Bài học

Ôn tập: mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu

Mục tiêu ôn tập

Chương này không giới thiệu nội dung mới — nó ghép lại ba nhóm công cụ đã học trong cùng một chương thành một vài bài toán tổng hợp mới, để em tự kiểm tra xem còn công thức nào chưa vững.

Ba nhóm công cụ ấy là: (1) mặt phẳng — viết phương trình từ điểm và vectơ pháp tuyến, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, tính góc giữa hai mặt phẳng; (2) đường thẳng — viết phương trình tham số và chính tắc từ điểm và vectơ chỉ phương, xét vị trí tương đối với một đường thẳng khác hoặc với một mặt phẳng; (3) mặt cầu — viết phương trình từ tâm và bán kính (hoặc đọc ngược từ dạng khai triển), xét vị trí tương đối với một mặt phẳng bằng cách so sánh khoảng cách và bán kính.

Nhắc lại ba công thức cốt lõi trước khi vào bài tập. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(P)$ : lấy trị tuyệt đối của biểu thức mặt phẳng tại $M_0$ , chia cho độ dài vectơ pháp tuyến — công thức duy nhất dùng lại xuyên suốt cả ba bài sau nó, vì vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng chỉ là phép so sánh khoảng cách này với bán kính. Vị trí tương đối của hai đường thẳng luôn rẽ theo đúng hai nhánh: cùng phương hay không, rồi kiểm tra thêm một điểm hoặc một tích hỗn tạp. Và tiếp diện của mặt cầu tại một điểm A luôn dùng chính bán kính $\overrightarrow{IA}$ làm vectơ pháp tuyến — một vectơ, dùng lại cho cả mặt phẳng lẫn đường thẳng đi qua đó.

Chương này không giới thiệu nội dung mới — nó ghép lại ba nhóm công cụ đã học trong cùng một chương thành một vài bài toán tổng hợp mới, để em tự kiểm tra xem còn công thức nào chưa vững. Ba nhóm công cụ ấy là: (1) mặt phẳng — viết phương trình từ điểm và vectơ pháp tuyến, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, tính góc giữa hai mặt phẳng; (2) đường thẳng — viết phương trình tham số và chính tắc từ điểm và vectơ chỉ phương, xét vị trí tương đối với một đường thẳng khác hoặc với một mặt phẳng; (3) mặt cầu — viết phương trình từ tâm và bán kính (hoặc đọc ngược từ dạng khai triển), xét vị trí tương đối với một mặt phẳng bằng cách so sánh khoảng cách và bán kính. Nhắc lại ba công thức cốt lõi trước khi vào bài tập. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(P)$: lấy trị tuyệt đối của biểu thức mặt phẳng tại $M_0$, chia cho độ dài vectơ pháp tuyến — công thức duy nhất dùng lại xuyên suốt cả ba bài sau nó, vì vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng chỉ là phép so sánh khoảng cách này với bán kính. Vị trí tương đối của hai đường thẳng luôn rẽ theo đúng hai nhánh: cùng phương hay không, rồi kiểm tra thêm một điểm hoặc một tích hỗn tạp. Và tiếp diện của mặt cầu tại một điểm A luôn dùng chính bán kính $\overrightarrow{IA}$ làm vectơ pháp tuyến — một vectơ, dùng lại cho cả mặt phẳng lẫn đường thẳng đi qua đó.

