Bài học

Đồng phẳng và thể tích khối tứ diện, khối hộp

Mục tiêu và kiến thức nền

Học xong bài này, em kiểm tra được ba vectơ có đồng phẳng hay không bằng tích hỗn tạp, và tính được thể tích khối tứ diện cũng như khối hộp dựng trên ba vectơ trong không gian.

Bài này khai thác sâu hơn tích có hướng vừa học: thay vì chỉ dùng một tích có hướng để tính diện tích, ta kết hợp một tích vô hướng với một tích có hướng — gọi là tích hỗn tạp — để đưa thêm chiều thứ ba (chiều cao) vào phép tính, từ diện tích (hai chiều) lên thể tích (ba chiều).

Học xong bài này, em kiểm tra được ba vectơ có đồng phẳng hay không bằng tích hỗn tạp, và tính được thể tích khối tứ diện cũng như khối hộp dựng trên ba vectơ trong không gian. Bài này khai thác sâu hơn tích có hướng vừa học: thay vì chỉ dùng một tích có hướng để tính diện tích, ta kết hợp một tích vô hướng với một tích có hướng — gọi là tích hỗn tạp — để đưa thêm chiều thứ ba (chiều cao) vào phép tính, từ diện tích (hai chiều) lên thể tích (ba chiều).

Khởi động

Trước khi đổ bê tông móng cho một cột trụ, kỹ sư cần biết bốn điểm neo đo đạc được ngoài công trường có thực sự tạo thành một khối đặc (không bị "dẹt" do sai số đo đạc khiến bốn điểm gần như nằm trên một mặt phẳng) hay không, và nếu có, khối đó tích bao nhiêu mét khối bê tông. Cả hai câu hỏi trả lời được chỉ từ toạ độ bốn điểm, không cần dựng mô hình vật lý nào.

Tích hỗn tạp, điều kiện đồng phẳng và thể tích

Với ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ , tích hỗn tạp (còn gọi là tích hỗn hợp) của chúng là số thực $[\vec a,\vec b,\vec c]=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c),$ tức là lấy tích có hướng của hai vectơ sau, rồi lấy tích vô hướng kết quả đó với vectơ đầu. Đây là số thực (không phải vectơ), vì bước cuối là một tích vô hướng.

Ý nghĩa hình học: $|[\vec a,\vec b,\vec c]|$ đúng bằng thể tích khối hộp (hình bình hành sáu mặt) dựng trên ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ xuất phát từ cùng một đỉnh. Khối tứ diện dựng trên cùng ba vectơ đó chỉ chiếm một phần sáu khối hộp, nên với tứ diện $ABCD$ : $V_{ABCD}=\frac16\big|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\big|.$ Khi ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ nằm trên cùng một mặt phẳng (đồng phẳng), khối hộp dựng trên chúng bị "ép dẹt" thành một hình phẳng, thể tích bằng 0. Vì vậy: $\vec a,\vec b,\vec c\ \text{đồng phẳng} \iff [\vec a,\vec b,\vec c]=0.$ Áp dụng cho bốn điểm $A,B,C,D$ : bốn điểm đó đồng phẳng khi và chỉ khi $\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})=0$ — và khi đó chúng không tạo thành một khối tứ diện thật sự (thể tích bằng 0).

