Bài học

Số nguyên và phân số phối hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính đúng một biểu thức phối hợp cả số nguyên âm lẫn phân số, biết dùng ƯCLN đã ôn ở chương trước để rút gọn kết quả về dạng tối giản, và giải được một bài toán thực tế mà một đại lượng âm thay đổi theo từng phần của một tổng.

Kiến thức nền cần nhớ

Với số nguyên, em nhớ quy tắc cộng hai số cùng dấu (cộng giá trị tuyệt đối, giữ dấu chung) và khác dấu (lấy hiệu hai giá trị tuyệt đối, giữ dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn). Với phân số, phép cộng trừ cần quy đồng mẫu số bằng BCNN của các mẫu, còn muốn rút gọn một phân số về dạng tối giản, em chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của chúng — đúng công cụ vừa ôn ở Chương 2.

Khởi động

Một chiếc tàu ngầm nghiên cứu đang ở độ sâu 24 mét so với mặt nước biển, ghi là $-24$ m. Trong giờ tiếp theo, tàu nổi lên một đoạn bằng $\frac{3}{8}$ quãng đường đã lặn xuống trước đó, rồi lại lặn tiếp xuống thêm 5 mét nữa để quan sát rạn san hô. Độ sâu cuối cùng của tàu là bao nhiêu mét? Bài toán này cần cả số nguyên âm lẫn phân số cùng lúc.

Phối hợp số nguyên và phân số trong một biểu thức

Khi một biểu thức có cả số nguyên âm lẫn phân số, cách an toàn nhất là quy mọi thứ về cùng một dạng phân số rồi mới cộng trừ theo quy tắc phân số bình thường, nhớ rằng số nguyên $-3$ cũng có thể viết là $\frac{-3}{1}$ . Một điều hay bị bỏ sót: kết quả cuối cùng luôn phải rút gọn về dạng tối giản trước khi coi là đáp số hoàn chỉnh — một phân số đúng nhưng chưa tối giản vẫn bị trừ điểm trình bày trong bài kiểm tra.

Khi một biểu thức có cả số nguyên âm lẫn phân số, cách an toàn nhất là quy mọi thứ về cùng một dạng phân số rồi mới cộng trừ theo quy tắc phân số bình thường, nhớ rằng số nguyên $-3$ cũng có thể viết là $\frac{-3}{1}$. Một điều hay bị bỏ sót: kết quả cuối cùng luôn phải rút gọn về dạng tối giản trước khi coi là đáp số hoàn chỉnh — một phân số đúng nhưng chưa tối giản vẫn bị trừ điểm trình bày trong bài kiểm tra.

Nhận ra một bài toán cần PHỐI HỢP số nguyên với phân số, chứ không chỉ dùng một trong hai, là kỹ năng chính của bài này. Tín hiệu thường gặp: đề có một đại lượng mang dấu (nhiệt độ, độ sâu, độ cao, số dư tài khoản — luôn cần số nguyên âm để ghi) VÀ một thay đổi được mô tả bằng 'một phần' hay 'một nửa' của đại lượng đó (luôn cần phân số để tính lượng thay đổi). Gặp cả hai tín hiệu này cùng lúc, em biết ngay bài toán không thể giải chỉ bằng một công cụ — phải tính phần thay đổi bằng phân số trước, rồi mới cộng trừ với số nguyên âm ban đầu.

Mỗi bước nhảy trên trục số ứng với một phép tính trong lời giải bên dưới.