Ví dụ

Ôn tập: phân biệt song song và trùng nhau

1
Xét vị trí tương đối của $d_1$ qua $M_1(2;0;1)$ vectơ chỉ phương $\vec u_1=(1;-1;2)$ , và $d_2$ qua $M_2(4;-2;5)$ vectơ chỉ phương $\vec u_2=(2;-2;4)$ — đúng kỹ thuật của Chương 3, chỉ đổi số liệu.
Xét vị trí tương đối của $d_1$ qua $M_1(2;0;1)$ vectơ chỉ phương $\vec u_1=(1;-1;2)$, và $d_2$ qua $M_2(4;-2;5)$ vectơ chỉ phương $\vec u_2=(2;-2;4)$ — đúng kỹ thuật của Chương 3, chỉ đổi số liệu.
2
$\vec u_2=2\vec u_1$ , nên hai đường thẳng cùng phương — còn phải kiểm tra thêm $M_1$ có thuộc $d_2$ hay không.
$\vec u_2=2\vec u_1$, nên hai đường thẳng cùng phương — còn phải kiểm tra thêm $M_1$ có thuộc $d_2$ hay không.
3
Thay $M_1(2;0;1)$ vào phương trình tham số của $d_2$ : cần $4+2s=2$ , $-2-2s=0$ , $5+4s=1$ cùng một $s$ . Từ phương trình đầu $s=-1$ ; thay vào hai phương trình còn lại: $-2-2(-1)=0$ đúng, $5+4(-1)=1$ đúng — cả ba đều thoả với cùng $s=-1$ .
Thay $M_1(2;0;1)$ vào phương trình tham số của $d_2$: cần $4+2s=2$, $-2-2s=0$, $5+4s=1$ cùng một $s$. Từ phương trình đầu $s=-1$; thay vào hai phương trình còn lại: $-2-2(-1)=0$ đúng, $5+4(-1)=1$ đúng — cả ba đều thoả với cùng $s=-1$.
4
$M_1$ thuộc $d_2$ , nên hai đường thẳng không chỉ song song mà trùng nhau — chúng là cùng một đường thẳng, chỉ viết bằng hai điểm gốc và hai vectơ chỉ phương khác nhau. Đây đúng là trường hợp còn thiếu trong ví dụ song song ở Chương 3, giờ được bổ sung đầy đủ: cùng một phép kiểm tra hai bước, nhưng đổi kết quả ở bước thứ hai là đủ đổi hẳn kết luận cuối cùng, từ song song sang trùng nhau.
$M_1$ thuộc $d_2$, nên hai đường thẳng không chỉ song song mà trùng nhau — chúng là cùng một đường thẳng, chỉ viết bằng hai điểm gốc và hai vectơ chỉ phương khác nhau. Đây đúng là trường hợp còn thiếu trong ví dụ song song ở Chương 3, giờ được bổ sung đầy đủ: cùng một phép kiểm tra hai bước, nhưng đổi kết quả ở bước thứ hai là đủ đổi hẳn kết luận cuối cùng, từ song song sang trùng nhau.

Ví dụ

Ôn tập: một mặt phẳng và một đường thẳng mới

1
Nhắc lại mặt phẳng $(P_1)\colon 2x-y+2z-4=0$ đã dùng ở Chương 1 (đi qua ba điểm $A(0;0;2)$ , $B(2;0;0)$ , $C(0;-4;0)$ ). Xét đường thẳng $d$ đi qua gốc toạ độ $O$ với vectơ chỉ phương $\vec u=(1;1;1)$ . Tìm giao điểm của $d$ và $(P_1)$ .
Nhắc lại mặt phẳng $(P_1)\colon 2x-y+2z-4=0$ đã dùng ở Chương 1 (đi qua ba điểm $A(0;0;2)$, $B(2;0;0)$, $C(0;-4;0)$). Xét đường thẳng $d$ đi qua gốc toạ độ $O$ với vectơ chỉ phương $\vec u=(1;1;1)$. Tìm giao điểm của $d$ và $(P_1)$.
2
$\vec n_1\cdot\vec u=2-1+2=3\neq0$ , nên $d$ cắt $(P_1)$ tại một điểm — đúng kỹ thuật đã học ở Chương 3.
$\vec n_1\cdot\vec u=2-1+2=3\neq0$, nên $d$ cắt $(P_1)$ tại một điểm — đúng kỹ thuật đã học ở Chương 3.
3
$d\colon(t;t;t)$ . Thay vào $(P_1)$ : $2t-t+2t-4=0$ , tức $3t=4$ , suy ra $t=\frac{4}{3}$ . Giao điểm: $(\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3})$ .
$d\colon(t;t;t)$. Thay vào $(P_1)$: $2t-t+2t-4=0$, tức $3t=4$, suy ra $t=\frac{4}{3}$. Giao điểm: $(\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3})$.
4
Vậy $d$ cắt $(P_1)$ tại $(\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3})$ — toạ độ không phải số nguyên, một nhắc nhở rằng đề thi thật không phải lúc nào cũng cho ra đáp số đẹp; quy trình đúng quan trọng hơn việc đoán trước một đáp số tròn.
Vậy $d$ cắt $(P_1)$ tại $(\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3})$ — toạ độ không phải số nguyên, một nhắc nhở rằng đề thi thật không phải lúc nào cũng cho ra đáp số đẹp; quy trình đúng quan trọng hơn việc đoán trước một đáp số tròn.

