Bài học

Đề luyện tập 2 — Toạ độ Oxyz, thống kê và xác suất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tự làm được một đề luyện thu nhỏ gộp cả ba mạch còn lại của chương trình — toạ độ Oxyz, thống kê và xác suất — hoàn tất vòng ôn tập toàn bộ Toán 12 đúng cấu trúc đề 2025.

Kiến thức nền cần nhớ

Chương 4 đã luyện vectơ, tích có hướng, phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu; Chương 5 đã luyện độ phân tán mẫu ghép nhóm và xác suất có điều kiện — Bayes. Đây là bài luyện đề cuối cùng của khoá: sáu câu trải đều ba phần, trộn ba mạch trên, khép lại vòng ôn tập toàn bộ chương trình lớp 12.

Ba mạch được trộn ở đây có tỉ trọng khác nhau trong đề thật: toạ độ Oxyz thường chiếm nhiều câu nhất trong nhóm hình học của đề, còn độ phân tán và xác suất có điều kiện mỗi mạch thường chỉ góp một vài câu. Vì vậy đề luyện dưới đây có một câu Oxyz ở cả ba phần (Câu 1, 3, 5) trong khi thống kê và xác suất chỉ xuất hiện ở một hoặc hai phần, phản ánh đúng tỉ lệ đó thay vì chia đều máy móc cho cả ba mạch.

Khởi động

Tự bấm giờ 20 phút, làm sáu câu dưới đây trước khi xem lời giải mẫu — đúng cách luyện một đề thi thật, không phải đọc lời giải trước rồi mới thử.

Thứ tự làm bài gợi ý cho đề luyện tập 2.

Đề luyện: Phần I — trắc nghiệm

Ví dụ

Phần I — Câu 1 và Câu 2

1
Cho $A(1;1;1)$ và $B(2;3;0)$ . Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ .
Cho $A(1;1;1)$ và $B(2;3;0)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.
2
$\vec{AB}=(1;2;-1)$ , $|AB|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt6$ .
$\vec{AB}=(1;2;-1)$, $|AB|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt6$.
3
Tư duy và lập luận toán học: áp dụng trực tiếp công thức khoảng cách trong không gian.
4
Một mẫu số liệu ghép nhóm: $[0;4)$ có 3 giá trị, $[4;8)$ có 5 giá trị, $[8;12]$ có 2 giá trị. Tính số trung bình.
Một mẫu số liệu ghép nhóm: $[0;4)$ có 3 giá trị, $[4;8)$ có 5 giá trị, $[8;12]$ có 2 giá trị. Tính số trung bình.
5
Trung điểm các nhóm: $2,6,10$ . $\bar x=\dfrac{3(2)+5(6)+2(10)}{10}=\dfrac{6+30+20}{10}=\dfrac{56}{10}=5{,}6$ .
Trung điểm các nhóm: $2,6,10$. $\bar x=\dfrac{3(2)+5(6)+2(10)}{10}=\dfrac{6+30+20}{10}=\dfrac{56}{10}=5{,}6$.
6
Tư duy và lập luận toán học: áp dụng công thức số trung bình của mẫu ghép nhóm.

