Bài học

Đề luyện: Phương trình đường thẳng, mặt cầu và bài toán tổng hợp không gian

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một đề luyện tổng hợp về phương trình đường thẳng, phương trình mặt cầu, vị trí tương đối giữa các đối tượng, và một bài toán kết hợp cả mặt phẳng — đường thẳng — mặt cầu, dưới cả ba định dạng câu hỏi của đề 2025.

Kiến thức nền cần nhớ

Khoá Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu đã dạy em: viết phương trình tham số của đường thẳng từ một điểm và một vectơ chỉ phương; xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (song song, cắt nhau, chéo nhau, trùng nhau) và của đường thẳng với mặt phẳng; viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính, và nhận ra tâm — bán kính từ dạng khai triển bằng cách hoàn thành bình phương; xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng bằng cách so sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với bán kính. Bài này ghép các công cụ đó, cùng với vectơ pháp tuyến và mặt phẳng đã luyện ở bài trước, vào một bài toán tổng hợp đúng phong cách đề thi thật.

Khởi động

Bài trước em đã viết được phương trình một mặt phẳng cụ thể. Nếu đề bài giờ cho thêm một mặt cầu, và hỏi mặt phẳng đó cắt, tiếp xúc, hay không cắt mặt cầu — em cần so sánh những đại lượng nào để trả lời mà không cần vẽ hình?

Ba đối tượng, một chuỗi so sánh

Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$ có phương trình $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ . Khi đề cho phương trình đã khai triển dạng $x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0$ , ta hoàn thành bình phương từng biến để đưa về dạng tâm—bán kính, đúng kỹ thuật đã quen thuộc từ phương trình đường tròn trong mặt phẳng, chỉ thêm một biến $z$ .

Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$ có phương trình $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$. Khi đề cho phương trình đã khai triển dạng $x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0$, ta hoàn thành bình phương từng biến để đưa về dạng tâm—bán kính, đúng kỹ thuật đã quen thuộc từ phương trình đường tròn trong mặt phẳng, chỉ thêm một biến $z$.

Vị trí tương đối giữa một mặt phẳng $(P)$ và một mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ được quyết định hoàn toàn bởi một phép so sánh: tính $d(I,(P))$ rồi so với $R$ . Nếu $d(I,(P))>R$ , mặt phẳng không cắt mặt cầu; nếu $d(I,(P))=R$ , mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại đúng một điểm (khi đó $(P)$ gọi là tiếp diện, và bán kính $IH$ nối tâm với tiếp điểm luôn vuông góc với $(P)$ ); nếu $d(I,(P))<R$ , mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn. Đây chính là lý do tiếp diện tại một điểm $T$ trên mặt cầu luôn có vectơ pháp tuyến là $\vec{IT}$ — bán kính nối tâm tới tiếp điểm.

Vị trí tương đối giữa một mặt phẳng $(P)$ và một mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ được quyết định hoàn toàn bởi một phép so sánh: tính $d(I,(P))$ rồi so với $R$. Nếu $d(I,(P))>R$, mặt phẳng không cắt mặt cầu; nếu $d(I,(P))=R$, mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại đúng một điểm (khi đó $(P)$ gọi là tiếp diện, và bán kính $IH$ nối tâm với tiếp điểm luôn vuông góc với $(P)$); nếu $d(I,(P))<R$, mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn. Đây chính là lý do tiếp diện tại một điểm $T$ trên mặt cầu luôn có vectơ pháp tuyến là $\vec{IT}$ — bán kính nối tâm tới tiếp điểm.

Chân đường vuông góc hạ từ một điểm $M_0$ xuống một mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n$ được tìm bằng cách viết đường thẳng qua $M_0$ theo phương $\vec n$ , tham số hoá thành $M_0+t\vec n$ , rồi thay vào phương trình $(P)$ để giải ra $t$ — đây là kỹ thuật dùng lại đúng phương trình tham số của đường thẳng vừa học ở đầu bài này.

Chân đường vuông góc hạ từ một điểm $M_0$ xuống một mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n$ được tìm bằng cách viết đường thẳng qua $M_0$ theo phương $\vec n$, tham số hoá thành $M_0+t\vec n$, rồi thay vào phương trình $(P)$ để giải ra $t$ — đây là kỹ thuật dùng lại đúng phương trình tham số của đường thẳng vừa học ở đầu bài này.

