Bài học

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng

Mục tiêu và kiến thức nền

Học xong bài này, em viết và áp dụng được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, và công thức tính góc giữa hai mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát.

Bài trước đã cho em công cụ dựng phương trình mặt phẳng: một điểm thuộc mặt phẳng cộng một vectơ pháp tuyến $\vec n=(A;B;C)$ là đủ để viết $Ax+By+Cz+D=0$ , và khi mặt phẳng cho bởi ba điểm thì $\vec n$ chính là tích có hướng của hai vectơ nằm trong mặt phẳng đó (same-grade bridge từ bài "Vectơ pháp tuyến và phương trình mặt phẳng"). Bài này dùng lại đúng cách dựng ấy, chỉ thêm hai câu hỏi mới: điểm cách mặt phẳng bao xa, và hai mặt phẳng nghiêng với nhau một góc bao nhiêu.

Học xong bài này, em viết và áp dụng được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, và công thức tính góc giữa hai mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát. Bài trước đã cho em công cụ dựng phương trình mặt phẳng: một điểm thuộc mặt phẳng cộng một vectơ pháp tuyến $\vec n=(A;B;C)$ là đủ để viết $Ax+By+Cz+D=0$, và khi mặt phẳng cho bởi ba điểm thì $\vec n$ chính là tích có hướng của hai vectơ nằm trong mặt phẳng đó (same-grade bridge từ bài "Vectơ pháp tuyến và phương trình mặt phẳng"). Bài này dùng lại đúng cách dựng ấy, chỉ thêm hai câu hỏi mới: điểm cách mặt phẳng bao xa, và hai mặt phẳng nghiêng với nhau một góc bao nhiêu.

Khởi động

Một chiếc đèn trần treo cố định trong phòng. Trần nhà, sàn nhà và hai bức tường đều phẳng. Biết toạ độ đèn và phương trình mỗi mặt phẳng trong hệ Oxyz, em có tính được khoảng cách từ đèn đến trần mà không cần bắc thang đo trực tiếp không? Và góc giữa hai bức tường nghiêng — tính được từ hai vectơ pháp tuyến, không cần thước đo góc, được không?

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Vì $M_0H$ vuông góc với $(P)$ nên vectơ $\overrightarrow{M_0H}$ cùng phương với $\vec n$ , tức $\overrightarrow{M_0H}=k\vec n$ với một số $k$ nào đó — đây là chỗ vectơ pháp tuyến phát huy đúng vai trò của nó: nó không chỉ xác định mặt phẳng, mà còn chỉ đúng phương của đường vuông góc hạ từ một điểm bất kỳ xuống mặt phẳng ấy. Viết $H=M_0-k\vec n$ rồi thay vào phương trình $(P)$ , ta có $A(x_0-kA)+B(y_0-kB)+C(z_0-kC)+D=0$ , tức $(Ax_0+By_0+Cz_0+D)-k(A^2+B^2+C^2)=0$ , suy ra $k=\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$ . Độ dài đoạn cần tìm là $|\overrightarrow{M_0H}|=|k|\cdot|\vec n|$ ; thay $k$ vào và rút gọn một thừa số $\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ ở tử và mẫu, ta được công thức khoảng cách: $d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ Tử số là trị tuyệt đối của biểu thức mặt phẳng khi thay toạ độ $M_0$ vào — dấu của biểu thức này (chính là dấu của $k$ ở trên) cho biết $M_0$ nằm về phía nào của $(P)$ , nhưng khoảng cách là một độ dài nên luôn không âm, buộc phải lấy trị tuyệt đối. Mẫu số là độ dài vectơ pháp tuyến, con số quen thuộc từ bài trước — và vì $k$ đã có sẵn ở đây, hình chiếu $H$ cũng tính được ngay mà không cần thêm công thức nào khác, một điều sẽ hữu ích khi bài toán hỏi thẳng vào toạ độ hình chiếu chứ không chỉ khoảng cách.