Lời giải có hình

Ôn tập: đường thẳng cắt mặt phẳng (P1)

Bước 1

Mặt phẳng $(P_1)$ đi qua A, B, C — đúng mặt phẳng đã dùng ở Chương 1 — và đường thẳng $d$ đi qua gốc O với vectơ chỉ phương (1;1;1).Mặt phẳng $(P_1)$ đi qua A, B, C — đúng mặt phẳng đã dùng ở Chương 1 — và đường thẳng $d$ đi qua gốc O với vectơ chỉ phương (1;1;1).

Ví dụ

Ôn tập: mặt cầu đơn giản và tiếp diện của nó

1
Mặt cầu $(S_0)$ tâm $(0;0;0)$ bán kính $R=1$ có phương trình $x^2+y^2+z^2=1$ . Điểm $(1;0;0)$ thuộc $(S_0)$ . Viết tiếp diện tại điểm này.
Mặt cầu $(S_0)$ tâm $(0;0;0)$ bán kính $R=1$ có phương trình $x^2+y^2+z^2=1$. Điểm $(1;0;0)$ thuộc $(S_0)$. Viết tiếp diện tại điểm này.
2
Vectơ pháp tuyến $\vec n=\overrightarrow{OA}=A-O=(1;0;0)$ — chính điểm A, vì tâm là gốc toạ độ.
Vectơ pháp tuyến $\vec n=\overrightarrow{OA}=A-O=(1;0;0)$ — chính điểm A, vì tâm là gốc toạ độ.
3
Tiếp diện: $1(x-1)+0(y-0)+0(z-0)=0$ , tức $x-1=0$ — một mặt phẳng thẳng đứng đơn giản, dễ kiểm tra bằng mắt: khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng $x=1$ rõ ràng bằng $1$ , đúng bằng bán kính. Ví dụ này cố ý chọn số thật đơn giản — tâm tại gốc, bán kính bằng $1$ — để em kiểm tra được toàn bộ kết quả chỉ bằng nhẩm, không cần máy tính; cùng một quy trình ấy áp dụng y hệt khi tâm và bán kính là những số lẻ hơn như ở Chương 5.
Tiếp diện: $1(x-1)+0(y-0)+0(z-0)=0$, tức $x-1=0$ — một mặt phẳng thẳng đứng đơn giản, dễ kiểm tra bằng mắt: khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng $x=1$ rõ ràng bằng $1$, đúng bằng bán kính. Ví dụ này cố ý chọn số thật đơn giản — tâm tại gốc, bán kính bằng $1$ — để em kiểm tra được toàn bộ kết quả chỉ bằng nhẩm, không cần máy tính; cùng một quy trình ấy áp dụng y hệt khi tâm và bán kính là những số lẻ hơn như ở Chương 5.

Sơ đồ chọn công cụ — tổng kết chương.