Ví dụ

Rút gọn kết quả phép cộng hai phân số âm bằng ƯCLN

1
Tính $\frac{-12}{18} + \frac{5}{-6}$ và rút gọn kết quả.
Tính $\frac{-12}{18} + \frac{5}{-6}$ và rút gọn kết quả.
2
$\frac{5}{-6} = \frac{-5}{6}$ . Trước khi quy đồng, rút gọn $\frac{-12}{18}$ : ƯCLN(12, 18) $= 6$ , nên $\frac{-12}{18} = \frac{-2}{3}$ .
$\frac{5}{-6} = \frac{-5}{6}$. Trước khi quy đồng, rút gọn $\frac{-12}{18}$: ƯCLN(12, 18) $= 6$, nên $\frac{-12}{18} = \frac{-2}{3}$.
3
BCNN(3, 6) $= 6$ . $\frac{-2}{3} = \frac{-4}{6}$ , giữ nguyên $\frac{-5}{6}$ .
BCNN(3, 6) $= 6$. $\frac{-2}{3} = \frac{-4}{6}$, giữ nguyên $\frac{-5}{6}$.
4
$\frac{-4}{6} + \frac{-5}{6} = \frac{-9}{6}$ .
$\frac{-4}{6} + \frac{-5}{6} = \frac{-9}{6}$.
5
ƯCLN(9, 6) $= 3$ , nên $\frac{-9}{6} = \frac{-3}{2}$ . Vậy $\frac{-12}{18} + \frac{5}{-6} = \frac{-3}{2}$ .
ƯCLN(9, 6) $= 3$, nên $\frac{-9}{6} = \frac{-3}{2}$. Vậy $\frac{-12}{18} + \frac{5}{-6} = \frac{-3}{2}$.

Ví dụ

Dạng thi — độ sâu tàu ngầm thay đổi theo phân số rồi theo số nguyên

1
Tàu ngầm đang ở độ sâu $-24$ m. Tàu nổi lên $\frac{3}{8}$ quãng đường đã lặn (tức $\frac{3}{8}$ của 24 m), rồi lặn tiếp xuống thêm 5 m. Hỏi độ sâu cuối cùng?
Tàu ngầm đang ở độ sâu $-24$ m. Tàu nổi lên $\frac{3}{8}$ quãng đường đã lặn (tức $\frac{3}{8}$ của 24 m), rồi lặn tiếp xuống thêm 5 m. Hỏi độ sâu cuối cùng?
2
$\frac{3}{8}$ của 24 m là $\frac{3}{8} \times 24 = 9$ m. Nổi lên nghĩa là độ sâu giảm bớt (cộng thêm một số dương vào số âm).
$\frac{3}{8}$ của 24 m là $\frac{3}{8} \times 24 = 9$ m. Nổi lên nghĩa là độ sâu giảm bớt (cộng thêm một số dương vào số âm).
3
$-24 + 9 = -15$ . Tàu đang ở độ sâu 15 m.
$-24 + 9 = -15$. Tàu đang ở độ sâu 15 m.
4
Lặn xuống nghĩa là trừ thêm: $-15 - 5 = -20$ .
Lặn xuống nghĩa là trừ thêm: $-15 - 5 = -20$.
5
Độ sâu cuối cùng của tàu là $-20$ m, tức 20 mét dưới mặt nước.
Độ sâu cuối cùng của tàu là $-20$ m, tức 20 mét dưới mặt nước.