Cho mặt phẳng $(P)\colon Ax+By+Cz+D=0$ với vectơ pháp tuyến $\vec n=(A;B;C)$, và điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ bất kỳ. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M_0$ lên $(P)$ — điểm trên $(P)$ gần $M_0$ nhất. Khoảng cách cần tìm chính là độ dài đoạn $M_0H$. Vì $M_0H$ vuông góc với $(P)$ nên vectơ $\overrightarrow{M_0H}$ cùng phương với $\vec n$, tức $\overrightarrow{M_0H}=k\vec n$ với một số $k$ nào đó — đây là chỗ vectơ pháp tuyến phát huy đúng vai trò của nó: nó không chỉ xác định mặt phẳng, mà còn chỉ đúng phương của đường vuông góc hạ từ một điểm bất kỳ xuống mặt phẳng ấy. Viết $H=M_0-k\vec n$ rồi thay vào phương trình $(P)$, ta có $A(x_0-kA)+B(y_0-kB)+C(z_0-kC)+D=0$, tức $(Ax_0+By_0+Cz_0+D)-k(A^2+B^2+C^2)=0$, suy ra $k=\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$. Độ dài đoạn cần tìm là $|\overrightarrow{M_0H}|=|k|\cdot|\vec n|$; thay $k$ vào và rút gọn một thừa số $\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ ở tử và mẫu, ta được công thức khoảng cách: $$d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$ Tử số là trị tuyệt đối của biểu thức mặt phẳng khi thay toạ độ $M_0$ vào — dấu của biểu thức này (chính là dấu của $k$ ở trên) cho biết $M_0$ nằm về phía nào của $(P)$, nhưng khoảng cách là một độ dài nên luôn không âm, buộc phải lấy trị tuyệt đối. Mẫu số là độ dài vectơ pháp tuyến, con số quen thuộc từ bài trước — và vì $k$ đã có sẵn ở đây, hình chiếu $H$ cũng tính được ngay mà không cần thêm công thức nào khác, một điều sẽ hữu ích khi bài toán hỏi thẳng vào toạ độ hình chiếu chứ không chỉ khoảng cách.

Ví dụ

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho bằng phương trình

1
Mặt phẳng $(P)\colon 2x - y + 2z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec n=(2;-1;2)$ , độ dài $|\vec n|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt9=3$ .
Mặt phẳng $(P)\colon 2x - y + 2z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec n=(2;-1;2)$, độ dài $|\vec n|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt9=3$.
2
Với $M(1;-1;2)$ : $2\cdot1-(-1)+2\cdot2-1=2+1+4-1=6$ .
Với $M(1;-1;2)$: $2\cdot1-(-1)+2\cdot2-1=2+1+4-1=6$.
3
$d(M,(P))=\frac{|6|}{3}=2$ .
$d(M,(P))=\frac{|6|}{3}=2$.
4
Vậy khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ bằng $2$ .
Vậy khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ bằng $2$.

