Bài học

Đề luyện: Nguyên hàm và tích phân xác định

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một đề luyện tổng hợp về nguyên hàm, đổi biến, và tích phân xác định bằng công thức Newton–Leibniz, dưới cả ba định dạng câu hỏi của đề 2025.

Kiến thức nền cần nhớ

Khoá Nguyên hàm và tích phân đã dạy em: $F$ là một nguyên hàm của $f$ nếu $F'=f$ ; bảng nguyên hàm cơ bản của $x^n$ , $\frac1x$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $e^x$ ; phương pháp đổi biến $u=g(x)$ khi gặp một hàm hợp; và công thức Newton–Leibniz $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ để tính tích phân xác định, kể cả khi phải đổi biến và đổi luôn cận tích phân. Bài này ghép các kỹ thuật đó vào một đề luyện đúng ba định dạng.

Khoá Nguyên hàm và tích phân đã dạy em: $F$ là một nguyên hàm của $f$ nếu $F'=f$; bảng nguyên hàm cơ bản của $x^n$, $\frac1x$, $\sin x$, $\cos x$, $e^x$; phương pháp đổi biến $u=g(x)$ khi gặp một hàm hợp; và công thức Newton–Leibniz $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ để tính tích phân xác định, kể cả khi phải đổi biến và đổi luôn cận tích phân. Bài này ghép các kỹ thuật đó vào một đề luyện đúng ba định dạng.

Khởi động

Muốn tính $\int_0^1 x\cdot e^{x^2}\,dx$ , em nhận ra ngay đây là dạng đổi biến vì có tích của $x$ và một hàm hợp theo $x^2$ . Nhưng khi tính tích phân XÁC ĐỊNH bằng đổi biến, có một bước học sinh hay quên hoàn toàn — bước đó là gì?

Muốn tính $\int_0^1 x\cdot e^{x^2}\,dx$, em nhận ra ngay đây là dạng đổi biến vì có tích của $x$ và một hàm hợp theo $x^2$. Nhưng khi tính tích phân XÁC ĐỊNH bằng đổi biến, có một bước học sinh hay quên hoàn toàn — bước đó là gì?

Đổi biến trong tích phân xác định: đừng quên đổi cận

Với nguyên hàm (không có cận), đổi biến $u=g(x)$ chỉ cần tính ngược lại theo $x$ ở bước cuối. Nhưng với tích phân xác định $\int_a^b f(x)\,dx$ , khi đặt $u=g(x)$ , cận tích phân cũng phải đổi theo: cận dưới $x=a$ trở thành $u=g(a)$ , cận trên $x=b$ trở thành $u=g(b)$ — và một khi đã đổi cận, ta tính trọn vẹn theo biến $u$ mới, KHÔNG cần đổi ngược lại theo $x$ ở bước cuối nữa. Quên đổi cận (vẫn dùng cận $a$ , $b$ cũ nhưng tính theo $u$ ) là lỗi phổ biến nhất khiến một học sinh nắm vững kỹ thuật vẫn ra sai đáp số.

Với nguyên hàm (không có cận), đổi biến $u=g(x)$ chỉ cần tính ngược lại theo $x$ ở bước cuối. Nhưng với tích phân xác định $\int_a^b f(x)\,dx$, khi đặt $u=g(x)$, cận tích phân cũng phải đổi theo: cận dưới $x=a$ trở thành $u=g(a)$, cận trên $x=b$ trở thành $u=g(b)$ — và một khi đã đổi cận, ta tính trọn vẹn theo biến $u$ mới, KHÔNG cần đổi ngược lại theo $x$ ở bước cuối nữa. Quên đổi cận (vẫn dùng cận $a$, $b$ cũ nhưng tính theo $u$) là lỗi phổ biến nhất khiến một học sinh nắm vững kỹ thuật vẫn ra sai đáp số.

