Bài học

Ôn tập: vectơ và toạ độ trong không gian Oxyz

Mục tiêu ôn tập

Học xong bài này, em giải được một bài toán khảo sát công trình nhiều bước, mỗi bước gọi đúng công cụ đã học ở chương này, và tự kiểm tra chéo kết quả giữa các bước bằng công thức sơ cấp khi có thể.

Bài ôn tập này không đưa thêm kiến thức mới — nó ghép lại năm công cụ đã học qua các bài trước (tích vô hướng, tích có hướng, tích hỗn tạp, khoảng cách/trung điểm/trọng tâm, và phương trình mặt phẳng) vào cùng một tình huống thực tế duy nhất, để em thấy rõ chúng phối hợp với nhau như thế nào trong một bài toán tổng hợp kiểu đề thi. Học xong bài này, em giải được một bài toán khảo sát công trình nhiều bước, mỗi bước gọi đúng công cụ đã học ở chương này, và tự kiểm tra chéo kết quả giữa các bước bằng công thức sơ cấp khi có thể.

Bối cảnh

Một khu đất dùng để dựng nhà kính hình chóp được khảo sát bằng thiết bị định vị, cho ra toạ độ bốn điểm — ba điểm chân đáy và một điểm đỉnh mái. Từ bốn toạ độ này, kỹ sư cần trả lời một loạt câu hỏi: đáy có vuông góc ở đâu không, diện tích đáy bao nhiêu, thể tích nhà kính bao nhiêu, tâm đáy ở đâu để đặt cột chống, và mặt đáy nằm trên mặt phẳng nào. Đây chính là bài toán tổng hợp của cả chương.

Bài toán tổng hợp: khảo sát khu đất dựng nhà kính

Đề bài cho bốn điểm, đơn vị mét: chân đáy $A(0;0;0)$ , $B(4;0;0)$ , $C(0;6;0)$ , và đỉnh mái $D(2;3;5)$ . Năm câu hỏi dưới đây lần lượt gọi đúng năm công cụ đã học, theo thứ tự tự nhiên của một bài toán thật: trước tiên mô tả hình dạng đáy, sau đó đo diện tích, rồi đến thể tích, vị trí trọng tâm, và cuối cùng là phương trình mặt phẳng chứa đáy.

Đề bài cho bốn điểm, đơn vị mét: chân đáy $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(0;6;0)$, và đỉnh mái $D(2;3;5)$. Năm câu hỏi dưới đây lần lượt gọi đúng năm công cụ đã học, theo thứ tự tự nhiên của một bài toán thật: trước tiên mô tả hình dạng đáy, sau đó đo diện tích, rồi đến thể tích, vị trí trọng tâm, và cuối cùng là phương trình mặt phẳng chứa đáy.

Lời giải có hình

Khu đất khảo sát: tổng hợp mọi công cụ đã học

Bước 1

Khảo sát một khu đất dựng nhà kính hình chóp, đơn vị mét: chân đáy $A(0;0;0)$ , $B(4;0;0)$ , $C(0;6;0)$ , đỉnh mái $D(2;3;5)$ .Khảo sát một khu đất dựng nhà kính hình chóp, đơn vị mét: chân đáy $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(0;6;0)$, đỉnh mái $D(2;3;5)$.

Năm công cụ của chương, dùng liên tiếp trong một bài toán duy nhất.