Với ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$, tích hỗn tạp (còn gọi là tích hỗn hợp) của chúng là số thực $$[\vec a,\vec b,\vec c]=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c),$$ tức là lấy tích có hướng của hai vectơ sau, rồi lấy tích vô hướng kết quả đó với vectơ đầu. Đây là số thực (không phải vectơ), vì bước cuối là một tích vô hướng. Ý nghĩa hình học: $|[\vec a,\vec b,\vec c]|$ đúng bằng thể tích khối hộp (hình bình hành sáu mặt) dựng trên ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ xuất phát từ cùng một đỉnh. Khối tứ diện dựng trên cùng ba vectơ đó chỉ chiếm một phần sáu khối hộp, nên với tứ diện $ABCD$: $$V_{ABCD}=\frac16\big|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\big|.$$ Khi ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ nằm trên cùng một mặt phẳng (đồng phẳng), khối hộp dựng trên chúng bị "ép dẹt" thành một hình phẳng, thể tích bằng 0. Vì vậy: $$\vec a,\vec b,\vec c\ \text{đồng phẳng} \iff [\vec a,\vec b,\vec c]=0.$$ Áp dụng cho bốn điểm $A,B,C,D$: bốn điểm đó đồng phẳng khi và chỉ khi $\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})=0$ — và khi đó chúng không tạo thành một khối tứ diện thật sự (thể tích bằng 0).

Hệ số $\dfrac16$ không phải một con số ghi nhớ máy móc — nó đến từ chính cách khối hộp được chia nhỏ. Một khối hộp dựng trên ba vectơ $\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}$ chia được thành sáu khối tứ diện bằng nhau về thể tích (mỗi khối ứng với một cách sắp xếp thứ tự ba đỉnh quanh đường chéo chính của khối hộp), nên mỗi khối tứ diện chiếm đúng một phần sáu thể tích khối hộp. Nhớ theo cách này, em không cần học thuộc lòng "chia 6" mà hiểu được vì sao khối tứ diện luôn nhỏ hơn khối hộp đúng 6 lần, dù ba vectơ dựng nên chúng là gì.

Lời giải có hình

Khối tứ diện ABCD và thể tích qua tích hỗn tạp

Bước 1

Bốn góc móng bê tông đo được tại $A(1;1;1)$ , $B(2;3;1)$ , $C(1;2;3)$ , $D(3;1;2)$ (đơn vị mét) tạo thành một khối tứ diện.Bốn góc móng bê tông đo được tại $A(1;1;1)$, $B(2;3;1)$, $C(1;2;3)$, $D(3;1;2)$ (đơn vị mét) tạo thành một khối tứ diện.

Quy trình dùng tích hỗn tạp để xét đồng phẳng hoặc tính thể tích.

Ví dụ

Thể tích một khối tứ diện vuông góc chuẩn

1
Cho khối tứ diện $OABC$ với $O(0;0;0)$ , $A(2;0;0)$ , $B(0;3;0)$ , $C(0;0;4)$ . Tính thể tích khối tứ diện.
Cho khối tứ diện $OABC$ với $O(0;0;0)$, $A(2;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;4)$. Tính thể tích khối tứ diện.
2
$\vec{OA}=(2;0;0)$ , $\vec{OB}=(0;3;0)$ , $\vec{OC}=(0;0;4)$ .
$\vec{OA}=(2;0;0)$, $\vec{OB}=(0;3;0)$, $\vec{OC}=(0;0;4)$.
3
$\vec{OB}\times\vec{OC}=(3\cdot4-0\cdot0;\ 0\cdot0-0\cdot4;\ 0\cdot0-3\cdot0)=(12;0;0)$ , nên $\vec{OA}\cdot(\vec{OB}\times\vec{OC})=2\cdot12+0+0=24$ .
$\vec{OB}\times\vec{OC}=(3\cdot4-0\cdot0;\ 0\cdot0-0\cdot4;\ 0\cdot0-3\cdot0)=(12;0;0)$, nên $\vec{OA}\cdot(\vec{OB}\times\vec{OC})=2\cdot12+0+0=24$.
4
$V=\dfrac16|24|=4$ .
$V=\dfrac16|24|=4$.
5
Vì $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc (đây là tứ diện vuông tại O), có thể tính bằng công thức sơ cấp $V=\dfrac16\cdot OA\cdot OB\cdot OC=\dfrac16\cdot2\cdot3\cdot4=4$ — khớp với kết quả trên, dùng một công thức hoàn toàn khác để đối chiếu.
Vì $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc (đây là tứ diện vuông tại O), có thể tính bằng công thức sơ cấp $V=\dfrac16\cdot OA\cdot OB\cdot OC=\dfrac16\cdot2\cdot3\cdot4=4$ — khớp với kết quả trên, dùng một công thức hoàn toàn khác để đối chiếu.
6
Vậy thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng $4$ (đơn vị thể tích).
Vậy thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng $4$ (đơn vị thể tích).

