Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Từ vectơ pháp tuyến đến phương trình mặt phẳng
Mục tiêu và kiến thức nền
Học xong bài này, em viết được phương trình tổng quát của một mặt phẳng khi biết một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến, và tìm được vectơ pháp tuyến từ ba điểm không thẳng hàng bằng tích có hướng.
Bài này ghép hai kiến thức đã học: toạ độ điểm (bài Hệ trục toạ độ) và tích có hướng (bài Tích có hướng). Đây là bước chuyển quan trọng của cả chương — từ tính một đại lượng (độ dài, diện tích, thể tích) sang viết ra phương trình mô tả cả một mặt phẳng vô hạn điểm.
Khởi động
Ba chân cột đỡ một mái che hình tam giác được cắm xuống nền ở ba vị trí đo đạc khác nhau. Muốn kiểm tra sau này một điểm bất kỳ trên khung mái có nằm đúng mặt phẳng thiết kế hay không — hay để tính mái che nghiêng bao nhiêu so với phương ngang — người ta cần một phương trình đại số mô tả chính xác mặt phẳng đó, không thể chỉ dựa vào hình vẽ.
Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của mặt phẳng
Một mặt phẳng $(P)$ trong không gian được xác định hoàn toàn bởi một điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ thuộc nó và một vectơ $\vec n=(A;B;C)\neq\vec0$ vuông góc với mặt phẳng — gọi là vectơ pháp tuyến. Một điểm $M(x;y;z)$ bất kỳ thuộc $(P)$ khi và chỉ khi vectơ $\overrightarrow{M_0M}$ vuông góc với $\vec n$, tức $\vec n\cdot\overrightarrow{M_0M}=0$. Khai triển tích vô hướng này:
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0,$$
và rút gọn thành dạng tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$ với $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$. Đây chính là lý do vectơ $(A;B;C)$ đọc trực tiếp từ ba hệ số đầu của phương trình luôn là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Khi mặt phẳng cho bởi ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng thay vì một điểm và một pháp tuyến có sẵn, ta tạo pháp tuyến bằng chính công cụ đã học ở bài Tích có hướng: hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ đều nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, nên $\vec n=\vec{AB}\times\vec{AC}$ vuông góc với cả hai, tức vuông góc với cả mặt phẳng chứa chúng. Từ $\vec n$ và điểm $A$ (hoặc B, hoặc C — kết quả phương trình giống hệt nhau dù chọn điểm nào), viết phương trình mặt phẳng theo đúng công thức trên.
Lời giải có hình
Mặt phẳng mái che qua ba chân cột
Bước 1
Ba chân cột đỡ mái che tam giác đặt tại $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;3)$.
Quy trình viết phương trình mặt phẳng khi biết ba điểm không thẳng hàng.
Ví dụ
Viết phương trình mặt phẳng từ điểm và pháp tuyến cho sẵn
1
Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1;2;-3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n=(2;-1;4)$.
2
Áp dụng công thức $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ với $(x_0;y_0;z_0)=(1;2;-3)$ và $(A;B;C)=(2;-1;4)$: $2(x-1)-1(y-2)+4(z-(-3))=0$.
3
$2x-2-y+2+4z+12=0$, tức $2x-y+4z+12=0$.
4
Thay $M(1;2;-3)$ vào vế trái: $2\cdot1-2+4\cdot(-3)+12=2-2-12+12=0$ — thoả mãn, xác nhận phương trình đi đúng qua điểm M ban đầu.
5
Vậy $(P): 2x-y+4z+12=0$.
Trường hợp đặc biệt: mặt phẳng song song một mặt phẳng toạ độ
Một trường hợp riêng đáng nhớ vì xuất hiện rất thường xuyên trong bài toán thực tế: khi vectơ pháp tuyến chỉ có một toạ độ khác 0, mặt phẳng song song (hoặc trùng) với một mặt phẳng toạ độ. Nếu $\vec n=(0;0;C)$ với $C\neq0$, phương trình rút gọn về $Cz+D=0$, tức $z=-D/C$ — một mặt phẳng nằm ngang, song song với $(Oxy)$, ví dụ mặt sàn hay mặt trần một căn phòng. Tương tự, $\vec n=(A;0;0)$ cho mặt phẳng dạng $x=\text{hằng số}$ (song song $(Oyz)$), và $\vec n=(0;B;0)$ cho mặt phẳng dạng $y=\text{hằng số}$ (song song $(Ozx)$).