Một điểm khác cần lưu ý: linearity và tính cộng theo khoảng của tích phân ( $\int_a^b f + \int_a^b g = \int_a^b (f+g)$ , và $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ với $a<c<b$ ) cho phép tách một tích phân phức tạp thành các phần đơn giản hơn — kỹ năng này sẽ dùng lại khi tính diện tích ở bài sau, nơi miền lấy tích phân phải tách theo dấu của hàm số.

Một điểm khác cần lưu ý: linearity và tính cộng theo khoảng của tích phân ($\int_a^b f + \int_a^b g = \int_a^b (f+g)$, và $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ với $a<c<b$) cho phép tách một tích phân phức tạp thành các phần đơn giản hơn — kỹ năng này sẽ dùng lại khi tính diện tích ở bài sau, nơi miền lấy tích phân phải tách theo dấu của hàm số.

Không phải biểu thức nào chứa hàm hợp cũng cần đổi biến. Với $\int e^{3x}\,dx$ , hệ số của $x$ trong số mũ chỉ là một hằng số nhân thêm, nên áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm đã đủ: $\int e^{3x}\,dx=\dfrac{e^{3x}}{3}+C$ (nhân thêm $\dfrac13$ vì đạo hàm của $e^{3x}$ có thêm hệ số $3$ theo quy tắc đạo hàm hàm hợp). Đổi biến thật sự cần thiết khi phần "bên trong" hàm hợp không phải là một biểu thức bậc nhất đơn giản — như $x^2+1$ hay $\sin x$ — mà đạo hàm của phần đó xuất hiện (đúng đến một hệ số) ở phần còn lại của tích phân. Phân biệt được hai tình huống này giúp em không mất thời gian đặt biến cho những bài chỉ cần tra bảng trực tiếp.

Không phải biểu thức nào chứa hàm hợp cũng cần đổi biến. Với $\int e^{3x}\,dx$, hệ số của $x$ trong số mũ chỉ là một hằng số nhân thêm, nên áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm đã đủ: $\int e^{3x}\,dx=\dfrac{e^{3x}}{3}+C$ (nhân thêm $\dfrac13$ vì đạo hàm của $e^{3x}$ có thêm hệ số $3$ theo quy tắc đạo hàm hàm hợp). Đổi biến thật sự cần thiết khi phần "bên trong" hàm hợp không phải là một biểu thức bậc nhất đơn giản — như $x^2+1$ hay $\sin x$ — mà đạo hàm của phần đó xuất hiện (đúng đến một hệ số) ở phần còn lại của tích phân. Phân biệt được hai tình huống này giúp em không mất thời gian đặt biến cho những bài chỉ cần tra bảng trực tiếp.

Quy trình đổi biến trong tích phân xác định.

Một cách tự kiểm tra kết quả nguyên hàm mà không cần chờ đáp án: lấy đạo hàm của kết quả vừa tìm được, nếu ra đúng hàm số ban đầu thì nguyên hàm đó đúng. Cách này đặc biệt hữu ích với những nguyên hàm có hệ số dễ nhầm — như hệ số $\dfrac{1}{12}$ trong ví dụ $(2x+1)^5$ dưới đây — vì phép đạo hàm ngược lại chỉ mất vài giây nhưng phát hiện ngay một hệ số bị tính sai.

