Bài học

Vị trí tương đối của hai đường thẳng, và của đường thẳng với mặt phẳng

Mục tiêu và kiến thức nền

Chương trước đã dạy cách xét ba vectơ có đồng phẳng hay không bằng tích hỗn tạp $[\vec a,\vec b,\vec c]=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$ : bằng $0$ thì đồng phẳng, khác $0$ thì không. Bài này dùng lại đúng công cụ ấy để trả lời một câu hỏi khác — hai đường thẳng cho bởi phương trình có cùng nằm trong một mặt phẳng hay không — và ghép với phép kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng hay mặt phẳng hay không, việc chỉ cần thay toạ độ vào phương trình.

Học xong bài này, em xác định được vị trí tương đối của hai đường thẳng (song song, trùng nhau, cắt nhau, hay chéo nhau), và vị trí tương đối của một đường thẳng với một mặt phẳng (nằm trong, song song, hay cắt). Chương trước đã dạy cách xét ba vectơ có đồng phẳng hay không bằng tích hỗn tạp $[\vec a,\vec b,\vec c]=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$: bằng $0$ thì đồng phẳng, khác $0$ thì không. Bài này dùng lại đúng công cụ ấy để trả lời một câu hỏi khác — hai đường thẳng cho bởi phương trình có cùng nằm trong một mặt phẳng hay không — và ghép với phép kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng hay mặt phẳng hay không, việc chỉ cần thay toạ độ vào phương trình.

Khởi động

Hai đường ống kỹ thuật chạy xuyên một toà nhà, mỗi đường có phương trình riêng. Không có mô hình 3D nào dựng sẵn, em chỉ có hai phương trình — làm sao biết chúng có cắt nhau (cần tránh va chạm khi thi công), chạy song song an toàn, hay lệch nhau trong không gian mà không bao giờ gặp?

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho $d_1$ qua $M_1$ với vectơ chỉ phương $\vec u_1$ , và $d_2$ qua $M_2$ với vectơ chỉ phương $\vec u_2$ . Xét lần lượt hai câu hỏi.

Câu hỏi thứ nhất: $\vec u_1$ và $\vec u_2$ có cùng phương không? Nếu $\vec u_1\parallel\vec u_2$ (tức $\vec u_1\times\vec u_2=\vec 0$ ), hai đường thẳng cùng phương — chỉ còn phải phân biệt trùng nhau hay song song bằng cách kiểm tra thêm: $M_1$ có thuộc $d_2$ không? Có thì $d_1$ và $d_2$ là cùng một đường thẳng, viết bởi hai cách khác nhau — trùng nhau; không có thì hai đường thẳng song song, không bao giờ gặp nhau.

Câu hỏi thứ hai, khi $\vec u_1$ và $\vec u_2$ không cùng phương: ba vectơ $\vec u_1$ , $\vec u_2$ , $\overrightarrow{M_1M_2}$ có đồng phẳng không? Đồng phẳng nghĩa là cả hai đường thẳng cùng nằm gọn trong một mặt phẳng — khi ấy chúng phải cắt nhau tại đúng một điểm (vì không song song mà lại cùng mặt phẳng). Không đồng phẳng thì không có mặt phẳng nào chứa được cả hai — chúng chéo nhau, không cắt nhau nhưng cũng không song song. Điều kiện đồng phẳng chính là tích hỗn tạp bằng $0$ : $[\vec u_1,\vec u_2,\overrightarrow{M_1M_2}]=0$ .

Cho $d_1$ qua $M_1$ với vectơ chỉ phương $\vec u_1$, và $d_2$ qua $M_2$ với vectơ chỉ phương $\vec u_2$. Xét lần lượt hai câu hỏi. Câu hỏi thứ nhất: $\vec u_1$ và $\vec u_2$ có cùng phương không? Nếu $\vec u_1\parallel\vec u_2$ (tức $\vec u_1\times\vec u_2=\vec 0$), hai đường thẳng cùng phương — chỉ còn phải phân biệt trùng nhau hay song song bằng cách kiểm tra thêm: $M_1$ có thuộc $d_2$ không? Có thì $d_1$ và $d_2$ là cùng một đường thẳng, viết bởi hai cách khác nhau — trùng nhau; không có thì hai đường thẳng song song, không bao giờ gặp nhau. Câu hỏi thứ hai, khi $\vec u_1$ và $\vec u_2$ không cùng phương: ba vectơ $\vec u_1$, $\vec u_2$, $\overrightarrow{M_1M_2}$ có đồng phẳng không? Đồng phẳng nghĩa là cả hai đường thẳng cùng nằm gọn trong một mặt phẳng — khi ấy chúng phải cắt nhau tại đúng một điểm (vì không song song mà lại cùng mặt phẳng). Không đồng phẳng thì không có mặt phẳng nào chứa được cả hai — chúng chéo nhau, không cắt nhau nhưng cũng không song song. Điều kiện đồng phẳng chính là tích hỗn tạp bằng $0$: $[\vec u_1,\vec u_2,\overrightarrow{M_1M_2}]=0$.