Ví dụ

Kiểm tra bốn điểm có đồng phẳng hay không

1
Với tam giác $ABC$ ở bài trước ( $A(1;2;0)$ , $B(3;0;1)$ , $C(2;3;4)$ ), xét điểm $D=A+\vec{AB}+\vec{AC}$ . Bốn điểm $A,B,C,D$ có đồng phẳng không?
Với tam giác $ABC$ ở bài trước ($A(1;2;0)$, $B(3;0;1)$, $C(2;3;4)$), xét điểm $D=A+\vec{AB}+\vec{AC}$. Bốn điểm $A,B,C,D$ có đồng phẳng không?
2
$\vec{AB}=(2;-2;1)$ , $\vec{AC}=(1;1;4)$ , nên $D=(1;2;0)+(2;-2;1)+(1;1;4)=(4;1;5)$ , và $\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{AC}=(3;-1;5)$ .
$\vec{AB}=(2;-2;1)$, $\vec{AC}=(1;1;4)$, nên $D=(1;2;0)+(2;-2;1)+(1;1;4)=(4;1;5)$, và $\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{AC}=(3;-1;5)$.
3
$\vec{AC}\times\vec{AD}=(1\cdot5-4\cdot(-1);\ 4\cdot3-1\cdot5;\ 1\cdot(-1)-1\cdot3)=(9;7;-4)$ , nên $\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})=2\cdot9+(-2)\cdot7+1\cdot(-4)=18-14-4=0$ .
$\vec{AC}\times\vec{AD}=(1\cdot5-4\cdot(-1);\ 4\cdot3-1\cdot5;\ 1\cdot(-1)-1\cdot3)=(9;7;-4)$, nên $\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})=2\cdot9+(-2)\cdot7+1\cdot(-4)=18-14-4=0$.
4
Vì tích hỗn tạp bằng 0 nên $A,B,C,D$ đồng phẳng — điều này hợp lý vì D được dựng đúng bằng $A+\vec{AB}+\vec{AC}$ , tức là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC nằm trong chính mặt phẳng chứa tam giác ABC.
Vì tích hỗn tạp bằng 0 nên $A,B,C,D$ đồng phẳng — điều này hợp lý vì D được dựng đúng bằng $A+\vec{AB}+\vec{AC}$, tức là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC nằm trong chính mặt phẳng chứa tam giác ABC.

