Bài học

Phương trình mặt cầu và vị trí tương đối với mặt phẳng

Mục tiêu và kiến thức nền

Mặt cầu là hình duy nhất trong chương này không được cho bởi một điểm và một vectơ — nó được cho bởi một tâm và một bán kính, nhưng công cụ để xét vị trí tương đối với mặt phẳng lại chính là công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đã học ở bài đầu chương. Không có gì mới về công thức, chỉ có một phép so sánh mới: khoảng cách ấy so với bán kính.

Học xong bài này, em viết được phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính (hoặc ngược lại, đọc ra tâm và bán kính từ phương trình khai triển), và xác định được vị trí tương đối giữa một mặt cầu và một mặt phẳng. Mặt cầu là hình duy nhất trong chương này không được cho bởi một điểm và một vectơ — nó được cho bởi một tâm và một bán kính, nhưng công cụ để xét vị trí tương đối với mặt phẳng lại chính là công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đã học ở bài đầu chương. Không có gì mới về công thức, chỉ có một phép so sánh mới: khoảng cách ấy so với bán kính.

Khởi động

Một quả bóng hình cầu đặt trong sân, tâm và bán kính đã biết. Một tấm tường phẳng dựng gần đó. Không cần nhìn trực tiếp, chỉ từ toạ độ tâm bóng và phương trình tường, em có biết được quả bóng có chạm tường, cắt vào tường theo một đường tròn, hay còn cách tường một khoảng không?

Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$ là tập hợp mọi điểm $M(x;y;z)$ cách $I$ đúng $R$ , tức $IM=R$ . Bình phương hai vế để bỏ căn: $(S)\colon (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ Khai triển từng bình phương và gộp các số hạng tự do, phương trình trên luôn đưa được về dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $d=a^2+b^2+c^2-R^2$ . Ngược lại, nếu đề cho sẵn dạng khai triển này, để tìm lại tâm và bán kính, ta hoàn thiện bình phương từng biến — chú ý hệ số của $x$ là $-2a$ chứ không phải $-a$ , nên $a$ bằng nửa hệ số của $x$ đổi dấu, tương tự cho $b,c$ — rồi tính $R^2=a^2+b^2+c^2-d$ . Điều kiện để phương trình khai triển thật sự là một mặt cầu (có điểm thật) là $a^2+b^2+c^2-d>0$ ; nếu không, phương trình vô nghiệm hoặc chỉ có đúng một điểm, không phải một mặt cầu.

Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$ là tập hợp mọi điểm $M(x;y;z)$ cách $I$ đúng $R$, tức $IM=R$. Bình phương hai vế để bỏ căn: $$(S)\colon (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$$ Khai triển từng bình phương và gộp các số hạng tự do, phương trình trên luôn đưa được về dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $d=a^2+b^2+c^2-R^2$. Ngược lại, nếu đề cho sẵn dạng khai triển này, để tìm lại tâm và bán kính, ta hoàn thiện bình phương từng biến — chú ý hệ số của $x$ là $-2a$ chứ không phải $-a$, nên $a$ bằng nửa hệ số của $x$ đổi dấu, tương tự cho $b,c$ — rồi tính $R^2=a^2+b^2+c^2-d$. Điều kiện để phương trình khai triển thật sự là một mặt cầu (có điểm thật) là $a^2+b^2+c^2-d>0$; nếu không, phương trình vô nghiệm hoặc chỉ có đúng một điểm, không phải một mặt cầu.

Ví dụ

Viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính

1
Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;-2;3)$ bán kính $R=5$ , dưới cả hai dạng chính tắc và khai triển.
Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;-2;3)$ bán kính $R=5$, dưới cả hai dạng chính tắc và khai triển.
2
$(S)\colon (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25$ .
$(S)\colon (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25$.
3
Khai triển từng bình phương: $x^2-2x+1+y^2+4y+4+z^2-6z+9=25$ , chuyển $25$ sang vế trái và gộp các số hạng tự do, được dạng khai triển $(S)\colon x^2+y^2+z^2 -2x + 4y - 6z - 11 = 0$ .
Khai triển từng bình phương: $x^2-2x+1+y^2+4y+4+z^2-6z+9=25$, chuyển $25$ sang vế trái và gộp các số hạng tự do, được dạng khai triển $(S)\colon x^2+y^2+z^2 -2x + 4y - 6z - 11 = 0$.