Ví dụ

Nguyên hàm bằng đổi biến

1
Tìm nguyên hàm của $f(x)=(2x+1)^5$ .
Tìm nguyên hàm của $f(x)=(2x+1)^5$.
2
Đặt $u=2x+1 \Rightarrow du=2\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{du}{2}$ .
Đặt $u=2x+1 \Rightarrow du=2\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{du}{2}$.
3
$\displaystyle\int (2x+1)^5\,dx = \int u^5 \cdot \dfrac{du}{2} = \dfrac12 \cdot \dfrac{u^6}{6} + C = \dfrac{u^6}{12}+C$ .
$\displaystyle\int (2x+1)^5\,dx = \int u^5 \cdot \dfrac{du}{2} = \dfrac12 \cdot \dfrac{u^6}{6} + C = \dfrac{u^6}{12}+C$.
4
Vì đây là nguyên hàm (không có cận), ta thay lại $u=2x+1$ : $\dfrac{(2x+1)^6}{12}+C$ .
Vì đây là nguyên hàm (không có cận), ta thay lại $u=2x+1$: $\dfrac{(2x+1)^6}{12}+C$.
5
Vậy $\displaystyle\int (2x+1)^5\,dx = \dfrac{(2x+1)^6}{12}+C$ .
Vậy $\displaystyle\int (2x+1)^5\,dx = \dfrac{(2x+1)^6}{12}+C$.
6
Lấy đạo hàm kết quả: $\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{(2x+1)^6}{12}\right]=\dfrac{6(2x+1)^5\cdot2}{12}=(2x+1)^5$ — đúng bằng hàm ban đầu, xác nhận hệ số $\dfrac{1}{12}$ là chính xác, không bị nhầm với $\dfrac16$ hay một hệ số khác.
Lấy đạo hàm kết quả: $\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{(2x+1)^6}{12}\right]=\dfrac{6(2x+1)^5\cdot2}{12}=(2x+1)^5$ — đúng bằng hàm ban đầu, xác nhận hệ số $\dfrac{1}{12}$ là chính xác, không bị nhầm với $\dfrac16$ hay một hệ số khác.

Ví dụ

Nguyên hàm dạng

\dfrac{1}{ax+b}

Nguyên hàm dạng $\dfrac{1}{ax+b}$

1
Tìm nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{1}{2x+3}$ .
Tìm nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{1}{2x+3}$.
2
Đặt $u=2x+3 \Rightarrow du=2\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{du}{2}$ .
Đặt $u=2x+3 \Rightarrow du=2\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{du}{2}$.
3
$\displaystyle\int\dfrac{1}{2x+3}\,dx=\int\dfrac1u\cdot\dfrac{du}{2}=\dfrac12\ln|u|+C$ .
$\displaystyle\int\dfrac{1}{2x+3}\,dx=\int\dfrac1u\cdot\dfrac{du}{2}=\dfrac12\ln|u|+C$.
4
Thay $u=2x+3$ : $\dfrac12\ln|2x+3|+C$ .
Thay $u=2x+3$: $\dfrac12\ln|2x+3|+C$.
5
Vậy $\displaystyle\int\dfrac{1}{2x+3}\,dx=\dfrac12\ln|2x+3|+C$ — cùng một kỹ thuật đổi biến áp dụng cho dạng $\dfrac1x$ mở rộng, chỉ khác ở bảng nguyên hàm dùng $\ln|u|$ thay vì luỹ thừa.
Vậy $\displaystyle\int\dfrac{1}{2x+3}\,dx=\dfrac12\ln|2x+3|+C$ — cùng một kỹ thuật đổi biến áp dụng cho dạng $\dfrac1x$ mở rộng, chỉ khác ở bảng nguyên hàm dùng $\ln|u|$ thay vì luỹ thừa.

Ví dụ

Tích phân xác định bằng đổi biến, có đổi cận

1
Tính $\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx$ .
Tính $\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx$.
2
Đặt $u=x^2+1 \Rightarrow du=2x\,dx \Rightarrow x\,dx=\dfrac{du}{2}$ .
Đặt $u=x^2+1 \Rightarrow du=2x\,dx \Rightarrow x\,dx=\dfrac{du}{2}$.
3
Khi $x=0$ thì $u=0^2+1=1$ . Khi $x=1$ thì $u=1^2+1=2$ .
Khi $x=0$ thì $u=0^2+1=1$. Khi $x=1$ thì $u=1^2+1=2$.
4
$\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int_1^2 \sqrt{u}\cdot\dfrac{du}{2} = \dfrac12\left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^2 = \dfrac13\left(2^{3/2}-1\right)$ .
$\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int_1^2 \sqrt{u}\cdot\dfrac{du}{2} = \dfrac12\left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^2 = \dfrac13\left(2^{3/2}-1\right)$.
5
Vậy $\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx = \dfrac{2\sqrt2-1}{3}$ .
Vậy $\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx = \dfrac{2\sqrt2-1}{3}$.