Ví dụ

Khoảng cách từ một cảm biến khói đến mái nhà kho

1
Mái một nhà kho là mặt phẳng đi qua đỉnh ba cột đỡ cao $2$ m, $3$ m, $4$ m dựng thẳng đứng dọc ba trục kể từ góc nhà $O$ — tức mái đi qua $A(2;0;0)$ , $B(0;3;0)$ , $C(0;0;4)$ (đơn vị mét). Cảm biến khói gắn ở góc đối diện $M(4;4;4)$ .
Mái một nhà kho là mặt phẳng đi qua đỉnh ba cột đỡ cao $2$ m, $3$ m, $4$ m dựng thẳng đứng dọc ba trục kể từ góc nhà $O$ — tức mái đi qua $A(2;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;4)$ (đơn vị mét). Cảm biến khói gắn ở góc đối diện $M(4;4;4)$.
2
Hai vectơ nằm trong mái là $\overrightarrow{AB}=(-2;3;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(-2;0;4)$ . Theo tính chất tích có hướng đã học, $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(12;8;6)$ , rút gọn còn $\vec n=(6;4;3)$ .
Hai vectơ nằm trong mái là $\overrightarrow{AB}=(-2;3;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(-2;0;4)$. Theo tính chất tích có hướng đã học, $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(12;8;6)$, rút gọn còn $\vec n=(6;4;3)$.
3
Mái đi qua $A(2;0;0)$ nên $(P)\colon 6x + 4y + 3z - 12 = 0$ .
Mái đi qua $A(2;0;0)$ nên $(P)\colon 6x + 4y + 3z - 12 = 0$.
4
Thay $M(4;4;4)$ : $6\cdot4+4\cdot4+3\cdot4-12=24+16+12-12=40$ . Độ dài $|\vec n|=\sqrt{6^2+4^2+3^2}=\sqrt{61}$ . Vậy $d(M,(P))=\frac{40}{\sqrt{61}}\approx5{,}12$ (m).
Thay $M(4;4;4)$: $6\cdot4+4\cdot4+3\cdot4-12=24+16+12-12=40$. Độ dài $|\vec n|=\sqrt{6^2+4^2+3^2}=\sqrt{61}$. Vậy $d(M,(P))=\frac{40}{\sqrt{61}}\approx5{,}12$ (m).
5
Cách khác để kiểm tra: tính hình chiếu vuông góc $H$ của $M$ lên $(P)$ rồi đo trực tiếp đoạn $MH$ — kết quả cũng cho cùng một khoảng cách, khớp với công thức. Đây là cách đối chiếu độc lập, không dùng lại chính công thức vừa áp dụng.
Cách khác để kiểm tra: tính hình chiếu vuông góc $H$ của $M$ lên $(P)$ rồi đo trực tiếp đoạn $MH$ — kết quả cũng cho cùng một khoảng cách, khớp với công thức. Đây là cách đối chiếu độc lập, không dùng lại chính công thức vừa áp dụng.

Quy trình tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn quên lấy trị tuyệt đối ở tử số, dẫn đến một "khoảng cách âm" — vô lý, vì khoảng cách luôn không âm. Nếu biểu thức $Ax_0+By_0+Cz_0+D$ ra số âm, cứ tính bình thường rồi lấy trị tuyệt đối ở bước cuối cùng, đừng đổi dấu ngay từ đầu.

Ví dụ

So sánh cách làm đúng và cách làm sai khi bỏ quên trị tuyệt đối

1
Tính khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(P)\colon x+2y+2z-9=0$ .
Tính khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(P)\colon x+2y+2z-9=0$.
2
Thay $O(0;0;0)$ : $0+0+0-9=-9$ . Nếu chia thẳng cho $|\vec n|=3$ mà không lấy trị tuyệt đối, ra $d=\frac{-9}{3}=-3$ — một "khoảng cách âm", vô lý ngay từ đơn vị: khoảng cách là độ dài đoạn $OH$ , không thể âm.
Thay $O(0;0;0)$: $0+0+0-9=-9$. Nếu chia thẳng cho $|\vec n|=3$ mà không lấy trị tuyệt đối, ra $d=\frac{-9}{3}=-3$ — một "khoảng cách âm", vô lý ngay từ đơn vị: khoảng cách là độ dài đoạn $OH$, không thể âm.
3
$|\vec n|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$ . Lấy trị tuyệt đối của tử số trước khi chia: $d(O,(P))=\frac{|-9|}{3}=3$ .
$|\vec n|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$. Lấy trị tuyệt đối của tử số trước khi chia: $d(O,(P))=\frac{|-9|}{3}=3$.
4
Vậy khoảng cách đúng là $3$ , không phải $-3$ . Dấu âm của biểu thức mặt phẳng chỉ có ý nghĩa khi so sánh vị trí hai điểm (cùng phía hay khác phía so với $(P)$ ), còn khoảng cách luôn được báo cáo là một số không âm.
Vậy khoảng cách đúng là $3$, không phải $-3$. Dấu âm của biểu thức mặt phẳng chỉ có ý nghĩa khi so sánh vị trí hai điểm (cùng phía hay khác phía so với $(P)$), còn khoảng cách luôn được báo cáo là một số không âm.