Ví dụ

Phân biệt song song và trùng nhau

1
Xét vị trí tương đối của $d_1$ qua $M_1(1;1;1)$ vectơ chỉ phương $\vec u_1=(2;1;-1)$ , và $d_2$ qua $M_2(3;2;1)$ vectơ chỉ phương $\vec u_2=(4;2;-2)$ .
Xét vị trí tương đối của $d_1$ qua $M_1(1;1;1)$ vectơ chỉ phương $\vec u_1=(2;1;-1)$, và $d_2$ qua $M_2(3;2;1)$ vectơ chỉ phương $\vec u_2=(4;2;-2)$.
2
$\vec u_2=(4;2;-2)=2\vec u_1$ , nên $\vec u_1\parallel\vec u_2$ — hai đường thẳng cùng phương.
$\vec u_2=(4;2;-2)=2\vec u_1$, nên $\vec u_1\parallel\vec u_2$ — hai đường thẳng cùng phương.
3
Thay $M_1(1;1;1)$ vào phương trình tham số của $d_2$ : cần $3+4s=1$ , $2+2s=1$ , $1-2s=1$ cùng một $s$ . Từ phương trình đầu $s=-\frac12$ ; thay vào phương trình thứ ba: $1-2\cdot(-\frac12)=2\neq1$ — không thoả. Vậy $M_1$ không thuộc $d_2$ .
Thay $M_1(1;1;1)$ vào phương trình tham số của $d_2$: cần $3+4s=1$, $2+2s=1$, $1-2s=1$ cùng một $s$. Từ phương trình đầu $s=-\frac12$; thay vào phương trình thứ ba: $1-2\cdot(-\frac12)=2\neq1$ — không thoả. Vậy $M_1$ không thuộc $d_2$.
4
Hai vectơ chỉ phương cùng phương nhưng $M_1\notin d_2$ , nên $d_1$ và $d_2$ song song với nhau — cùng hướng, không bao giờ gặp nhau.
Hai vectơ chỉ phương cùng phương nhưng $M_1\notin d_2$, nên $d_1$ và $d_2$ song song với nhau — cùng hướng, không bao giờ gặp nhau.

Ví dụ

Nhận biết hai đường thẳng chéo nhau

1
Xét vị trí tương đối của $d_1$ qua $M_1(1;0;0)$ vectơ chỉ phương $\vec u_1=(1;1;0)$ , và $d_2$ qua $M_2(0;1;1)$ vectơ chỉ phương $\vec u_2=(1;-1;1)$ .
Xét vị trí tương đối của $d_1$ qua $M_1(1;0;0)$ vectơ chỉ phương $\vec u_1=(1;1;0)$, và $d_2$ qua $M_2(0;1;1)$ vectơ chỉ phương $\vec u_2=(1;-1;1)$.
2
$\vec u_1$ và $\vec u_2$ rõ ràng không cùng phương (không tỉ lệ ở toạ độ nào), nên xét tiếp điều kiện đồng phẳng.
$\vec u_1$ và $\vec u_2$ rõ ràng không cùng phương (không tỉ lệ ở toạ độ nào), nên xét tiếp điều kiện đồng phẳng.
3
$\overrightarrow{M_1M_2}=(-1;1;1)$ . Tích có hướng $\vec u_2\times\overrightarrow{M_1M_2}=(-2;-2;0)$ , tích vô hướng $\vec u_1\cdot(-2;-2;0)=-4\neq0$ .
$\overrightarrow{M_1M_2}=(-1;1;1)$. Tích có hướng $\vec u_2\times\overrightarrow{M_1M_2}=(-2;-2;0)$, tích vô hướng $\vec u_1\cdot(-2;-2;0)=-4\neq0$.
4
Tích hỗn tạp khác $0$ nên ba vectơ không đồng phẳng: hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào. Vậy $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.
Tích hỗn tạp khác $0$ nên ba vectơ không đồng phẳng: hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào. Vậy $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.