Đề luyện: Phần II — đúng/sai

Ví dụ

Phần II — Câu 3 và Câu 4

1
Cho mặt phẳng $(P): x+2y-2z+3=0$ và điểm $M(1;-1;-2)$ . Xét: (i) vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $(1;2;-2)$ ; (ii) $d(M,(P))=2$ ; (iii) $M$ thuộc $(P)$ ; (iv) $(P)$ song song với trục $Oz$ .
Cho mặt phẳng $(P): x+2y-2z+3=0$ và điểm $M(1;-1;-2)$. Xét: (i) vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $(1;2;-2)$; (ii) $d(M,(P))=2$; (iii) $M$ thuộc $(P)$; (iv) $(P)$ song song với trục $Oz$.
2
(i) đúng — hệ số của $x,y,z$ trong phương trình chính là toạ độ vectơ pháp tuyến. Tính $d(M,(P))=\dfrac{|1(1)+2(-1)-2(-2)+3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\dfrac{|1-2+4+3|}{3}=\dfrac63=2$ — (ii) đúng. Vì $d(M,(P))=2\ne0$ , $M$ không thuộc $(P)$ , nên (iii) sai. Một mặt phẳng song song với trục $Oz$ khi vectơ pháp tuyến vuông góc với $(0;0;1)$ , tức thành phần thứ ba của vectơ pháp tuyến bằng $0$ ; ở đây thành phần đó là $-2\ne0$ , nên (iv) sai.
(i) đúng — hệ số của $x,y,z$ trong phương trình chính là toạ độ vectơ pháp tuyến. Tính $d(M,(P))=\dfrac{|1(1)+2(-1)-2(-2)+3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\dfrac{|1-2+4+3|}{3}=\dfrac63=2$ — (ii) đúng. Vì $d(M,(P))=2\ne0$, $M$ không thuộc $(P)$, nên (iii) sai. Một mặt phẳng song song với trục $Oz$ khi vectơ pháp tuyến vuông góc với $(0;0;1)$, tức thành phần thứ ba của vectơ pháp tuyến bằng $0$; ở đây thành phần đó là $-2\ne0$, nên (iv) sai.
3
Hai ý đúng (i, ii), hai ý sai (iii, iv) — câu này được 0,25 điểm trên tối đa 1 điểm. Năng lực: tư duy và lập luận toán học, đọc đúng ý nghĩa hình học của vectơ pháp tuyến.
4
Một hộp có 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Xét: (i) $P(\text{đỏ})=\dfrac35$ ; (ii) $P(\text{xanh})=\dfrac25$ ; (iii) $P(\text{đỏ})+P(\text{xanh})=1$ ; (iv) hai biến cố "lấy được đỏ" và "lấy được xanh" độc lập với nhau.
Một hộp có 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Xét: (i) $P(\text{đỏ})=\dfrac35$; (ii) $P(\text{xanh})=\dfrac25$; (iii) $P(\text{đỏ})+P(\text{xanh})=1$; (iv) hai biến cố "lấy được đỏ" và "lấy được xanh" độc lập với nhau.
5
(i), (ii) đúng theo định nghĩa xác suất cổ điển. (iii) đúng vì hai biến cố này đối lập nhau, xác suất cộng lại bằng 1. (iv) sai: hai biến cố này XUNG KHẮC (không thể cùng xảy ra trong một lần lấy một viên) chứ không phải độc lập — hai biến cố xung khắc có xác suất khác 0 không bao giờ độc lập, vì biết một biến cố xảy ra loại trừ hoàn toàn khả năng biến cố kia xảy ra.
(i), (ii) đúng theo định nghĩa xác suất cổ điển. (iii) đúng vì hai biến cố này đối lập nhau, xác suất cộng lại bằng 1. (iv) sai: hai biến cố này XUNG KHẮC (không thể cùng xảy ra trong một lần lấy một viên) chứ không phải độc lập — hai biến cố xung khắc có xác suất khác 0 không bao giờ độc lập, vì biết một biến cố xảy ra loại trừ hoàn toàn khả năng biến cố kia xảy ra.
6
Ba ý đúng (i, ii, iii), một ý sai (iv) — câu này được 0,5 điểm. Năng lực: giải quyết vấn đề toán học, phân biệt hai khái niệm dễ nhầm là "xung khắc" và "độc lập".