Mặt cầu trong không gian là hình ảnh mở rộng trực tiếp của đường tròn trong mặt phẳng (same-grade bridge với hình học phẳng đã học): cùng một ý nghĩa "tập hợp điểm cách đều tâm một khoảng không đổi", chỉ thêm một chiều. Vì vậy toàn bộ trực giác về vị trí tương đối của đường tròn với đường thẳng (không cắt, tiếp xúc, cắt tại hai điểm) chuyển thẳng sang mặt cầu với mặt phẳng, chỉ thay "đường thẳng" bằng "mặt phẳng" và "hai điểm" bằng "một đường tròn giao tuyến". Đây là một ví dụ điển hình cho việc chương trình Toán 12 thường mở rộng một ý tưởng phẳng quen thuộc sang không gian, thay vì đòi hỏi một ý tưởng hoàn toàn mới.

Quy trình bài toán tổng hợp toạ độ không gian.

Ví dụ

Phương trình đường thẳng qua hai điểm

1
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A(1;2;-1)$ và $B(3;0;2)$ .
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A(1;2;-1)$ và $B(3;0;2)$.
2
$\vec{AB}=B-A=(2;-2;3)$ .
$\vec{AB}=B-A=(2;-2;3)$.
3
Đường thẳng qua $A$ với vectơ chỉ phương $\vec{AB}$ : $\begin{cases}x=1+2t\\y=2-2t\\z=-1+3t\end{cases}$ , $t\in\mathbb R$ .
Đường thẳng qua $A$ với vectơ chỉ phương $\vec{AB}$: $\begin{cases}x=1+2t\\y=2-2t\\z=-1+3t\end{cases}$, $t\in\mathbb R$.
4
Đây là phương trình tham số của đường thẳng $AB$ .
Đây là phương trình tham số của đường thẳng $AB$.
5
Thay $t=1$ : $x=1+2=3$ , $y=2-2=0$ , $z=-1+3=2$ , đúng bằng toạ độ $B(3;0;2)$ — xác nhận đường thẳng đi qua đúng cả hai điểm $A$ (tại $t=0$ ) và $B$ (tại $t=1$ ).
Thay $t=1$: $x=1+2=3$, $y=2-2=0$, $z=-1+3=2$, đúng bằng toạ độ $B(3;0;2)$ — xác nhận đường thẳng đi qua đúng cả hai điểm $A$ (tại $t=0$) và $B$ (tại $t=1$).

Ví dụ

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

1
Cho $d_1$ qua $A(1;2;3)$ với vectơ chỉ phương $\vec u=(1;1;1)$ , và $d_2$ qua $B(2;0;1)$ với vectơ chỉ phương $\vec v=(2;0;-1)$ . Xét vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$ .
Cho $d_1$ qua $A(1;2;3)$ với vectơ chỉ phương $\vec u=(1;1;1)$, và $d_2$ qua $B(2;0;1)$ với vectơ chỉ phương $\vec v=(2;0;-1)$. Xét vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$.
2
So sánh toạ độ $\vec u=(1;1;1)$ và $\vec v=(2;0;-1)$ : $\dfrac21\ne\dfrac01$ , nên hai vectơ không cùng phương — $d_1$ và $d_2$ không song song và không trùng nhau.
So sánh toạ độ $\vec u=(1;1;1)$ và $\vec v=(2;0;-1)$: $\dfrac21\ne\dfrac01$, nên hai vectơ không cùng phương — $d_1$ và $d_2$ không song song và không trùng nhau.
3
Tham số hoá: $d_1: (1+t;2+t;3+t)$ , $d_2: (2+2s;0;1-s)$ . Cho hai điểm bằng nhau: $1+t=2+2s$ , $2+t=0$ , $3+t=1-s$ .
Tham số hoá: $d_1: (1+t;2+t;3+t)$, $d_2: (2+2s;0;1-s)$. Cho hai điểm bằng nhau: $1+t=2+2s$, $2+t=0$, $3+t=1-s$.
4
Từ phương trình thứ hai: $t=-2$ . Thay vào phương trình thứ nhất: $1-2=2+2s \iff -1=2+2s \iff s=-\dfrac32$ . Thay $t=-2$ , $s=-\dfrac32$ vào phương trình thứ ba để kiểm tra: vế trái $3+(-2)=1$ ; vế phải $1-\left(-\dfrac32\right)=\dfrac52$ . Vì $1\ne\dfrac52$ , hệ vô nghiệm.
Từ phương trình thứ hai: $t=-2$. Thay vào phương trình thứ nhất: $1-2=2+2s \iff -1=2+2s \iff s=-\dfrac32$. Thay $t=-2$, $s=-\dfrac32$ vào phương trình thứ ba để kiểm tra: vế trái $3+(-2)=1$; vế phải $1-\left(-\dfrac32\right)=\dfrac52$. Vì $1\ne\dfrac52$, hệ vô nghiệm.
5
Hai vectơ chỉ phương không cùng phương và hệ phương trình tìm giao điểm vô nghiệm, nên $d_1$ và $d_2$ chéo nhau (không song song, không cắt nhau, không trùng nhau).
Hai vectơ chỉ phương không cùng phương và hệ phương trình tìm giao điểm vô nghiệm, nên $d_1$ và $d_2$ chéo nhau (không song song, không cắt nhau, không trùng nhau).

