Bài học

Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và chọn công cụ đúng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tìm lại được ƯCLN và BCNN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố, và quan trọng hơn — em nhận ra NGAY một bài toán thực tế đang hỏi ƯCLN hay đang hỏi BCNN chỉ qua vài từ khóa trong đề, thay vì thử cả hai rồi mới biết cách nào đúng.

Kiến thức nền cần nhớ

ƯCLN $(a,b)$ là số lớn nhất chia hết cả $a$ lẫn $b$ ; BCNN $(a,b)$ là số nhỏ nhất chia hết cho cả $a$ lẫn $b$ . Cách tìm nhanh nhất khi số khá lớn là phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố, kĩ năng em vừa ôn ở chương trước: ƯCLN lấy các thừa số nguyên tố CHUNG với số mũ NHỎ NHẤT, còn BCNN lấy TẤT CẢ thừa số nguyên tố xuất hiện (chung hoặc riêng) với số mũ LỚN NHẤT.

ƯCLN$(a,b)$ là số lớn nhất chia hết cả $a$ lẫn $b$; BCNN$(a,b)$ là số nhỏ nhất chia hết cho cả $a$ lẫn $b$. Cách tìm nhanh nhất khi số khá lớn là phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố, kĩ năng em vừa ôn ở chương trước: ƯCLN lấy các thừa số nguyên tố CHUNG với số mũ NHỎ NHẤT, còn BCNN lấy TẤT CẢ thừa số nguyên tố xuất hiện (chung hoặc riêng) với số mũ LỚN NHẤT.

Khởi động

Câu lạc bộ Sáng tạo có 90 quyển sổ tay và 126 cây bút màu, muốn đóng thành các bộ quà giống hệt nhau, dùng hết cả sổ lẫn bút, nhiều bộ nhất có thể. Cùng lúc đó, hai bạn trực nhật của câu lạc bộ có lịch trực lệch nhau — một bạn 8 ngày trực một lần, bạn kia 12 ngày. Hai bài toán này nghe rất giống nhau nhưng lại cần hai công cụ hoàn toàn khác nhau. Vì sao?

Nhận diện: bài toán này hỏi ƯCLN hay BCNN?

Khác nhau nằm ở việc đại lượng cần tìm là CÀNG LỚN CÀNG TỐT hay CÀNG NHỎ CÀNG TỐT. Nếu đề muốn chia hết một số lượng có sẵn thành các phần bằng nhau, NHIỀU nhất có thể, không dư — đó là dấu hiệu của ƯCLN. Nếu đề nói đến hai việc lặp lại theo chu kì khác nhau và hỏi khi nào chúng TRÙNG NHAU LẦN TIẾP THEO — đó là dấu hiệu của BCNN. Học thuộc lòng công thức mà không phân biệt được hai dấu hiệu này là lỗi khiến nhiều bạn làm ngược đề trong phòng thi.

Kĩ năng chọn công cụ là điều đề kiểm tra tổng hợp thường kiểm tra nhất, không chỉ riêng kĩ năng tính toán.

Ví dụ

Tìm ƯCLN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố

1
Tìm ƯCLN(90, 126).
2
$90 = 2 \times 3^2 \times 5$ . $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ .
$90 = 2 \times 3^2 \times 5$. $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.
3
Thừa số chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1 (cả hai đều $2^1$ ); số mũ nhỏ nhất của 3 là 2 (cả hai đều $3^2$ ). Thừa số 5 và 7 không chung nên không lấy.
Thừa số chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1 (cả hai đều $2^1$); số mũ nhỏ nhất của 3 là 2 (cả hai đều $3^2$). Thừa số 5 và 7 không chung nên không lấy.
4
ƯCLN(90, 126) $= 2 \times 3^2 = 18$ .
ƯCLN(90, 126) $= 2 \times 3^2 = 18$.

Ví dụ

Tìm BCNN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố

1
Tìm BCNN(18, 24).
2
$18 = 2 \times 3^2$ . $24 = 2^3 \times 3$ .
$18 = 2 \times 3^2$. $24 = 2^3 \times 3$.
3
Thừa số 2 xuất hiện với số mũ lớn nhất là 3 (ở 24); thừa số 3 xuất hiện với số mũ lớn nhất là 2 (ở 18). Lấy cả hai, kể cả thừa số chỉ xuất hiện ở một số.
4
BCNN(18, 24) $= 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$ .
BCNN(18, 24) $= 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.

Ví dụ

Dạng thi — chọn đúng công cụ cho hai bài toán liền nhau

1
Câu lạc bộ Sáng tạo có 90 quyển sổ tay và 126 cây bút màu, muốn đóng thành các bộ quà giống hệt nhau, dùng hết cả sổ lẫn bút, nhiều bộ nhất có thể. Hỏi đóng được nhiều nhất bao nhiêu bộ, mỗi bộ có bao nhiêu sổ và bao nhiêu bút?
2
Đề muốn chia đều hai số lượng có sẵn thành các bộ giống nhau, nhiều nhất có thể, không dư — đây là dấu hiệu của ƯCLN, không phải BCNN.
3
Theo ví dụ trên, ƯCLN(90, 126) $= 18$ .
Theo ví dụ trên, ƯCLN(90, 126) $= 18$.
4
Số bộ nhiều nhất là 18. Mỗi bộ có $90 : 18 = 5$ quyển sổ và $126 : 18 = 7$ cây bút.
Số bộ nhiều nhất là 18. Mỗi bộ có $90 : 18 = 5$ quyển sổ và $126 : 18 = 7$ cây bút.
5
Đóng được nhiều nhất 18 bộ, mỗi bộ gồm 5 quyển sổ và 7 cây bút màu.