Đề luyện: Phần III — trả lời ngắn

Ví dụ

Phần III — Câu 5 và Câu 6

1
Mặt cầu $(S): (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=25$ có bán kính bằng bao nhiêu?
Mặt cầu $(S): (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=25$ có bán kính bằng bao nhiêu?
2
So sánh với dạng tâm—bán kính $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ , ta có $R^2=25 \Rightarrow R=5$ .
So sánh với dạng tâm—bán kính $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$, ta có $R^2=25 \Rightarrow R=5$.
3
Vậy bán kính là $5$ . Năng lực: tư duy và lập luận toán học, nhận diện trực tiếp dạng phương trình mặt cầu.
Vậy bán kính là $5$. Năng lực: tư duy và lập luận toán học, nhận diện trực tiếp dạng phương trình mặt cầu.
4
Một lớp có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất chọn được học sinh nữ, làm tròn đến hàng phần trăm.
5
$P(\text{nữ})=\dfrac{15}{40}=0{,}375$ . Làm tròn đến hàng phần trăm: $0{,}38$ .
$P(\text{nữ})=\dfrac{15}{40}=0{,}375$. Làm tròn đến hàng phần trăm: $0{,}38$.
6
Vậy đáp số cần điền là $0{,}38$ . Năng lực: mô hình hoá toán học, dịch một tình huống thực tế thành xác suất cổ điển và kiểm soát đúng quy tắc làm tròn.
Vậy đáp số cần điền là $0{,}38$. Năng lực: mô hình hoá toán học, dịch một tình huống thực tế thành xác suất cổ điển và kiểm soát đúng quy tắc làm tròn.
7
$P(\text{nam})=\dfrac{25}{40}=0{,}625$ . Kiểm tra: $P(\text{nữ})+P(\text{nam})=0{,}375+0{,}625=1$ (TMĐK, vì "nam" và "nữ" là hai biến cố đối lập nhau trong phép chọn 1 học sinh) — xác nhận không tính nhầm.
$P(\text{nam})=\dfrac{25}{40}=0{,}625$. Kiểm tra: $P(\text{nữ})+P(\text{nam})=0{,}375+0{,}625=1$ (TMĐK, vì "nam" và "nữ" là hai biến cố đối lập nhau trong phép chọn 1 học sinh) — xác nhận không tính nhầm.

Tự chấm và luyện tập thêm

Tự chấm theo đúng thang điểm thật: Câu 1, 2 nhị phân cả câu; Câu 3, 4 theo số ý đúng; Câu 5, 6 tuyệt đối theo giá trị số. Bốn câu tự luyện dưới đây, với số liệu khác, kiểm tra lại cùng những kỹ năng vừa dùng.

Nếu Câu 4 (phân biệt xung khắc và độc lập) hoặc Câu 3 (đọc vectơ pháp tuyến và tính khoảng cách) làm em mất nhiều thời gian hơn các câu khác, đó là dấu hiệu nên quay lại đúng bài học tương ứng ở Chương 4 hoặc Chương 5 để ôn lại định nghĩa gốc, thay vì chỉ luyện thêm nhiều đề mà không củng cố lại nền tảng.

Tóm tắt

Bài luyện này khép lại vòng ôn tập toàn bộ chương trình Toán 12: từ đạo hàm — khảo sát hàm số, qua nguyên hàm — tích phân, đến toạ độ Oxyz và thống kê — xác suất, tất cả đều được luyện dưới đúng ba định dạng của đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Kỹ năng còn lại không phải là học thêm công thức, mà là luyện phản xạ nhận diện chủ đề và gọi đúng công cụ trong thời gian giới hạn.

Nhìn lại toàn bộ khoá học: mười chương trước (thuộc chín khoá Toán 12 khác) đã dạy từng công cụ một cách tách biệt, còn hai bài luyện đề của chương này buộc em vận dụng nhiều công cụ đó trong cùng một khoảng thời gian giới hạn — đúng điều kiện thật của phòng thi. Nếu một kỹ thuật cụ thể vẫn khiến em chậm hoặc sai trong hai đề luyện này, đó là dấu hiệu nên quay lại đúng bài học gốc của kỹ thuật đó (ở một trong chín khoá kia) để ôn sâu thêm, thay vì chỉ lặp lại việc luyện đề tổng hợp nhiều lần mà không xử lý gốc rễ của lỗ hổng.

Đây là bài học cuối cùng của khoá Ôn thi tốt nghiệp THPT 2025. Em nên quay lại luyện thêm các đề trong hai bài này định kỳ, tính giờ nghiêm túc, cho đến khi tốc độ và độ chính xác ổn định trước ngày thi.