Ví dụ

Từ phương trình khai triển tìm tâm, bán kính mặt cầu

1
Cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ . Tìm tâm và bán kính.
Cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$. Tìm tâm và bán kính.
2
$x^2-2x=(x-1)^2-1$ ; $\;y^2+4y=(y+2)^2-4$ ; $\;z^2-6z=(z-3)^2-9$ .
$x^2-2x=(x-1)^2-1$; $\;y^2+4y=(y+2)^2-4$; $\;z^2-6z=(z-3)^2-9$.
3
$(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+(z-3)^2-9-2=0 \iff (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16$ .
$(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+(z-3)^2-9-2=0 \iff (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16$.
4
Mặt cầu có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=\sqrt{16}=4$ .
Mặt cầu có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=\sqrt{16}=4$.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: vị trí tương đối, tiếp diện và chân đường vuông góc

1
Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;-2;3)$ bán kính $R=4$ (như ví dụ trên) và mặt phẳng $(P): 2x-y+3z+3=0$ (như bài trước). Xét vị trí tương đối của $(P)$ và $(S)$ . Sau đó viết phương trình tiếp diện của $(S)$ tại điểm $T(5;-2;3)$ trên mặt cầu, và tìm chân đường vuông góc hạ từ $O(0;0;0)$ xuống $(P)$ .
Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;-2;3)$ bán kính $R=4$ (như ví dụ trên) và mặt phẳng $(P): 2x-y+3z+3=0$ (như bài trước). Xét vị trí tương đối của $(P)$ và $(S)$. Sau đó viết phương trình tiếp diện của $(S)$ tại điểm $T(5;-2;3)$ trên mặt cầu, và tìm chân đường vuông góc hạ từ $O(0;0;0)$ xuống $(P)$.
2
$d(I,(P))=\dfrac{|2(1)-(-2)+3(3)+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}}=\dfrac{|2+2+9+3|}{\sqrt{14}}=\dfrac{16}{\sqrt{14}}\approx4{,}28$ .
$d(I,(P))=\dfrac{|2(1)-(-2)+3(3)+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}}=\dfrac{|2+2+9+3|}{\sqrt{14}}=\dfrac{16}{\sqrt{14}}\approx4{,}28$.
3
Ta có $d(I,(P))\approx4{,}28 > R=4$ , nên $(P)$ không cắt mặt cầu $(S)$ .
Ta có $d(I,(P))\approx4{,}28 > R=4$, nên $(P)$ không cắt mặt cầu $(S)$.
4
$IT=T-I=(4;0;0)$ , $|IT|=4=R$ nên $T$ thuộc mặt cầu. Vectơ pháp tuyến của tiếp diện tại $T$ là $\vec{IT}=(4;0;0)$ , cùng phương $(1;0;0)$ ; tiếp diện là $1(x-5)+0(y+2)+0(z-3)=0 \iff x=5$ .
$IT=T-I=(4;0;0)$, $|IT|=4=R$ nên $T$ thuộc mặt cầu. Vectơ pháp tuyến của tiếp diện tại $T$ là $\vec{IT}=(4;0;0)$, cùng phương $(1;0;0)$; tiếp diện là $1(x-5)+0(y+2)+0(z-3)=0 \iff x=5$.
5
Đường qua $O$ theo $\vec n=(2;-1;3)$ : $(2t;-t;3t)$ . Thay vào $(P)$ : $2(2t)-(-t)+3(3t)+3=0 \iff 4t+t+9t+3=0 \iff 14t=-3 \iff t=-\dfrac{3}{14}$ .