Nhận ra trường hợp này giúp em kiểm tra ngược một kết quả: nếu ba điểm đề cho đều có chung một toạ độ (ví dụ cùng $z=0$, như ba chân một tấm biển cùng đặt trên nền), pháp tuyến tính ra chỉ nên có thành phần khác 0 ở đúng trục đó — nếu tính ra một pháp tuyến có đủ ba thành phần khác 0, chắc chắn có sai sót ở bước tính tích có hướng.
Tìm pháp tuyến từ ba điểm: mặt phẳng mái che
Ví dụ
Phương trình mặt phẳng chứa mái che tam giác
1
Ba điểm $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;3)$ là ba chân cột đỡ một mái che tam giác. Viết phương trình mặt phẳng chứa mái che đó.
2
$\vec{AB}=(0-1;2-0;0-0)=(-1;2;0)$ và $\vec{AC}=(0-1;0-0;3-0)=(-1;0;3)$.
Chọn điểm $A(1;0;0)$: $6(x-1)+3(y-0)+2(z-0)=0$, tức $6x+3y+2z-6=0$.
5
Thay $B(0;2;0)$: $0+6+0-6=0$ ✓. Thay $C(0;0;3)$: $0+0+6-6=0$ ✓ — cả hai điểm không dùng để lập phương trình đều thoả mãn, xác nhận mặt phẳng tìm được thật sự chứa cả ba chân cột.
6
Vậy mặt phẳng chứa mái che có phương trình $(P): 6x+3y+2z-6=0$.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Sai lầm thường gặp nhất là quên đổi dấu toạ độ điểm khi khai triển $A(x-x_0)$: học sinh hay viết nhầm thành $Ax-Ax_0$ rồi lại cộng thêm $x_0$ thay vì trừ, làm sai hằng số $D$. Một lỗi khác là chọn nhầm thứ tự trong tích có hướng — tính $\vec{AC}\times\vec{AB}$ thay vì $\vec{AB}\times\vec{AC}$ — cho ra pháp tuyến ngược dấu; phương trình vẫn đúng (vì $-A,-B,-C,-D$ mô tả cùng một mặt phẳng) nhưng dễ gây nhầm lẫn khi so sánh với đáp án đề cho.
Kiểm tra nhanh
Tóm lại, một mặt phẳng xác định bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến $\vec n=(A;B;C)$ có phương trình tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$; khi mặt phẳng cho bởi ba điểm, pháp tuyến tìm được bằng tích có hướng của hai vectơ cạnh. Luôn kiểm tra lại bằng cách thay các điểm đã biết vào phương trình vừa viết — nếu vế trái không bằng 0, phải rà lại bước tính pháp tuyến hoặc bước khai triển.
Đây là công cụ mở đầu của toàn bộ hình học giải tích không gian. Khoá học tiếp theo — Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu — dùng lại chính vectơ pháp tuyến này, cùng với khoảng cách, tích vô hướng và tích có hướng đã học trong khoá này, để nghiên cứu vị trí tương đối giữa các mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian.
Học xong bài này, em viết được phương trình tổng quát của một mặt phẳng khi biết một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến, và tìm được vectơ pháp tuyến từ ba điểm không thẳng hàng bằng tích có hướng.
Bài này ghép hai kiến thức đã học: toạ độ điểm (bài Hệ trục toạ độ) và tích có hướng (bài Tích có hướng). Đây là bước chuyển quan trọng của cả chương — từ tính một đại lượng (độ dài, diện tích, thể tích) sang viết ra phương trình mô tả cả một mặt phẳng vô hạn điểm.
Một mặt phẳng (P) trong không gian được xác định hoàn toàn bởi một điểm M0(x0;y0;z0) thuộc nó và một vectơ n=(A;B;C)=0 vuông góc với mặt phẳng — gọi là vectơ pháp tuyến. Một điểm M(x;y;z) bất kỳ thuộc (P) khi và chỉ khi vectơ M0M vuông góc với n, tức n⋅M0M=0. Khai triển tích vô hướng này:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0,
và rút gọn thành dạng tổng quát Ax+By+Cz+D=0 với D=−(Ax0+By0+Cz0). Đây chính là lý do vectơ (A;B;C) đọc trực tiếp từ ba hệ số đầu của phương trình luôn là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Khi mặt phẳng cho bởi ba điểm A,B,C không thẳng hàng thay vì một điểm và một pháp tuyến có sẵn, ta tạo pháp tuyến bằng chính công cụ đã học ở bài Tích có hướng: hai vectơ AB và AC đều nằm trong mặt phẳng (ABC), nên n=AB×AC vuông góc với cả hai, tức vuông góc với cả mặt phẳng chứa chúng. Từ n và điểm A (hoặc B, hoặc C — kết quả phương trình giống hệt nhau dù chọn điểm nào), viết phương trình mặt phẳng theo đúng công thức trên.