Ví dụ

Áp dụng BCNN cho bài toán lịch trực

1
Tiếp bài toán trên: hai bạn An và Bình cùng trực vào ngày 3 tháng 9. Hỏi lần tiếp theo hai bạn cùng trực là ngày nào?
2
$8 = 2^3$ , $12 = 2^2 \times 3$ . BCNN(8, 12) $= 2^3 \times 3 = 24$ .
$8 = 2^3$, $12 = 2^2 \times 3$. BCNN(8, 12) $= 2^3 \times 3 = 24$.
3
Hai bạn lại cùng trực sau đúng 24 ngày kể từ lần trước.
4
Từ ngày 3 tháng 9, cộng thêm 24 ngày: tháng 9 còn 27 ngày sau mùng 3 (hết ngày 30), nên $3 + 24 = 27$ , rơi vào ngày 27 tháng 9.
Từ ngày 3 tháng 9, cộng thêm 24 ngày: tháng 9 còn 27 ngày sau mùng 3 (hết ngày 30), nên $3 + 24 = 27$, rơi vào ngày 27 tháng 9.
5
Lần tiếp theo hai bạn cùng trực là ngày 27 tháng 9.

Ví dụ

Dạng thi — một đề bài cần cả ƯCLN lẫn BCNN

1
Một xưởng may có 108 mét vải xanh và 90 mét vải đỏ, muốn cắt thành các đoạn dài bằng nhau, dùng hết cả hai loại vải, đoạn càng dài càng tốt. Cùng lúc đó, xưởng có hai máy cắt, một máy cắt xong một đợt trong 9 phút, máy kia trong 15 phút, hai máy cùng bắt đầu chạy lúc 8 giờ. Hỏi mỗi đoạn vải dài bao nhiêu mét, và hai máy tiếp theo lại cùng cắt xong một đợt lúc mấy giờ?
Một xưởng may có 108 mét vải xanh và 90 mét vải đỏ, muốn cắt thành các đoạn dài bằng nhau, dùng hết cả hai loại vải, đoạn càng dài càng tốt. Cùng lúc đó, xưởng có hai máy cắt, một máy cắt xong một đợt trong 9 phút, máy kia trong 15 phút, hai máy cùng bắt đầu chạy lúc 8 giờ. Hỏi mỗi đoạn vải dài bao nhiêu mét, và hai máy tiếp theo lại cùng cắt xong một đợt lúc mấy giờ?
2
Đề muốn chia đều hai số lượng vải có sẵn thành các đoạn bằng nhau, dài nhất có thể — dấu hiệu ƯCLN, không phải BCNN.
3
$108 = 2^2 \times 3^3$ , $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ . Thừa số chung là 2 (số mũ nhỏ nhất 1) và 3 (số mũ nhỏ nhất 2). ƯCLN $= 2 \times 3^2 = 18$ . Mỗi đoạn vải dài 18 mét.
$108 = 2^2 \times 3^3$, $90 = 2 \times 3^2 \times 5$. Thừa số chung là 2 (số mũ nhỏ nhất 1) và 3 (số mũ nhỏ nhất 2). ƯCLN $= 2 \times 3^2 = 18$. Mỗi đoạn vải dài 18 mét.
4
Đề nói đến hai máy hoạt động theo chu kỳ riêng (9 phút và 15 phút) và hỏi khi nào chúng CÙNG xong lần tiếp theo — dấu hiệu BCNN, không phải ƯCLN.
5
$9 = 3^2$ , $15 = 3 \times 5$ . BCNN $= 3^2 \times 5 = 45$ phút. Từ 8 giờ cộng thêm 45 phút là 8 giờ 45 phút.
$9 = 3^2$, $15 = 3 \times 5$. BCNN $= 3^2 \times 5 = 45$ phút. Từ 8 giờ cộng thêm 45 phút là 8 giờ 45 phút.
6
Mỗi đoạn vải dài 18 mét; hai máy tiếp theo lại cùng cắt xong một đợt lúc 8 giờ 45 phút. Cùng một đề bài nhưng hai câu hỏi cần hai công cụ trái ngược nhau.

Bẫy thường gặp

Sai lầm hay gặp: nhầm lẫn hai bài toán ƯCLN và BCNN vì cả hai đều có vẻ 'liên quan đến chia'. Mẹo phân biệt nhanh: nếu đề cho một số lượng CÓ SẴN cần chia nhỏ ra, dùng ƯCLN; nếu đề nói đến hai việc XẢY RA THEO CHU KỲ và hỏi lúc nào gặp lại nhau, dùng BCNN. Một đề bài hoàn toàn có thể hỏi cả hai công cụ trong hai câu khác nhau, như ví dụ xưởng may ở trên — đọc kỹ TỪNG câu hỏi riêng biệt trước khi chọn công thức, đừng chọn theo phản xạ hay theo công thức vừa dùng ở câu trước.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Việc tính ƯCLN hay BCNN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ là bước cuối. Bước quan trọng nhất, và cũng là bước đề kiểm tra hay bẫy nhất, là NHẬN RA đề đang hỏi công cụ nào ngay từ khi đọc đề — dựa vào việc đại lượng cần tìm là lớn nhất có thể (ƯCLN) hay nhỏ nhất có thể (BCNN). Một đề tổng hợp có thể ẩn cả hai câu hỏi cùng lúc, nên đừng dừng lại sau khi chọn được một công cụ — luôn hỏi lại xem đề còn phần nào cần công cụ còn lại hay không.

Chương tiếp theo chuyển sang một cặp công cụ khác cũng hay bị lẫn với nhau: số nguyên và phân số, và ƯCLN vừa ôn ở đây sẽ quay lại — lần này để rút gọn kết quả một phép tính hỗn hợp.