Bài học

Đoạn thẳng, trung điểm và góc kề bù phối hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng lại được hệ thức cộng đoạn thẳng và định nghĩa trung điểm cho một bài toán mà độ dài xuất phát từ một phép đổi đơn vị thập phân, đồng thời tính được số đo góc còn lại trong một cặp góc kề bù khi biết một góc bằng bao nhiêu phần trăm góc kia.

Kiến thức nền cần nhớ

Nếu điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ , $B$ thì $AM + MB = AB$ ; nếu thêm $M$ cách đều $A$ và $B$ ( $AM = MB$ ) thì $M$ là trung điểm của $AB$ , và $AM = MB = \frac{AB}{2}$ . Về góc, hai góc kề bù là hai góc có chung một cạnh, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau, và tổng số đo của chúng luôn bằng $180^\circ$ .

Nếu điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$, $B$ thì $AM + MB = AB$; nếu thêm $M$ cách đều $A$ và $B$ ($AM = MB$) thì $M$ là trung điểm của $AB$, và $AM = MB = \frac{AB}{2}$. Về góc, hai góc kề bù là hai góc có chung một cạnh, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau, và tổng số đo của chúng luôn bằng $180^\circ$.

Một điều quan trọng khi làm việc với nhiều điểm trên cùng một tia: thứ tự các điểm được xác định bằng khoảng cách từ gốc tia, không phải bằng thứ tự đề nhắc tới chúng. Nếu $OE < OF$ (cùng đo từ gốc $O$ trên một tia), thì $E$ chắc chắn nằm giữa $O$ và $F$ , dù đề có thể nêu tên điểm $F$ trước điểm $E$ . Kỹ năng này cần thiết bất cứ khi nào một bài toán tổng hợp cho ba điểm trở lên trên cùng một tia hay đường thẳng.

Một điều quan trọng khi làm việc với nhiều điểm trên cùng một tia: thứ tự các điểm được xác định bằng khoảng cách từ gốc tia, không phải bằng thứ tự đề nhắc tới chúng. Nếu $OE < OF$ (cùng đo từ gốc $O$ trên một tia), thì $E$ chắc chắn nằm giữa $O$ và $F$, dù đề có thể nêu tên điểm $F$ trước điểm $E$. Kỹ năng này cần thiết bất cứ khi nào một bài toán tổng hợp cho ba điểm trở lên trên cùng một tia hay đường thẳng.

Khởi động

Bạn Lan đo chiều dài mặt bàn học được 1,2 m, và muốn đánh dấu một điểm chia đoạn đó thành hai nửa, rồi lại chia tiếp một nửa đó ra làm đôi. Đơn vị mét với số thập phân không tiện vẽ hình — làm sao đổi nó về một đơn vị dễ dùng hơn trước khi vẽ?

Từ số thập phân đến đoạn thẳng

Bước đầu tiên của nhiều bài toán hình học thực tế không phải là vẽ hình, mà là đổi đơn vị cho phù hợp. Chiều dài $1,2$ m đổi sang đề-xi-mét là $1,2 \times 10 = 12$ dm — một số nguyên dễ chia đôi, chia tư mà không cần làm tròn. Việc đổi đơn vị trước khi tính chính là bước 'phối hợp công cụ' giữa số thập phân và hình học mà đề kiểm tra tổng hợp hay yêu cầu.

N nằm chính giữa A và M vì 3 là nửa của 6, còn M nằm chính giữa A và B vì 6 là nửa của 12.

Lời giải có hình

Trung điểm của một trung điểm

Bước 1

Bạn Lan đo chiều dài mặt bàn học được 1,2 m. Đổi sang đề-xi-mét để vẽ đoạn thẳng AB biểu diễn chiều dài này: $AB = 12$ dm.Bạn Lan đo chiều dài mặt bàn học được 1,2 m. Đổi sang đề-xi-mét để vẽ đoạn thẳng AB biểu diễn chiều dài này: $AB = 12$ dm.

Ví dụ

Dạng thi — hệ thức cộng đoạn thẳng phối hợp phân số

1
Trên tia $Ox$ , lấy ba điểm $E$ , $F$ , $G$ theo thứ tự đó, với $OE = 8$ dm và $OG = 20$ dm. Biết $F$ nằm giữa $O$ và $G$ sao cho $OF = \frac{3}{5} \times OG$ . Tính độ dài $EF$ .
Trên tia $Ox$, lấy ba điểm $E$, $F$, $G$ theo thứ tự đó, với $OE = 8$ dm và $OG = 20$ dm. Biết $F$ nằm giữa $O$ và $G$ sao cho $OF = \frac{3}{5} \times OG$. Tính độ dài $EF$.
2
$OF = \frac{3}{5} \times 20 = 12$ dm.
$OF = \frac{3}{5} \times 20 = 12$ dm.
3
Vì $OE = 8$ dm nhỏ hơn $OF = 12$ dm, và cả $E$ , $F$ đều nằm trên cùng tia $Ox$ , nên $E$ nằm giữa $O$ và $F$ .
Vì $OE = 8$ dm nhỏ hơn $OF = 12$ dm, và cả $E$, $F$ đều nằm trên cùng tia $Ox$, nên $E$ nằm giữa $O$ và $F$.
4
Vì $E$ nằm giữa $O$ và $F$ : $OE + EF = OF$ , suy ra $EF = OF - OE = 12 - 8 = 4$ dm.
Vì $E$ nằm giữa $O$ và $F$: $OE + EF = OF$, suy ra $EF = OF - OE = 12 - 8 = 4$ dm.
5
Độ dài đoạn $EF$ là 4 dm.
Độ dài đoạn $EF$ là 4 dm.