Ba chân cột đỡ mái che tam giác đặt tại A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;−3) và có vectơ pháp tuyến n=(2;−1;4).
Áp dụng công thức A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 với (x0;y0;z0)=(1;2;−3) và (A;B;C)=(2;−1;4): 2(x−1)−1(y−2)+4(z−(−3))=0.
2x−2−y+2+4z+12=0, tức 2x−y+4z+12=0.
Thay M(1;2;−3) vào vế trái: 2⋅1−2+4⋅(−3)+12=2−2−12+12=0 — thoả mãn, xác nhận phương trình đi đúng qua điểm M ban đầu.
Vậy (P):2x−y+4z+12=0.
Một trường hợp riêng đáng nhớ vì xuất hiện rất thường xuyên trong bài toán thực tế: khi vectơ pháp tuyến chỉ có một toạ độ khác 0, mặt phẳng song song (hoặc trùng) với một mặt phẳng toạ độ. Nếu n=(0;0;C) với C=0, phương trình rút gọn về Cz+D=0, tức z=−D/C — một mặt phẳng nằm ngang, song song với (Oxy), ví dụ mặt sàn hay mặt trần một căn phòng. Tương tự, n=(A;0;0) cho mặt phẳng dạng x=ha˘ˋng soˆˊ (song song (Oyz)), và n=(0;B;0) cho mặt phẳng dạng y=ha˘ˋng soˆˊ (song song (Ozx)).
Nhận ra trường hợp này giúp em kiểm tra ngược một kết quả: nếu ba điểm đề cho đều có chung một toạ độ (ví dụ cùng z=0, như ba chân một tấm biển cùng đặt trên nền), pháp tuyến tính ra chỉ nên có thành phần khác 0 ở đúng trục đó — nếu tính ra một pháp tuyến có đủ ba thành phần khác 0, chắc chắn có sai sót ở bước tính tích có hướng.
Ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) là ba chân cột đỡ một mái che tam giác. Viết phương trình mặt phẳng chứa mái che đó.
AB=(0−1;2−0;0−0)=(−1;2;0) và AC=(0−1;0−0;3−0)=(−1;0;3).
Chọn điểm A(1;0;0): 6(x−1)+3(y−0)+2(z−0)=0, tức 6x+3y+2z−6=0.
Thay B(0;2;0): 0+6+0−6=0 ✓. Thay C(0;0;3): 0+0+6−6=0 ✓ — cả hai điểm không dùng để lập phương trình đều thoả mãn, xác nhận mặt phẳng tìm được thật sự chứa cả ba chân cột.
Vậy mặt phẳng chứa mái che có phương trình (P):6x+3y+2z−6=0.
Sai lầm thường gặp nhất là quên đổi dấu toạ độ điểm khi khai triển A(x−x0): học sinh hay viết nhầm thành Ax−Ax0 rồi lại cộng thêm x0 thay vì trừ, làm sai hằng số D. Một lỗi khác là chọn nhầm thứ tự trong tích có hướng — tính AC×AB thay vì AB×AC — cho ra pháp tuyến ngược dấu; phương trình vẫn đúng (vì −A,−B,−C,−D mô tả cùng một mặt phẳng) nhưng dễ gây nhầm lẫn khi so sánh với đáp án đề cho.
Tóm lại, một mặt phẳng xác định bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến n=(A;B;C) có phương trình tổng quát Ax+By+Cz+D=0; khi mặt phẳng cho bởi ba điểm, pháp tuyến tìm được bằng tích có hướng của hai vectơ cạnh. Luôn kiểm tra lại bằng cách thay các điểm đã biết vào phương trình vừa viết — nếu vế trái không bằng 0, phải rà lại bước tính pháp tuyến hoặc bước khai triển.