Ví dụ

Tích phân lượng giác bằng đổi biến

1
Tính $\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin 2x\,dx$ .
Tính $\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin 2x\,dx$.
2
Đặt $u=2x \Rightarrow du=2\,dx$ . Khi $x=0$ thì $u=0$ ; khi $x=\pi/4$ thì $u=\pi/2$ . Vậy tích phân bằng $\int_0^{\pi/2}\sin u\cdot\dfrac{du}{2}=\dfrac12\left[-\cos u\right]_0^{\pi/2}$ .
Đặt $u=2x \Rightarrow du=2\,dx$. Khi $x=0$ thì $u=0$; khi $x=\pi/4$ thì $u=\pi/2$. Vậy tích phân bằng $\int_0^{\pi/2}\sin u\cdot\dfrac{du}{2}=\dfrac12\left[-\cos u\right]_0^{\pi/2}$.
3
$\dfrac12\left(-\cos\dfrac{\pi}{2}-(-\cos 0)\right)=\dfrac12\left(0-(-1)\right)=\dfrac12$ .
$\dfrac12\left(-\cos\dfrac{\pi}{2}-(-\cos 0)\right)=\dfrac12\left(0-(-1)\right)=\dfrac12$.
4
Vậy $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx = \dfrac12$ .
Vậy $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx = \dfrac12$.

Ví dụ

Tích phân xác định của tổng hai hàm cơ bản

1
Tính $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos x - \sin x)\,dx$ .
Tính $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos x - \sin x)\,dx$.
2
$\int\cos x\,dx=\sin x$ , $\int(-\sin x)\,dx=\cos x$ . Vậy nguyên hàm là $\sin x+\cos x$ .
$\int\cos x\,dx=\sin x$, $\int(-\sin x)\,dx=\cos x$. Vậy nguyên hàm là $\sin x+\cos x$.
3
$\left[\sin x+\cos x\right]_0^{\pi/2}=(\sin\tfrac{\pi}{2}+\cos\tfrac{\pi}{2})-(\sin0+\cos0)=(1+0)-(0+1)=0$ .
$\left[\sin x+\cos x\right]_0^{\pi/2}=(\sin\tfrac{\pi}{2}+\cos\tfrac{\pi}{2})-(\sin0+\cos0)=(1+0)-(0+1)=0$.
4
Vậy $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos x-\sin x)\,dx=0$ — một ví dụ nhắc lại rằng kết quả một tích phân xác định hoàn toàn có thể bằng $0$ dù hàm dưới dấu tích phân không đồng nhất bằng $0$ , miễn là phần dương và phần âm triệt tiêu nhau đúng lượng.
Vậy $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos x-\sin x)\,dx=0$ — một ví dụ nhắc lại rằng kết quả một tích phân xác định hoàn toàn có thể bằng $0$ dù hàm dưới dấu tích phân không đồng nhất bằng $0$, miễn là phần dương và phần âm triệt tiêu nhau đúng lượng.

Một trường hợp đặc biệt đáng nhớ của hiện tượng "triệt tiêu" này: nếu $f$ là hàm số lẻ (tức $f(-x)=-f(x)$ với mọi $x$ , như $x^3$ , $\sin x$ , hay $x\sin x^2$ ở dạng lẻ) thì $\int_{-a}^a f(x)\,dx=0$ với mọi $a$ , vì phần diện tích phía bên trái trục tung luôn đối dấu và bằng độ lớn với phần bên phải. Nhận ra dấu hiệu này giúp em trả lời ngay một câu Phần I mà không cần tính nguyên hàm đầy đủ — nhưng chỉ áp dụng được khi cận lấy tích phân đối xứng qua $0$ (dạng $[-a;a]$ ) và hàm thực sự là hàm lẻ trên toàn miền đó.