Góc giữa hai mặt phẳng

Trị tuyệt đối ở tử số là điểm mấu chốt còn lại. Hai vectơ pháp tuyến có thể tạo với nhau một góc tù trong khi hai mặt phẳng vẫn nghiêng với nhau một góc nhọn — chọn $\vec n_1$ hay $-\vec n_1$ không làm thay đổi mặt phẳng (cả hai đều vuông góc với $(P_1)$ ), nhưng lại đổi dấu tích vô hướng. Lấy trị tuyệt đối loại bỏ sự phụ thuộc vào chiều ấy, đảm bảo $\varphi$ luôn thuộc $[0^\circ;90^\circ]$ đúng như định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng.

Góc giữa hai mặt phẳng $(P_1)$, $(P_2)$ là góc nhọn hoặc vuông tạo bởi chúng — luôn nằm trong khoảng từ $0^\circ$ đến $90^\circ$. Vì góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng vuông góc với chúng, tức hai vectơ pháp tuyến $\vec n_1$, $\vec n_2$, ta tính qua tích vô hướng: $$\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}$$ Vì sao góc giữa hai mặt phẳng lại bằng góc giữa hai pháp tuyến của chúng? Hình dung hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến $d$; tại một điểm bất kỳ trên $d$, dựng trong mỗi mặt phẳng một đường vuông góc với $d$ — góc giữa hai đường ấy chính là góc nhị diện, cũng là góc giữa hai mặt phẳng. Mỗi đường vuông góc đó lại nằm trong mặt phẳng chứa $\vec n_1$ (hoặc $\vec n_2$) và $d$, nên góc giữa chúng bằng đúng góc giữa $\vec n_1$ và $\vec n_2$ — xoay mặt phẳng đi một góc nào thì pháp tuyến của nó cũng xoay đi đúng góc ấy. Vậy tính góc giữa hai mặt phẳng quy về tính góc giữa hai vectơ, việc đã quen từ tích vô hướng. Trị tuyệt đối ở tử số là điểm mấu chốt còn lại. Hai vectơ pháp tuyến có thể tạo với nhau một góc tù trong khi hai mặt phẳng vẫn nghiêng với nhau một góc nhọn — chọn $\vec n_1$ hay $-\vec n_1$ không làm thay đổi mặt phẳng (cả hai đều vuông góc với $(P_1)$), nhưng lại đổi dấu tích vô hướng. Lấy trị tuyệt đối loại bỏ sự phụ thuộc vào chiều ấy, đảm bảo $\varphi$ luôn thuộc $[0^\circ;90^\circ]$ đúng như định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng.

Ví dụ

Nhận biết hai mặt phẳng vuông góc

1
$(P_1)\colon x + y - 3 = 0$ có $\vec n_1=(1;1;0)$ ; $(P_2)\colon x - y + 5 = 0$ có $\vec n_2=(1;-1;0)$ .
$(P_1)\colon x + y - 3 = 0$ có $\vec n_1=(1;1;0)$; $(P_2)\colon x - y + 5 = 0$ có $\vec n_2=(1;-1;0)$.
2
$\vec n_1\cdot\vec n_2=1\cdot1+1\cdot(-1)+0\cdot0=0$ .
$\vec n_1\cdot\vec n_2=1\cdot1+1\cdot(-1)+0\cdot0=0$.
3
$\cos\varphi=\frac{|0|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=0$ , nên $\varphi=90^\circ$ . Vậy hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
$\cos\varphi=\frac{|0|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=0$, nên $\varphi=90^\circ$. Vậy hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Ví dụ