Luyện tập tổng hợp

Một cách tự kiểm tra trước khi làm bài thi: với mỗi đối tượng đề cho, tự hỏi "đối tượng này cần đúng những dữ kiện gì để xác định" — mặt phẳng cần một điểm và một vectơ pháp tuyến (hoặc ba điểm không thẳng hàng), đường thẳng cần một điểm và một vectơ chỉ phương (hoặc hai điểm), mặt cầu cần một tâm và một bán kính (hoặc bốn điểm không đồng phẳng, dù trường hợp này ngoài phạm vi bài học). Xác định đúng dữ kiện nào đã có, dữ kiện nào còn thiếu và phải suy ra, là bước tư duy quan trọng hơn cả việc bấm đúng công thức — vì công thức chỉ chạy được khi đã có đủ dữ kiện đưa vào.

Xuyên suốt cả chương, chỉ có ba loại đối tượng (mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu) và hai phép toán vectơ nền tảng (tích vô hướng, tích có hướng, và tích hỗn tạp suy ra từ chúng) làm cơ sở cho mọi công thức. Nắm chắc ba loại đối tượng ấy — chúng được cho bởi dữ kiện gì, và câu hỏi "vị trí tương đối" hay "khoảng cách" giữa chúng luôn quy về so sánh cái gì — quan trọng hơn nhiều so với việc nhớ máy móc từng công thức riêng lẻ. Một cách tự kiểm tra trước khi làm bài thi: với mỗi đối tượng đề cho, tự hỏi "đối tượng này cần đúng những dữ kiện gì để xác định" — mặt phẳng cần một điểm và một vectơ pháp tuyến (hoặc ba điểm không thẳng hàng), đường thẳng cần một điểm và một vectơ chỉ phương (hoặc hai điểm), mặt cầu cần một tâm và một bán kính (hoặc bốn điểm không đồng phẳng, dù trường hợp này ngoài phạm vi bài học). Xác định đúng dữ kiện nào đã có, dữ kiện nào còn thiếu và phải suy ra, là bước tư duy quan trọng hơn cả việc bấm đúng công thức — vì công thức chỉ chạy được khi đã có đủ dữ kiện đưa vào.

Trước khi rời chương này, đáng để nhìn lại toàn cảnh: khoá học bắt đầu từ vectơ và toạ độ trong không gian, dùng chúng dựng phương trình mặt phẳng ở cuối khoá trước, rồi chương này mở rộng sang đường thẳng và mặt cầu, kết lại bằng những bài toán phối hợp cả ba. Mọi phép tính trong suốt hành trình ấy đều quy về đúng vài thao tác vectơ cơ bản — cộng trừ toạ độ, tích vô hướng, tích có hướng — lặp lại trong những vai trò khác nhau. Nắm chắc những thao tác nền tảng ấy còn quan trọng hơn nhớ tên từng công thức.

Khoá học tiếp theo rời khỏi hình học không gian, chuyển sang thống kê: đo độ phân tán của một mẫu số liệu ghép nhóm — một nhánh khác hẳn của chương trình Toán 12, nhưng vẫn đòi hỏi cùng một thái độ làm việc: tính đúng công thức, kiểm tra lại kết quả, và hiểu ý nghĩa của con số vừa tìm được thay vì chỉ ghi nhớ các bước. Trước khi rời chương này, đáng để nhìn lại toàn cảnh: khoá học bắt đầu từ vectơ và toạ độ trong không gian, dùng chúng dựng phương trình mặt phẳng ở cuối khoá trước, rồi chương này mở rộng sang đường thẳng và mặt cầu, kết lại bằng những bài toán phối hợp cả ba. Mọi phép tính trong suốt hành trình ấy đều quy về đúng vài thao tác vectơ cơ bản — cộng trừ toạ độ, tích vô hướng, tích có hướng — lặp lại trong những vai trò khác nhau. Nắm chắc những thao tác nền tảng ấy còn quan trọng hơn nhớ tên từng công thức.