Ví dụ

Hai đường thẳng cắt nhau, tìm giao điểm

1
Xét vị trí tương đối của $d_1$ qua $A(0;1;0)$ vectơ chỉ phương $\vec u_1=(1;0;1)$ , và $d_2$ qua $B(1;0;0)$ vectơ chỉ phương $\vec u_2=(0;1;1)$ .
Xét vị trí tương đối của $d_1$ qua $A(0;1;0)$ vectơ chỉ phương $\vec u_1=(1;0;1)$, và $d_2$ qua $B(1;0;0)$ vectơ chỉ phương $\vec u_2=(0;1;1)$.
2
$\vec u_1$ , $\vec u_2$ không cùng phương. $\overrightarrow{AB}=(1;-1;0)$ , tích hỗn tạp $[\vec u_1,\vec u_2,\overrightarrow{AB}]=0=0$ — đồng phẳng, nên hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm.
$\vec u_1$, $\vec u_2$ không cùng phương. $\overrightarrow{AB}=(1;-1;0)$, tích hỗn tạp $[\vec u_1,\vec u_2,\overrightarrow{AB}]=0=0$ — đồng phẳng, nên hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm.
3
$d_1\colon (t;1;t)$ , $d_2\colon(1;s;s)$ . Cho bằng nhau: từ toạ độ $x$ : $t=1$ ; từ toạ độ $y$ : $1=s$ . Thay vào toạ độ $z$ : $d_1$ cho $z=t=1$ , $d_2$ cho $z=s=1$ — khớp nhau, xác nhận có nghiệm chung.
$d_1\colon (t;1;t)$, $d_2\colon(1;s;s)$. Cho bằng nhau: từ toạ độ $x$: $t=1$; từ toạ độ $y$: $1=s$. Thay vào toạ độ $z$: $d_1$ cho $z=t=1$, $d_2$ cho $z=s=1$ — khớp nhau, xác nhận có nghiệm chung.
4
Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại $I(1;1;1)$ .
Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại $I(1;1;1)$.

Lời giải có hình

Hai đường thẳng cắt nhau tại I

Bước 1

Đường thẳng $d_1$ qua $A(0;1;0)$ với vectơ chỉ phương $(1;0;1)$ .Đường thẳng $d_1$ qua $A(0;1;0)$ với vectơ chỉ phương $(1;0;1)$.

Quy trình xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Sai lầm thường gặp

Thấy $\vec u_1\parallel\vec u_2$ rồi vội kết luận "song song" là sai lầm hay gặp nhất ở bài này — còn thiếu bước kiểm tra $M_1\in d_2$ . Cùng phương mà đi qua cùng một đường thì là trùng nhau, không phải song song. Luôn kiểm tra đủ cả hai điều kiện trước khi kết luận.

Thấy $\vec u_1\parallel\vec u_2$ rồi vội kết luận "song song" là sai lầm hay gặp nhất ở bài này — còn thiếu bước kiểm tra $M_1\in d_2$. Cùng phương mà đi qua cùng một đường thì là trùng nhau, không phải song song. Luôn kiểm tra đủ cả hai điều kiện trước khi kết luận.

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ qua $M$ với vectơ chỉ phương $\vec u$ , và mặt phẳng $(P)$ với vectơ pháp tuyến $\vec n$ . So sánh $\vec n\cdot\vec u$ với $0$ :

Nếu $\vec n\cdot\vec u=0$ — vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ pháp tuyến, tức $d$ song song với $(P)$ hoặc nằm hẳn trong $(P)$ . Phân biệt hai khả năng bằng cách kiểm tra điểm $M$ : $M\in(P)$ thì cả đường thẳng nằm trong $(P)$ (vì mọi điểm của $d$ đều thoả phương trình mặt phẳng khi $M$ đã thoả và $\vec u$ vuông góc $\vec n$ ); $M\notin(P)$ thì $d$ song song với $(P)$ , không chạm vào nó ở đâu cả.

Nếu $\vec n\cdot\vec u\neq0$ , đường thẳng cắt mặt phẳng tại đúng một điểm. Tìm điểm ấy bằng cách thay phương trình tham số của $d$ vào phương trình $(P)$ , giải ra $t$ , rồi thay lại để có toạ độ giao điểm.

Cho đường thẳng $d$ qua $M$ với vectơ chỉ phương $\vec u$, và mặt phẳng $(P)$ với vectơ pháp tuyến $\vec n$. So sánh $\vec n\cdot\vec u$ với $0$: Nếu $\vec n\cdot\vec u=0$ — vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ pháp tuyến, tức $d$ song song với $(P)$ hoặc nằm hẳn trong $(P)$. Phân biệt hai khả năng bằng cách kiểm tra điểm $M$: $M\in(P)$ thì cả đường thẳng nằm trong $(P)$ (vì mọi điểm của $d$ đều thoả phương trình mặt phẳng khi $M$ đã thoả và $\vec u$ vuông góc $\vec n$); $M\notin(P)$ thì $d$ song song với $(P)$, không chạm vào nó ở đâu cả. Nếu $\vec n\cdot\vec u\neq0$, đường thẳng cắt mặt phẳng tại đúng một điểm. Tìm điểm ấy bằng cách thay phương trình tham số của $d$ vào phương trình $(P)$, giải ra $t$, rồi thay lại để có toạ độ giao điểm.

