 1)\,dx = x^3 - x^2 + x + C$, với $C \in \mathbb{R}$.

Ví dụ

Xác định hằng số C từ một điều kiện cho trước

1
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = \cos x$ trên $\mathbb{R}$ , biết $F(0) = 1$ .
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = \cos x$ trên $\mathbb{R}$, biết $F(0) = 1$.
2
Theo bảng nguyên hàm cơ bản, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ , nên $F(x) = \sin x + C$ với $C$ chưa xác định.
Theo bảng nguyên hàm cơ bản, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$, nên $F(x) = \sin x + C$ với $C$ chưa xác định.
3
Ta có $F(0) = \sin 0 + C = C$ . Theo đề, $F(0) = 1$ nên $C = 1$ .
Ta có $F(0) = \sin 0 + C = C$. Theo đề, $F(0) = 1$ nên $C = 1$.
4
Vậy nguyên hàm cần tìm là $F(x) = \sin x + 1$ , và $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} + 1 = 2$ .
Vậy nguyên hàm cần tìm là $F(x) = \sin x + 1$, và $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} + 1 = 2$.

Ví dụ

Bài toán thực tế: từ vận tốc suy ra vị trí

1
Một chất điểm chuyển động trên trục số có vận tốc $v(t) = 3t^2 - 2t + 1$ (m/s), $t$ tính bằng giây. Tại thời điểm $t = 0$ , chất điểm ở vị trí $x = 2$ m. Tính vị trí chất điểm tại $t = 2$ s.
Một chất điểm chuyển động trên trục số có vận tốc $v(t) = 3t^2 - 2t + 1$ (m/s), $t$ tính bằng giây. Tại thời điểm $t = 0$, chất điểm ở vị trí $x = 2$ m. Tính vị trí chất điểm tại $t = 2$ s.
2
Vị trí $x(t)$ là nguyên hàm của vận tốc $v(t)$ , vì theo định nghĩa vật lí, vận tốc chính là đạo hàm của vị trí theo thời gian: $x'(t) = v(t)$ .
Vị trí $x(t)$ là nguyên hàm của vận tốc $v(t)$, vì theo định nghĩa vật lí, vận tốc chính là đạo hàm của vị trí theo thời gian: $x'(t) = v(t)$.
3
Áp dụng đúng kết quả Ví dụ 1 (đổi biến $x$ thành $t$ ): $x(t) = t^3 - t^2 + t + C$ .
Áp dụng đúng kết quả Ví dụ 1 (đổi biến $x$ thành $t$): $x(t) = t^3 - t^2 + t + C$.
4
Ta có $x(0) = 0^3 - 0^2 + 0 + C = C$ . Theo đề, $x(0) = 2$ nên $C = 2$ .
Ta có $x(0) = 0^3 - 0^2 + 0 + C = C$. Theo đề, $x(0) = 2$ nên $C = 2$.
5
Vậy $x(t) = t^3 - t^2 + t + 2$ , suy ra $x(2) = 8 - 4 + 2 + 2 = 8$ (m).
Vậy $x(t) = t^3 - t^2 + t + 2$, suy ra $x(2) = 8 - 4 + 2 + 2 = 8$ (m).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp: viết $\int f(x)\,dx = F(x)$ mà quên hằng số $C$ , rồi kết luận nguyên hàm là duy nhất. Một hàm số có vô số nguyên hàm — chỉ khi đề bài cho thêm một điều kiện như $F(x_0) = y_0$ thì mới xác định được đúng một nguyên hàm cụ thể trong họ đó.

Sai lầm thường gặp: viết $\int f(x)\,dx = F(x)$ mà quên hằng số $C$, rồi kết luận nguyên hàm là duy nhất. Một hàm số có vô số nguyên hàm — chỉ khi đề bài cho thêm một điều kiện như $F(x_0) = y_0$ thì mới xác định được đúng một nguyên hàm cụ thể trong họ đó.

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt

$F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc $K$ ; họ nguyên hàm $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ gồm vô số hàm số khác nhau một hằng số. Nguyên hàm của tổng, hiệu tách được theo từng số hạng, và hằng số nhân được đưa ra ngoài dấu tích phân. Một điều kiện cho trước như $F(x_0) = y_0$ sẽ chọn đúng một nguyên hàm cụ thể trong cả họ.

$F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc $K$; họ nguyên hàm $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ gồm vô số hàm số khác nhau một hằng số. Nguyên hàm của tổng, hiệu tách được theo từng số hạng, và hằng số nhân được đưa ra ngoài dấu tích phân. Một điều kiện cho trước như $F(x_0) = y_0$ sẽ chọn đúng một nguyên hàm cụ thể trong cả họ.

Bài tiếp theo dùng đúng hai tính chất này để dựng bảng nguyên hàm cơ bản đầy đủ, rồi mở rộng sang nguyên hàm của hàm hợp tuyến tính dạng $f(ax+b)$ — dạng toán xuất hiện rất thường xuyên trong đề thi tốt nghiệp THPT.