Hệ trục toạ độ Oxyz: toạ độ điểm và vectơ

Học xong bài này, em xác định được toạ độ của một điểm và một vectơ trong hệ trục Oxyz, tính được toạ độ vectơ nối hai điểm, và tính độ dài của một vectơ cho bằng toạ độ. Bài trước đã cho vectơ trực tiếp bằng toạ độ $(a_1;a_2;a_3)$ mà chưa nói toạ độ đó đến từ đâu. Bài này gắn hẳn vectơ và điểm vào một hệ trục cụ thể — hệ trục Oxyz — để mọi vị trí trong không gian đều có một bộ ba số xác định, giống như một hệ toạ độ GPS nhưng thêm chiều cao.

Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc, cùng gốc O. Trên mỗi trục, ta chọn một vectơ đơn vị: $\vec i=(1;0;0)$ trên Ox, $\vec j=(0;1;0)$ trên Oy, $\vec k=(0;0;1)$ trên Oz. Với một điểm $M$ bất kỳ, vectơ $\overrightarrow{OM}$ luôn viết duy nhất dưới dạng $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$, và bộ ba số $(x;y;z)$ chính là toạ độ của điểm $M$. Nói cách khác, toạ độ điểm và toạ độ vectơ $\overrightarrow{OM}$ là một — chỉ khác nhau ở tên gọi. Với hai điểm bất kỳ $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$, vectơ nối chúng có toạ độ bằng hiệu toạ độ điểm cuối trừ điểm đầu: $$\vec{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A).$$ Công thức này đúng vì $\vec{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ — chỉ là phép trừ hai vectơ đã học ở bài trước, áp dụng cho hai vectơ vị trí xuất phát từ gốc O. Từ đó, độ dài đoạn AB — cũng là độ dài vectơ $\vec{AB}$ — tính theo công thức $$AB=|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.$$

Ba trục Ox, Oy, Oz từng đôi một tạo thành ba mặt phẳng toạ độ: mặt phẳng $(Oxy)$ chứa Ox và Oy, mặt phẳng $(Oyz)$ chứa Oy và Oz, mặt phẳng $(Ozx)$ chứa Oz và Ox. Ba mặt phẳng này chia không gian thành tám phần, và toạ độ của một điểm cho biết ngay điểm đó nằm ở đâu so với chúng: điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ khi và chỉ khi $z=0$ — vì lúc đó $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j$ không còn thành phần theo $\vec k$. Tương tự, $M$ nằm trên $(Oyz)$ khi $x=0$, và nằm trên $(Ozx)$ khi $y=0$. Điểm nằm trên chính một trục thì có hai toạ độ bằng 0 — ví dụ điểm trên trục Oz có dạng $(0;0;z)$. Nhận diện nhanh những trường hợp đặc biệt này giúp em kiểm tra ngược lại một bài toán: nếu tính ra một điểm có toạ độ $z=0$ mà đề bài mô tả điểm đó nằm trên mặt sàn (thường được chọn làm mặt phẳng $(Oxy)$), thì kết quả hợp lý; nếu $z\neq 0$ trong tình huống đó, cần xem lại bước tính.

Ý nghĩa thực tế của công thức trên hiện rõ nhất khi toạ độ gắn với một đơn vị đo cụ thể — mét, ki-lô-mét — chứ không còn là những con số trừu tượng. Khi đó $|\vec{AB}|$ không chỉ là một con số mà là một quãng đường có thể đo được, và đề bài luôn yêu cầu làm tròn theo đúng chỉ định thay vì giữ nguyên dạng căn thức. Một điểm cần lưu ý: quãng đường tính theo công thức này là đường thẳng nối trực tiếp hai điểm — quãng đường chim bay — không phải quãng đường di chuyển thực tế nếu vật thể phải đi vòng qua chướng ngại vật. Với thiết bị bay không người lái di chuyển tự do trong không trung, hai quãng đường này trùng nhau; nhưng nếu bài toán mô tả một phương tiện chỉ di chuyển được trên mặt đất rồi mới lên cao, quãng đường thực tế có thể lớn hơn $|\vec{AB}|$ khá nhiều.

Tóm lại, hệ trục Oxyz gắn mỗi điểm với một bộ ba toạ độ duy nhất qua $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$, vectơ nối hai điểm lấy hiệu toạ độ cuối trừ đầu, và độ dài đoạn thẳng tính bằng căn bậc hai của tổng ba bình phương hiệu toạ độ. Ba công thức này là nền tảng cho mọi phép tính toạ độ trong không gian từ đây trở đi.