Góc kề bù và tỉ số phần trăm

Phần góc của bài ôn tập này cũng phối hợp với một công cụ đã học: tỉ số phần trăm. Khi đề cho một góc bằng bao nhiêu phần trăm của một góc bẹt, em tính số đo góc đó y như tính phần trăm của một số bình thường, rồi dùng hệ thức góc kề bù để suy ra góc còn lại. Cách làm này áp dụng được cho bất kỳ góc chia phần nào, không chỉ riêng góc bẹt — miễn hai tia tạo thành góc đang xét là hai tia đối nhau thì tổng hai góc con luôn bằng $180^\circ$ , và phần trăm chỉ là cách đề cho biết TỈ LỆ của một góc con so với góc lớn ban đầu.

Phần góc của bài ôn tập này cũng phối hợp với một công cụ đã học: tỉ số phần trăm. Khi đề cho một góc bằng bao nhiêu phần trăm của một góc bẹt, em tính số đo góc đó y như tính phần trăm của một số bình thường, rồi dùng hệ thức góc kề bù để suy ra góc còn lại. Cách làm này áp dụng được cho bất kỳ góc chia phần nào, không chỉ riêng góc bẹt — miễn hai tia tạo thành góc đang xét là hai tia đối nhau thì tổng hai góc con luôn bằng $180^\circ$, và phần trăm chỉ là cách đề cho biết TỈ LỆ của một góc con so với góc lớn ban đầu.

Ví dụ

Dạng thi — góc kề bù tính từ tỉ số phần trăm

1
Góc bẹt $xOy = 180^\circ$ . Tia $Oz$ nằm trong góc sao cho góc $xOz$ bằng 40% góc $xOy$ . Tính góc $xOz$ và góc $zOy$ , cho biết hai góc này có kề bù hay không.
Góc bẹt $xOy = 180^\circ$. Tia $Oz$ nằm trong góc sao cho góc $xOz$ bằng 40% góc $xOy$. Tính góc $xOz$ và góc $zOy$, cho biết hai góc này có kề bù hay không.
2
Góc $xOz = 40\% \times 180^\circ = \frac{40}{100} \times 180^\circ = 72^\circ$ .
Góc $xOz = 40\% \times 180^\circ = \frac{40}{100} \times 180^\circ = 72^\circ$.
3
Vì $Ox$ , $Oy$ là hai tia đối nhau (góc bẹt) và $Oz$ nằm giữa hai tia đó, $xOz + zOy = 180^\circ$ . Suy ra $zOy = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .
Vì $Ox$, $Oy$ là hai tia đối nhau (góc bẹt) và $Oz$ nằm giữa hai tia đó, $xOz + zOy = 180^\circ$. Suy ra $zOy = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.
4
Hai góc $xOz$ và $zOy$ có chung cạnh $Oz$ , hai cạnh còn lại $Ox$ , $Oy$ là hai tia đối nhau, và tổng số đo bằng $180^\circ$ — đúng định nghĩa hai góc kề bù.
Hai góc $xOz$ và $zOy$ có chung cạnh $Oz$, hai cạnh còn lại $Ox$, $Oy$ là hai tia đối nhau, và tổng số đo bằng $180^\circ$ — đúng định nghĩa hai góc kề bù.
5
Góc $xOz = 72^\circ$ , góc $zOy = 108^\circ$ , và hai góc này kề bù với nhau.
Góc $xOz = 72^\circ$, góc $zOy = 108^\circ$, và hai góc này kề bù với nhau.

Bẫy thường gặp

Sai lầm hay gặp: nhầm 'kề bù' với 'kề phụ'. Kề bù có tổng $180^\circ$ (cạnh ngoài là hai tia đối nhau, tạo thành đường thẳng), còn kề phụ có tổng $90^\circ$ (cạnh ngoài vuông góc với nhau). Đọc kỹ đề cho góc nào — bẹt hay vuông — trước khi chọn công thức $180^\circ$ hay $90^\circ$ .

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài toán hình học tổng hợp thường bắt đầu bằng một bước không hình học — đổi đơn vị, tính phần trăm — trước khi mới đến hệ thức cộng đoạn thẳng, trung điểm, hay góc kề bù quen thuộc. Luôn xử lí xong bước 'chuẩn bị số liệu' đó trước khi vẽ hình và áp dụng công thức.

Bài tiếp theo đi từ điểm và đoạn thẳng sang diện tích và thể tích — nơi phân số và tỉ số phần trăm sẽ quay lại lần nữa, lần này để tính kích thước còn thiếu của một hình.