Ví dụ

Đọc tâm và bán kính từ phương trình khai triển

1
Mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2-4x + 2y - 6z - 2 = 0$ . Tìm tâm và bán kính.
Mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2-4x + 2y - 6z - 2 = 0$. Tìm tâm và bán kính.
2
Hệ số của $x$ là $-4$ , nên $a=2$ (nửa hệ số, đổi dấu); hệ số của $y$ là $2$ , nên $b=-1$ ; hệ số của $z$ là $-6$ , nên $c=3$ : $(x-2)^2-4+(y+1)^2-1+(z-3)^2-9-2=0$ .
Hệ số của $x$ là $-4$, nên $a=2$ (nửa hệ số, đổi dấu); hệ số của $y$ là $2$, nên $b=-1$; hệ số của $z$ là $-6$, nên $c=3$: $(x-2)^2-4+(y+1)^2-1+(z-3)^2-9-2=0$.
3
Gộp lại: $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=16$ . Kiểm tra điều kiện $a^2+b^2+c^2-d=4+1+9-(-2)=16>0$ — hợp lệ, nên $R=\sqrt{16}=4$ .
Gộp lại: $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=16$. Kiểm tra điều kiện $a^2+b^2+c^2-d=4+1+9-(-2)=16>0$ — hợp lệ, nên $R=\sqrt{16}=4$.
4
Vậy $(S)$ có tâm $(2;-1;3)$ , bán kính $R=4$ .
Vậy $(S)$ có tâm $(2;-1;3)$, bán kính $R=4$.

Ví dụ

Nhận biết một phương trình KHÔNG phải là mặt cầu

1
Phương trình $x^2+y^2+z^2-6x + 2y + 20 = 0$ có phải là phương trình một mặt cầu không?
Phương trình $x^2+y^2+z^2-6x + 2y + 20 = 0$ có phải là phương trình một mặt cầu không?
2
$a=3$ , $b=-1$ , $c=0$ , $d=20$ .
$a=3$, $b=-1$, $c=0$, $d=20$.
3
$a^2+b^2+c^2-d=9+1+0-20=-10<0$ .
$a^2+b^2+c^2-d=9+1+0-20=-10<0$.
4
Vế phải " $R^2$ " âm — không tồn tại số thực nào bình phương ra âm, nên phương trình này không có điểm thực nào thoả mãn. Đây không phải phương trình một mặt cầu, dù có đúng dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ .
Vế phải "$R^2$" âm — không tồn tại số thực nào bình phương ra âm, nên phương trình này không có điểm thực nào thoả mãn. Đây không phải phương trình một mặt cầu, dù có đúng dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$.

Sai lầm thường gặp

Hệ số của $x$ trong phương trình khai triển là $-2a$ , không phải $-a$ — nhiều bạn quên nhân đôi khi tìm $a$ , ra tâm sai một nửa. Cách chắc chắn: luôn hoàn thiện bình phương từng biến một cách tường minh như ví dụ trên, đừng học vẹt công thức " $a=$ nửa hệ số" mà quên kiểm tra dấu.

Hệ số của $x$ trong phương trình khai triển là $-2a$, không phải $-a$ — nhiều bạn quên nhân đôi khi tìm $a$, ra tâm sai một nửa. Cách chắc chắn: luôn hoàn thiện bình phương từng biến một cách tường minh như ví dụ trên, đừng học vẹt công thức "$a=$ nửa hệ số" mà quên kiểm tra dấu.

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ , và mặt phẳng $(P)$ . Tính khoảng cách $d=d(I,(P))$ bằng đúng công thức đã học ở bài đầu chương, rồi so sánh với $R$ :

$d>R$ : mặt phẳng ở quá xa tâm so với bán kính, không chạm vào mặt cầu ở đâu cả — không cắt nhau.

$d=R$ : mặt phẳng chạm mặt cầu tại đúng một điểm — tiếp điểm, chính là hình chiếu vuông góc $H$ của $I$ lên $(P)$ — gọi là tiếp xúc, và $(P)$ là tiếp diện của $(S)$ tại $H$ .

$d<R$ : mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn. Đường tròn giao tuyến ấy có tâm là hình chiếu $H$ của $I$ lên $(P)$ , và bán kính của nó tính được nhờ một tam giác vuông có sẵn trong hình: lấy $M$ là một điểm bất kỳ trên đường tròn giao tuyến, tam giác $IHM$ vuông tại $H$ vì $IH\perp(P)$ (tính chất hình chiếu vuông góc) mà $HM$ lại nằm trong $(P)$ . Theo định lý Pythagore, $IM^2=IH^2+HM^2$ , tức $R^2=d^2+r^2$ , suy ra bán kính đường tròn giao tuyến $r=\sqrt{R^2-d^2}$ — càng gần tâm ( $d$ nhỏ) thì đường tròn giao tuyến càng lớn, đúng như hình dung trực quan về một mặt phẳng cắt gần 'xích đạo' của quả cầu.