Ví dụ

Khảo sát toàn diện khu đất dựng nhà kính

1
Cho $A(0;0;0)$ , $B(4;0;0)$ , $C(0;6;0)$ , $D(2;3;5)$ (đơn vị mét) là chân đáy và đỉnh mái của một nhà kính hình chóp. (a) Đáy ABC có vuông tại A không? (b) Tính diện tích đáy. (c) Tính thể tích khối chóp ABCD. (d) Tìm trọng tâm đáy G và khoảng cách DG. (e) Viết phương trình mặt phẳng chứa đáy.
Cho $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(0;6;0)$, $D(2;3;5)$ (đơn vị mét) là chân đáy và đỉnh mái của một nhà kính hình chóp. (a) Đáy ABC có vuông tại A không? (b) Tính diện tích đáy. (c) Tính thể tích khối chóp ABCD. (d) Tìm trọng tâm đáy G và khoảng cách DG. (e) Viết phương trình mặt phẳng chứa đáy.
2
$\vec{AB}=(4;0;0)$ , $\vec{AC}=(0;6;0)$ . $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=4\cdot0+0\cdot6+0\cdot0=0$ , nên $\vec{AB}\perp\vec{AC}$ — đáy ABC vuông tại A.
$\vec{AB}=(4;0;0)$, $\vec{AC}=(0;6;0)$. $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=4\cdot0+0\cdot6+0\cdot0=0$, nên $\vec{AB}\perp\vec{AC}$ — đáy ABC vuông tại A.
3
$\vec{AB}\times\vec{AC}=(0\cdot0-0\cdot6;\ 0\cdot0-4\cdot0;\ 4\cdot6-0\cdot0)=(0;0;24)$ , nên $S_{ABC}=\dfrac{24}{2}=12$ m². (Có thể kiểm tra nhanh vì tam giác vuông tại A: $S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC=\dfrac12\cdot4\cdot6=12$ — khớp.)
$\vec{AB}\times\vec{AC}=(0\cdot0-0\cdot6;\ 0\cdot0-4\cdot0;\ 4\cdot6-0\cdot0)=(0;0;24)$, nên $S_{ABC}=\dfrac{24}{2}=12$ m². (Có thể kiểm tra nhanh vì tam giác vuông tại A: $S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC=\dfrac12\cdot4\cdot6=12$ — khớp.)
4
$\vec{AD}=(2;3;5)$ . $\vec{AD}\cdot(\vec{AB}\times\vec{AC})=2\cdot0+3\cdot0+5\cdot24=120$ , nên $V=\dfrac{120}{6}=20$ m³.
$\vec{AD}=(2;3;5)$. $\vec{AD}\cdot(\vec{AB}\times\vec{AC})=2\cdot0+3\cdot0+5\cdot24=120$, nên $V=\dfrac{120}{6}=20$ m³.
5
Vì AB, AC đều có toạ độ $z=0$ , mặt đáy nằm hoàn toàn trên mặt phẳng $z=0$ , nên chiều cao từ đỉnh D xuống đáy chính là toạ độ $z$ của D, tức $5$ m. Công thức sơ cấp $V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot h=\dfrac13\cdot12\cdot5=20$ m³ — khớp với kết quả từ tích hỗn tạp, dùng một con đường tính hoàn toàn độc lập.
Vì AB, AC đều có toạ độ $z=0$, mặt đáy nằm hoàn toàn trên mặt phẳng $z=0$, nên chiều cao từ đỉnh D xuống đáy chính là toạ độ $z$ của D, tức $5$ m. Công thức sơ cấp $V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot h=\dfrac13\cdot12\cdot5=20$ m³ — khớp với kết quả từ tích hỗn tạp, dùng một con đường tính hoàn toàn độc lập.
6
$G=\left(\dfrac{0+4+0}{3};\dfrac{0+0+6}{3};0\right)=\left(\dfrac43;2;0\right)\approx(1{,}33;2;0)$ . $\vec{DG}=\left(\dfrac43-2;2-3;0-5\right)=\left(-\dfrac23;-1;-5\right)$ , nên $DG=\sqrt{\frac49+1+25}\approx5{,}14$ m.
$G=\left(\dfrac{0+4+0}{3};\dfrac{0+0+6}{3};0\right)=\left(\dfrac43;2;0\right)\approx(1{,}33;2;0)$. $\vec{DG}=\left(\dfrac43-2;2-3;0-5\right)=\left(-\dfrac23;-1;-5\right)$, nên $DG=\sqrt{\frac49+1+25}\approx5{,}14$ m.
7
Pháp tuyến của đáy đã có từ bước (b): $\vec n=(0;0;24)$ , cùng phương với $(0;0;1)$ . Qua $A(0;0;0)$ : $24z=0$ , tức $z=0$ — đúng như dự đoán, vì cả ba điểm A, B, C đều có toạ độ $z=0$ .
Pháp tuyến của đáy đã có từ bước (b): $\vec n=(0;0;24)$, cùng phương với $(0;0;1)$. Qua $A(0;0;0)$: $24z=0$, tức $z=0$ — đúng như dự đoán, vì cả ba điểm A, B, C đều có toạ độ $z=0$.
8
Vậy đáy ABC vuông tại A, diện tích đáy $12$ m², thể tích khối chóp $20$ m³, trọng tâm đáy $G\left(\frac43;2;0\right)$ cách đỉnh D khoảng $5{,}14$ m, và mặt đáy nằm trên mặt phẳng $z=0$ .
Vậy đáy ABC vuông tại A, diện tích đáy $12$ m², thể tích khối chóp $20$ m³, trọng tâm đáy $G\left(\frac43;2;0\right)$ cách đỉnh D khoảng $5{,}14$ m, và mặt đáy nằm trên mặt phẳng $z=0$.

Sáu câu luyện tập dưới đây rải đều trên cả năm công cụ của chương, nhưng đổi hẳn bối cảnh và số liệu so với bài toán nhà kính ở trên — mục tiêu là kiểm tra em có thật sự làm chủ từng công cụ hay chỉ nhớ đúng một bộ số liệu quen thuộc. Trước khi làm mỗi câu, tự hỏi: đề đang hỏi về góc (tích vô hướng), diện tích (tích có hướng), thể tích hoặc đồng phẳng (tích hỗn tạp), vị trí trung tâm (trung điểm/trọng tâm), hay phương trình mặt phẳng (vectơ pháp tuyến) — xác định đúng công cụ trước khi đặt bút tính sẽ tránh được phần lớn sai sót.

Luyện tập tổng hợp

Sai lầm thường gặp

Trong một bài toán tổng hợp, sai lầm phổ biến nhất không phải sai một công thức đơn lẻ, mà là quên kiểm tra chéo giữa các bước — ví dụ tính thể tích bằng tích hỗn tạp xong không đối chiếu với công thức sơ cấp khi bài toán cho phép (như trường hợp đáy phẳng, vuông góc ở trên). Càng nhiều bước tính nối tiếp nhau, sai số càng dễ tích luỹ — kiểm tra lại từng bước quan trọng hơn nhiều so với một bài toán chỉ hỏi một đại lượng duy nhất.

Kiểm tra nhanh cuối chương

Chương Vectơ và toạ độ trong không gian Oxyz kết thúc ở đây với năm công cụ cốt lõi: tích vô hướng (góc và vuông góc), tích có hướng (diện tích), tích hỗn tạp (đồng phẳng và thể tích), khoảng cách/trung điểm/trọng tâm (định vị), và vectơ pháp tuyến (phương trình mặt phẳng). Cả năm đều xây trên cùng một nền: mọi đại lượng hình học trong không gian đều tính được chính xác từ toạ độ, không cần đo đạc hay ước lượng trên hình vẽ phối cảnh.

Khoá học tiếp theo — Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu — dùng lại toàn bộ năm công cụ này để nghiên cứu vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học trong không gian: hai mặt phẳng song song hay cắt nhau, một đường thẳng có nằm trên một mặt phẳng hay không, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, và phương trình của một mặt cầu.