Một trường hợp đặc biệt đáng nhớ của hiện tượng "triệt tiêu" này: nếu $f$ là hàm số lẻ (tức $f(-x)=-f(x)$ với mọi $x$, như $x^3$, $\sin x$, hay $x\sin x^2$ ở dạng lẻ) thì $\int_{-a}^a f(x)\,dx=0$ với mọi $a$, vì phần diện tích phía bên trái trục tung luôn đối dấu và bằng độ lớn với phần bên phải. Nhận ra dấu hiệu này giúp em trả lời ngay một câu Phần I mà không cần tính nguyên hàm đầy đủ — nhưng chỉ áp dụng được khi cận lấy tích phân đối xứng qua $0$ (dạng $[-a;a]$) và hàm thực sự là hàm lẻ trên toàn miền đó.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất khi đổi biến trong tích phân xác định: đổi biến $u=g(x)$ , tính nguyên hàm theo $u$ xong lại thay ngược về $x$ RỒI mới thế cận $a$ , $b$ cũ vào — thừa một bước và dễ tính sai. Cách đúng và nhanh hơn: đổi cận ngay khi đặt biến, rồi tính trọn vẹn theo $u$ với cận mới, không cần quay lại biến $x$ nữa. Một dấu hiệu để tự phát hiện lỗi này: nếu sau khi đổi biến mà cận trên vẫn nhỏ hơn cận dưới một cách bất thường, hoặc kết quả cuối vẫn còn lẫn cả biến $x$ lẫn biến $u$ , gần như chắc chắn bước đổi cận đã bị bỏ sót.

Lỗi phổ biến nhất khi đổi biến trong tích phân xác định: đổi biến $u=g(x)$, tính nguyên hàm theo $u$ xong lại thay ngược về $x$ RỒI mới thế cận $a$, $b$ cũ vào — thừa một bước và dễ tính sai. Cách đúng và nhanh hơn: đổi cận ngay khi đặt biến, rồi tính trọn vẹn theo $u$ với cận mới, không cần quay lại biến $x$ nữa. Một dấu hiệu để tự phát hiện lỗi này: nếu sau khi đổi biến mà cận trên vẫn nhỏ hơn cận dưới một cách bất thường, hoặc kết quả cuối vẫn còn lẫn cả biến $x$ lẫn biến $u$, gần như chắc chắn bước đổi cận đã bị bỏ sót.

Tóm tắt

Nguyên hàm và tích phân dùng chung bảng công thức cơ bản và phương pháp đổi biến. Khác biệt duy nhất khi tính tích phân xác định là bước đổi cận ngay khi đặt biến mới, để không phải quay lại biến cũ ở bước cuối. Nắm vững quy trình bốn bước này là nền tảng cho bài tiếp theo, nơi tích phân được dùng để tính diện tích và thể tích. Hai kỹ năng tự kiểm tra vừa luyện — lấy đạo hàm ngược để xác nhận một nguyên hàm, và nhận diện hàm lẻ trên cận đối xứng để suy ra kết quả bằng $0$ mà không cần tính — đáng được giữ lại như thói quen cho mọi bài tích phân sau này, không chỉ trong bài học này.

Bài tiếp theo dùng chính công thức Newton–Leibniz vừa luyện để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay, và mô hình hoá một bài toán thực tế — nơi mô hình hoá cùng đạo hàm và tích phân gặp nhau. Mọi công thức sắp học đều chỉ là những cách sắp xếp khác nhau của đúng phép tính tích phân xác định vừa luyện ở bài này.