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$, và mặt phẳng $(P)$. Tính khoảng cách $d=d(I,(P))$ bằng đúng công thức đã học ở bài đầu chương, rồi so sánh với $R$: $d>R$: mặt phẳng ở quá xa tâm so với bán kính, không chạm vào mặt cầu ở đâu cả — không cắt nhau. $d=R$: mặt phẳng chạm mặt cầu tại đúng một điểm — tiếp điểm, chính là hình chiếu vuông góc $H$ của $I$ lên $(P)$ — gọi là tiếp xúc, và $(P)$ là tiếp diện của $(S)$ tại $H$. $d<R$: mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn. Đường tròn giao tuyến ấy có tâm là hình chiếu $H$ của $I$ lên $(P)$, và bán kính của nó tính được nhờ một tam giác vuông có sẵn trong hình: lấy $M$ là một điểm bất kỳ trên đường tròn giao tuyến, tam giác $IHM$ vuông tại $H$ vì $IH\perp(P)$ (tính chất hình chiếu vuông góc) mà $HM$ lại nằm trong $(P)$. Theo định lý Pythagore, $IM^2=IH^2+HM^2$, tức $R^2=d^2+r^2$, suy ra bán kính đường tròn giao tuyến $r=\sqrt{R^2-d^2}$ — càng gần tâm ($d$ nhỏ) thì đường tròn giao tuyến càng lớn, đúng như hình dung trực quan về một mặt phẳng cắt gần 'xích đạo' của quả cầu.

Ví dụ

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng, tìm tiếp điểm

1
Xét vị trí tương đối của mặt cầu $(S)$ tâm $I(4;1;-1)$ bán kính $R=3$ , và mặt phẳng $(P)\colon x - 2y + 2z - 9 = 0$ .
Xét vị trí tương đối của mặt cầu $(S)$ tâm $I(4;1;-1)$ bán kính $R=3$, và mặt phẳng $(P)\colon x - 2y + 2z - 9 = 0$.
2
$|\vec n|=\sqrt{1+4+4}=3$ . Thay $I$ : $1\cdot4-2\cdot1+2\cdot(-1)-9=4-2-2-9=-9$ . Vậy $d(I,(P))=\frac{|-9|}{3}=3$ .
$|\vec n|=\sqrt{1+4+4}=3$. Thay $I$: $1\cdot4-2\cdot1+2\cdot(-1)-9=4-2-2-9=-9$. Vậy $d(I,(P))=\frac{|-9|}{3}=3$.
3
$d(I,(P))=3=R$ , nên $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ .
$d(I,(P))=3=R$, nên $(P)$ tiếp xúc với $(S)$.
4
Tiếp điểm chính là hình chiếu vuông góc $H$ của $I$ lên $(P)$ : $H=I-\frac{-9}{9}\vec n=(5;-1;1)$ .
Tiếp điểm chính là hình chiếu vuông góc $H$ của $I$ lên $(P)$: $H=I-\frac{-9}{9}\vec n=(5;-1;1)$.
5
Vậy $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại tiếp điểm $H(5;-1;1)$ . Có thể kiểm tra lại: đoạn $IH$ phải cùng phương với $\vec n$ (vì tiếp diện luôn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm) — ở đây $\overrightarrow{IH}=H-I=(1;-2;2)$ , đúng bằng $\vec n$ , và độ dài của nó đúng bằng $3=R$ .
Vậy $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại tiếp điểm $H(5;-1;1)$. Có thể kiểm tra lại: đoạn $IH$ phải cùng phương với $\vec n$ (vì tiếp diện luôn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm) — ở đây $\overrightarrow{IH}=H-I=(1;-2;2)$, đúng bằng $\vec n$, và độ dài của nó đúng bằng $3=R$.

Lời giải có hình

Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng tại tiếp điểm H

Bước 1

Mặt cầu tâm $I(4;1;-1)$ bán kính $3$ , và mặt phẳng $(P)\colon x-2y+2z-9=0$ đi qua $H$ , $D_2$ , $E_2$ .Mặt cầu tâm $I(4;1;-1)$ bán kính $3$, và mặt phẳng $(P)\colon x-2y+2z-9=0$ đi qua $H$, $D_2$, $E_2$.