Đường qua $O$ theo $\vec n=(2;-1;3)$: $(2t;-t;3t)$. Thay vào $(P)$: $2(2t)-(-t)+3(3t)+3=0 \iff 4t+t+9t+3=0 \iff 14t=-3 \iff t=-\dfrac{3}{14}$.
6
Chân đường vuông góc là $H\left(-\dfrac{6}{14};\dfrac{3}{14};-\dfrac{9}{14}\right)=H\left(-\dfrac37;\dfrac{3}{14};-\dfrac{9}{14}\right)$ . Tổng kết: $(P)$ không cắt $(S)$ ; tiếp diện của $(S)$ tại $T$ là $x=5$ ; chân đường vuông góc từ $O$ xuống $(P)$ là $H\left(-\dfrac37;\dfrac{3}{14};-\dfrac{9}{14}\right)$ .
Chân đường vuông góc là $H\left(-\dfrac{6}{14};\dfrac{3}{14};-\dfrac{9}{14}\right)=H\left(-\dfrac37;\dfrac{3}{14};-\dfrac{9}{14}\right)$. Tổng kết: $(P)$ không cắt $(S)$; tiếp diện của $(S)$ tại $T$ là $x=5$; chân đường vuông góc từ $O$ xuống $(P)$ là $H\left(-\dfrac37;\dfrac{3}{14};-\dfrac{9}{14}\right)$.
7
Thay $H$ vào phương trình $(P)$ : $2\left(-\dfrac37\right)-\dfrac{3}{14}+3\left(-\dfrac{9}{14}\right)+3=-\dfrac{12}{14}-\dfrac{3}{14}-\dfrac{27}{14}+3=-\dfrac{42}{14}+3=-3+3=0$ (TMĐK) — xác nhận $H$ thực sự nằm trên $(P)$ , không phải một điểm tính nhầm.
Thay $H$ vào phương trình $(P)$: $2\left(-\dfrac37\right)-\dfrac{3}{14}+3\left(-\dfrac{9}{14}\right)+3=-\dfrac{12}{14}-\dfrac{3}{14}-\dfrac{27}{14}+3=-\dfrac{42}{14}+3=-3+3=0$ (TMĐK) — xác nhận $H$ thực sự nằm trên $(P)$, không phải một điểm tính nhầm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp khi hoàn thành bình phương: quên cộng lại đúng phần dư của MỖI biến vào hằng số tự do. Với $x^2-2x=(x-1)^2-1$ , số $-1$ đó phải được gộp lại đúng một lần cùng các phần dư của $y$ và $z$ và hằng số $D$ ban đầu — cộng thiếu hoặc cộng thừa một trong ba phần dư sẽ làm sai bán kính dù toạ độ tâm vẫn đúng.

Sai lầm thường gặp khi hoàn thành bình phương: quên cộng lại đúng phần dư của MỖI biến vào hằng số tự do. Với $x^2-2x=(x-1)^2-1$, số $-1$ đó phải được gộp lại đúng một lần cùng các phần dư của $y$ và $z$ và hằng số $D$ ban đầu — cộng thiếu hoặc cộng thừa một trong ba phần dư sẽ làm sai bán kính dù toạ độ tâm vẫn đúng.

Tóm tắt

Đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu là ba đối tượng nhưng dùng chung một bộ công cụ: vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến để viết phương trình, và phép so sánh khoảng cách để xác định vị trí tương đối. Một bài toán tổng hợp không gian thường chỉ là việc gọi lại đúng công thức phù hợp theo đúng thứ tự — tâm và bán kính trước, khoảng cách so với bán kính sau, rồi mới đến tiếp diện hay chân đường vuông góc nếu đề yêu cầu.

Chương tiếp theo rời hình học, chuyển sang thống kê và xác suất — hai mạch kiến thức tuy chiếm tỉ trọng nhỏ hơn trong đề nhưng luôn xuất hiện, và không đòi hỏi bất kỳ công cụ hình học không gian nào vừa luyện ở chương này.