Đèn treo và hai bức tường nghiêng

1
Hai bức tường của một căn phòng là $(P_1)\colon 2x - y + 2z - 4 = 0$ và $(P_2)\colon x + 2y - 2z + 6 = 0$ ; đèn treo tại $M(1;-2;3)$ .
Hai bức tường của một căn phòng là $(P_1)\colon 2x - y + 2z - 4 = 0$ và $(P_2)\colon x + 2y - 2z + 6 = 0$; đèn treo tại $M(1;-2;3)$.
2
$\vec n_1=(2;-1;2)$ , $|\vec n_1|=3$ . Thay $M$ : $2\cdot1-(-2)+2\cdot3-4=2+2+6-4=6$ . Vậy $d(M,(P_1))=\frac{6}{3}=2$ .
$\vec n_1=(2;-1;2)$, $|\vec n_1|=3$. Thay $M$: $2\cdot1-(-2)+2\cdot3-4=2+2+6-4=6$. Vậy $d(M,(P_1))=\frac{6}{3}=2$.
3
$\vec n_2=(1;2;-2)$ , $|\vec n_2|=3$ . $\vec n_1\cdot\vec n_2=2\cdot1+(-1)\cdot2+2\cdot(-2)=-4$ .
$\vec n_2=(1;2;-2)$, $|\vec n_2|=3$. $\vec n_1\cdot\vec n_2=2\cdot1+(-1)\cdot2+2\cdot(-2)=-4$.
4
$\cos\varphi=\frac{|-4|}{3\cdot3}=\frac{4}{9}$ , tức $\varphi\approx63{,}6^\circ$ — không phải góc đặc biệt, nên đề thường chỉ yêu cầu nêu $\cos\varphi=\frac{4}{9}$ chứ không đổi ra độ. Vậy khoảng cách từ đèn đến tường $(P_1)$ là $2$ , và góc giữa hai bức tường thoả $\cos\varphi=\frac{4}{9}$ .
$\cos\varphi=\frac{|-4|}{3\cdot3}=\frac{4}{9}$, tức $\varphi\approx63{,}6^\circ$ — không phải góc đặc biệt, nên đề thường chỉ yêu cầu nêu $\cos\varphi=\frac{4}{9}$ chứ không đổi ra độ. Vậy khoảng cách từ đèn đến tường $(P_1)$ là $2$, và góc giữa hai bức tường thoả $\cos\varphi=\frac{4}{9}$.

Lời giải có hình

Đèn treo và bức tường (P1)

Bước 1

Bức tường $(P_1)\colon 2x-y+2z-4=0$ đi qua ba điểm A, B, C, và đèn treo tại $M(1;-2;3)$ .Bức tường $(P_1)\colon 2x-y+2z-4=0$ đi qua ba điểm A, B, C, và đèn treo tại $M(1;-2;3)$.

Sai lầm thường gặp

Nếu quên lấy trị tuyệt đối ở công thức góc, có bạn tính ra $\cos\varphi=\frac{-4}{9}$ rồi kết luận $\varphi$ tù — sai, vì góc giữa hai mặt phẳng theo định nghĩa không bao giờ vượt quá $90^\circ$ . Tích vô hướng âm chỉ cho biết chiều hai vectơ pháp tuyến đang chọn ngược nhau, không phải hình dạng thật của góc giữa hai mặt phẳng.

Nếu quên lấy trị tuyệt đối ở công thức góc, có bạn tính ra $\cos\varphi=\frac{-4}{9}$ rồi kết luận $\varphi$ tù — sai, vì góc giữa hai mặt phẳng theo định nghĩa không bao giờ vượt quá $90^\circ$. Tích vô hướng âm chỉ cho biết chiều hai vectơ pháp tuyến đang chọn ngược nhau, không phải hình dạng thật của góc giữa hai mặt phẳng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Tóm lại, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng lấy trị tuyệt đối của giá trị mặt phẳng tại điểm đó, chia cho độ dài vectơ pháp tuyến; góc giữa hai mặt phẳng lấy trị tuyệt đối của tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến, chia cho tích hai độ dài. Cả hai công thức đều bắt nguồn từ chính vectơ pháp tuyến mà bài trước đã dựng — không có gì mới về bản chất, chỉ là cách khai thác thêm.

Bài sau chuyển từ mặt phẳng sang đường thẳng: cũng một điểm và một vectơ, nhưng lần này là vectơ chỉ phương — phương trình và cách suy luận về vị trí tương đối sẽ khác hẳn.