Ví dụ

Mặt cầu cắt mặt phẳng theo một đường tròn

1
Cùng mặt phẳng $(P)\colon x - 2y + 2z - 9 = 0$ ở trên, xét mặt cầu tâm $I'(7;1;-1)$ bán kính $R=3$ .
Cùng mặt phẳng $(P)\colon x - 2y + 2z - 9 = 0$ ở trên, xét mặt cầu tâm $I'(7;1;-1)$ bán kính $R=3$.
2
Thay $I'$ : $1\cdot7-2\cdot1+2\cdot(-1)-9=7-2-2-9=-6$ . $d(I',(P))=\frac{6}{3}=2<R=3$ , nên $(P)$ cắt $(S')$ theo một đường tròn.
Thay $I'$: $1\cdot7-2\cdot1+2\cdot(-1)-9=7-2-2-9=-6$. $d(I',(P))=\frac{6}{3}=2<R=3$, nên $(P)$ cắt $(S')$ theo một đường tròn.
3
$r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}=2{,}24$ .
$r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}=2{,}24$.
4
Vậy $(P)$ cắt $(S')$ theo một đường tròn bán kính $\sqrt{5}\approx2{,}24$ .
Vậy $(P)$ cắt $(S')$ theo một đường tròn bán kính $\sqrt{5}\approx2{,}24$.

Ví dụ

Mặt cầu không cắt mặt phẳng

1
Vẫn với $(P)\colon x-2y+2z-9=0$ , xét mặt cầu tâm $I''(1;1;-1)$ bán kính $R=3$ .
Vẫn với $(P)\colon x-2y+2z-9=0$, xét mặt cầu tâm $I''(1;1;-1)$ bán kính $R=3$.
2
Thay $I''$ : $1-2-2-9=-12$ , nên $d(I'',(P))=\frac{12}{3}=4$ . So với $R=3$ : $d>R$ .
Thay $I''$: $1-2-2-9=-12$, nên $d(I'',(P))=\frac{12}{3}=4$. So với $R=3$: $d>R$.
3
Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng lớn hơn bán kính, nên $(P)$ và mặt cầu này không có điểm chung nào — không cắt nhau. Ba mặt cầu $I$ , $I'$ , $I''$ cùng một mặt phẳng $(P)$ nhưng ba vị trí tương đối khác nhau minh hoạ trọn vẹn cả ba trường hợp của công thức.
Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng lớn hơn bán kính, nên $(P)$ và mặt cầu này không có điểm chung nào — không cắt nhau. Ba mặt cầu $I$, $I'$, $I''$ cùng một mặt phẳng $(P)$ nhưng ba vị trí tương đối khác nhau minh hoạ trọn vẹn cả ba trường hợp của công thức.

So sánh d và R của ba mặt cầu với cùng một mặt phẳng (P).

Quy trình xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Cùng một mặt phẳng có thể ở ba vị trí khác nhau tuỳ mặt cầu đang xét — vị trí tương đối là quan hệ giữa MỘT cặp mặt cầu và mặt phẳng cụ thể, không phải một tính chất cố định của riêng mặt phẳng. Ba ví dụ trên dùng chung một $(P)$ nhưng ba tâm khác nhau chính là để làm rõ điều này: đổi tâm (dù giữ nguyên bán kính và mặt phẳng) là đủ để đổi cả kết luận.

Tóm lại, vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng không cần công thức mới — chỉ cần tính lại khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng như bài đầu chương, rồi so với bán kính. Ba khả năng $d>R$, $d=R$, $d<R$ tương ứng đúng ba hình ảnh: không chạm, chạm một điểm, cắt theo một đường tròn — dễ nhớ vì khớp với trực giác hình học thông thường. Cùng một mặt phẳng có thể ở ba vị trí khác nhau tuỳ mặt cầu đang xét — vị trí tương đối là quan hệ giữa MỘT cặp mặt cầu và mặt phẳng cụ thể, không phải một tính chất cố định của riêng mặt phẳng. Ba ví dụ trên dùng chung một $(P)$ nhưng ba tâm khác nhau chính là để làm rõ điều này: đổi tâm (dù giữ nguyên bán kính và mặt phẳng) là đủ để đổi cả kết luận.

Bài cuối chương ghép cả ba đối tượng — mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu — vào một bài toán tổng hợp: viết tiếp diện của mặt cầu tại một điểm cho trước, rồi dùng chính đường bán kính vuông góc ấy để viết một đường thẳng, kiểm tra lại toàn bộ bằng hai cách tính độc lập.