Một ví dụ tổng hợp: móng cột bê tông

Ví dụ

Thể tích khối móng bê tông từ bốn điểm neo

1
Bốn điểm neo của một khối móng bê tông đo được tại $A(1;1;1)$ , $B(2;3;1)$ , $C(1;2;3)$ , $D(3;1;2)$ (đơn vị mét). Kiểm tra bốn điểm không đồng phẳng rồi tính thể tích khối tứ diện $ABCD$ .
Bốn điểm neo của một khối móng bê tông đo được tại $A(1;1;1)$, $B(2;3;1)$, $C(1;2;3)$, $D(3;1;2)$ (đơn vị mét). Kiểm tra bốn điểm không đồng phẳng rồi tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.
2
$\vec{AB}=(1;2;0)$ , $\vec{AC}=(0;1;2)$ , $\vec{AD}=(2;0;1)$ .
$\vec{AB}=(1;2;0)$, $\vec{AC}=(0;1;2)$, $\vec{AD}=(2;0;1)$.
3
$\vec{AC}\times\vec{AD}=(1\cdot1-2\cdot0;\ 2\cdot2-0\cdot1;\ 0\cdot0-1\cdot2)=(1;4;-2)$ , nên $\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})=1\cdot1+2\cdot4+0\cdot(-2)=9\neq0$ — bốn điểm không đồng phẳng, khối tứ diện có thật.
$\vec{AC}\times\vec{AD}=(1\cdot1-2\cdot0;\ 2\cdot2-0\cdot1;\ 0\cdot0-1\cdot2)=(1;4;-2)$, nên $\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})=1\cdot1+2\cdot4+0\cdot(-2)=9\neq0$ — bốn điểm không đồng phẳng, khối tứ diện có thật.
4
$V=\dfrac16|9|=1{,}5$ .
$V=\dfrac16|9|=1{,}5$.
5
Tính lại bằng ba vectơ xuất phát từ B: $\vec{BA}=(-1;-2;0)$ , $\vec{BC}=(-1;-1;2)$ , $\vec{BD}=(1;-2;1)$ . $\vec{BC}\times\vec{BD}=((-1)\cdot1-2\cdot(-2);\ 2\cdot1-(-1)\cdot1;\ (-1)\cdot(-2)-(-1)\cdot1)=(3;3;3)$ , nên $\vec{BA}\cdot(\vec{BC}\times\vec{BD})=(-1)\cdot3+(-2)\cdot3+0\cdot3=-9$ , và $V=\dfrac16|-9|=1{,}5$ — trùng khớp với kết quả tính từ đỉnh A, dùng một bộ ba vectơ hoàn toàn khác.
Tính lại bằng ba vectơ xuất phát từ B: $\vec{BA}=(-1;-2;0)$, $\vec{BC}=(-1;-1;2)$, $\vec{BD}=(1;-2;1)$. $\vec{BC}\times\vec{BD}=((-1)\cdot1-2\cdot(-2);\ 2\cdot1-(-1)\cdot1;\ (-1)\cdot(-2)-(-1)\cdot1)=(3;3;3)$, nên $\vec{BA}\cdot(\vec{BC}\times\vec{BD})=(-1)\cdot3+(-2)\cdot3+0\cdot3=-9$, và $V=\dfrac16|-9|=1{,}5$ — trùng khớp với kết quả tính từ đỉnh A, dùng một bộ ba vectơ hoàn toàn khác.
6
Vậy bốn điểm neo không đồng phẳng và khối móng bê tông có thể tích $1{,}5\ \text{m}^3$ .
Vậy bốn điểm neo không đồng phẳng và khối móng bê tông có thể tích $1{,}5\ \text{m}^3$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là dùng công thức thể tích tứ diện (chia 6) cho khối hộp, hoặc ngược lại — hai khối khác nhau dựng trên cùng ba vectơ có thể tích chênh nhau đúng 6 lần. Một lỗi khác là quên lấy trị tuyệt đối: tích hỗn tạp có thể âm tuỳ thứ tự ba vectơ, nhưng thể tích luôn là một số không âm.

Kiểm tra nhanh

Tóm lại, tích hỗn tạp $[\vec a,\vec b,\vec c]=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$ cho biết ba vectơ có đồng phẳng hay không (đồng phẳng khi và chỉ khi tích hỗn tạp bằng 0), và trị tuyệt đối của nó chính là thể tích khối hộp dựng trên ba vectơ — thể tích khối tứ diện chỉ bằng một phần sáu con số đó. Luôn kiểm tra lại bằng một bộ ba vectơ khác (ví dụ tính từ một đỉnh khác) khi cần chắc chắn kết quả.

Chương chuyển sang một nhóm ứng dụng toạ độ khác ở hai bài tiếp theo: tính khoảng cách, trung điểm, trọng tâm, rồi từ vectơ pháp tuyến dựng phương trình mặt phẳng — nền tảng cho khoá học kế tiếp về đường thẳng và mặt cầu trong Oxyz.