Ví dụ

Đường thẳng song song với mặt phẳng

1
Xét vị trí tương đối của $d$ qua $O(0;0;0)$ vectơ chỉ phương $\vec u=(1;1;1)$ , và mặt phẳng $(P)\colon x + y - 2z - 3 = 0$ .
Xét vị trí tương đối của $d$ qua $O(0;0;0)$ vectơ chỉ phương $\vec u=(1;1;1)$, và mặt phẳng $(P)\colon x + y - 2z - 3 = 0$.
2
$\vec n\cdot\vec u=1\cdot1+1\cdot1+(-2)\cdot1=0$ — $d$ song song với $(P)$ hoặc nằm trong $(P)$ , cần kiểm tra thêm điểm $O$ .
$\vec n\cdot\vec u=1\cdot1+1\cdot1+(-2)\cdot1=0$ — $d$ song song với $(P)$ hoặc nằm trong $(P)$, cần kiểm tra thêm điểm $O$.
3
Thay $O(0;0;0)$ vào $(P)$ : $0+0-0-3=-3\neq0$ — $O$ không thuộc $(P)$ .
Thay $O(0;0;0)$ vào $(P)$: $0+0-0-3=-3\neq0$ — $O$ không thuộc $(P)$.
4
$\vec n\cdot\vec u=0$ nhưng $O\notin(P)$ , nên $d$ song song với $(P)$ — không có điểm chung nào.
$\vec n\cdot\vec u=0$ nhưng $O\notin(P)$, nên $d$ song song với $(P)$ — không có điểm chung nào.

Ví dụ

Đường thẳng cắt mặt phẳng, tìm giao điểm

1
Xét vị trí tương đối của $d$ qua $M(1;1;1)$ vectơ chỉ phương $\vec u=(1;1;1)$ , và mặt phẳng $(P)\colon x + 2y - z - 4 = 0$ .
Xét vị trí tương đối của $d$ qua $M(1;1;1)$ vectơ chỉ phương $\vec u=(1;1;1)$, và mặt phẳng $(P)\colon x + 2y - z - 4 = 0$.
2
$\vec n\cdot\vec u=1\cdot1+2\cdot1+(-1)\cdot1=2\neq0$ — $d$ cắt $(P)$ tại đúng một điểm.
$\vec n\cdot\vec u=1\cdot1+2\cdot1+(-1)\cdot1=2\neq0$ — $d$ cắt $(P)$ tại đúng một điểm.
3
$d\colon(1+t;1+t;1+t)$ . Thay vào $(P)$ : $(1+t)+2(1+t)-(1+t)-4=0$ , tức $2t-2=0$ , suy ra $t=1$ .
$d\colon(1+t;1+t;1+t)$. Thay vào $(P)$: $(1+t)+2(1+t)-(1+t)-4=0$, tức $2t-2=0$, suy ra $t=1$.
4
Vậy $d$ cắt $(P)$ tại điểm ứng với $t=1$ : $(2;2;2)$ .
Vậy $d$ cắt $(P)$ tại điểm ứng với $t=1$: $(2;2;2)$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Bốn khả năng của hai đường thẳng — song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau — chia làm hai nhóm rõ rệt theo bước thứ nhất: cùng phương (song song hoặc trùng nhau) và không cùng phương (cắt nhau hoặc chéo nhau). Học thuộc bốn cái tên không có ích bằng nhớ đúng hai nhánh rẽ này, vì mọi bài toán đều đi qua đúng con đường ấy, chỉ khác kết quả ở bước kiểm tra thứ hai.

Tóm lại, xét vị trí tương đối luôn bắt đầu từ việc so sánh hai vectơ chỉ phương (hoặc vectơ chỉ phương với vectơ pháp tuyến), sau đó kiểm tra thêm một điểm hoặc một tích hỗn tạp để phân biệt các khả năng còn lại. Không có công thức nào đọc thẳng ra tên gọi — luôn phải qua đúng hai bước kiểm tra theo thứ tự, bỏ bước nào cũng dễ kết luận nhầm. Bốn khả năng của hai đường thẳng — song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau — chia làm hai nhóm rõ rệt theo bước thứ nhất: cùng phương (song song hoặc trùng nhau) và không cùng phương (cắt nhau hoặc chéo nhau). Học thuộc bốn cái tên không có ích bằng nhớ đúng hai nhánh rẽ này, vì mọi bài toán đều đi qua đúng con đường ấy, chỉ khác kết quả ở bước kiểm tra thứ hai.

Bài sau chuyển sang một đối tượng hình học mới: mặt cầu — tập hợp điểm cách đều một tâm cố định. Công cụ vẫn quen thuộc: khoảng cách và vectơ pháp tuyến vừa dùng ở bài đầu chương lại xuất hiện, lần này để so sánh mặt cầu với một mặt phẳng.