Ví dụ

Biểu thức tổng hợp nhiều bước — số nguyên, phân số và rút gọn

1
Tính giá trị biểu thức $\frac{7}{-10} + (-3) \times \frac{1}{6}$ .
Tính giá trị biểu thức $\frac{7}{-10} + (-3) \times \frac{1}{6}$.
2
Đưa $-3$ về dạng phân số: $\frac{-3}{1}$ . Nhân với $\frac{1}{6}$ : $\frac{-3}{1} \times \frac{1}{6} = \frac{-3}{6}$ . Rút gọn bằng ƯCLN(3, 6) $= 3$ , được $\frac{-1}{2}$ .
Đưa $-3$ về dạng phân số: $\frac{-3}{1}$. Nhân với $\frac{1}{6}$: $\frac{-3}{1} \times \frac{1}{6} = \frac{-3}{6}$. Rút gọn bằng ƯCLN(3, 6) $= 3$, được $\frac{-1}{2}$.
3
$\frac{7}{-10} = \frac{-7}{10}$ .
$\frac{7}{-10} = \frac{-7}{10}$.
4
BCNN(10, 2) $= 10$ . $\frac{-1}{2} = \frac{-5}{10}$ . Cộng: $\frac{-7}{10} + \frac{-5}{10} = \frac{-12}{10}$ .
BCNN(10, 2) $= 10$. $\frac{-1}{2} = \frac{-5}{10}$. Cộng: $\frac{-7}{10} + \frac{-5}{10} = \frac{-12}{10}$.
5
ƯCLN(12, 10) $= 2$ , nên $\frac{-12}{10} = \frac{-6}{5}$ .
ƯCLN(12, 10) $= 2$, nên $\frac{-12}{10} = \frac{-6}{5}$.
6
$\frac{7}{-10} + (-3) \times \frac{1}{6} = \frac{-6}{5}$ .
$\frac{7}{-10} + (-3) \times \frac{1}{6} = \frac{-6}{5}$.

Ví dụ

Dạng thi — mực nước hồ chứa thay đổi qua nhiều đợt

1
Mực nước một hồ chứa đang ở mức $-4$ m so với mức chuẩn (thấp hơn mức chuẩn 4 m). Sau một đợt mưa lớn, mực nước dâng thêm $\frac{3}{4}$ của 4 m, rồi do phải xả bớt nước, mực nước lại hạ xuống thêm 2 m. Hỏi mực nước cuối cùng so với mức chuẩn là bao nhiêu?
Mực nước một hồ chứa đang ở mức $-4$ m so với mức chuẩn (thấp hơn mức chuẩn 4 m). Sau một đợt mưa lớn, mực nước dâng thêm $\frac{3}{4}$ của 4 m, rồi do phải xả bớt nước, mực nước lại hạ xuống thêm 2 m. Hỏi mực nước cuối cùng so với mức chuẩn là bao nhiêu?
2
$\frac{3}{4}$ của 4 m là $\frac{3}{4} \times 4 = 3$ m.
$\frac{3}{4}$ của 4 m là $\frac{3}{4} \times 4 = 3$ m.
3
Dâng lên nghĩa là cộng thêm: $-4 + 3 = -1$ m.
Dâng lên nghĩa là cộng thêm: $-4 + 3 = -1$ m.
4
Hạ xuống nghĩa là trừ thêm: $-1 - 2 = -3$ m.
Hạ xuống nghĩa là trừ thêm: $-1 - 2 = -3$ m.
5
Mực nước cuối cùng ở mức $-3$ m so với mức chuẩn, tức thấp hơn mức chuẩn 3 m.
Mực nước cuối cùng ở mức $-3$ m so với mức chuẩn, tức thấp hơn mức chuẩn 3 m.

Ví dụ

Dạng thi — quỹ lớp âm được bù bằng phân số rồi chi thêm

1
Quỹ lớp đang âm 45 000 đồng do chi vượt kế hoạch, ghi là $-45\,000$ đồng. Lớp thu thêm được một khoản bằng $\frac{2}{3}$ số tiền âm đó để bù, sau đó chi thêm 8 000 đồng mua hoa tặng cô giáo. Hỏi quỹ lớp cuối cùng còn âm hay dương, bao nhiêu?
Quỹ lớp đang âm 45 000 đồng do chi vượt kế hoạch, ghi là $-45\,000$ đồng. Lớp thu thêm được một khoản bằng $\frac{2}{3}$ số tiền âm đó để bù, sau đó chi thêm 8 000 đồng mua hoa tặng cô giáo. Hỏi quỹ lớp cuối cùng còn âm hay dương, bao nhiêu?
2
$\frac{2}{3}$ của 45 000 là $\frac{2}{3} \times 45\,000 = 30\,000$ đồng.
$\frac{2}{3}$ của 45 000 là $\frac{2}{3} \times 45\,000 = 30\,000$ đồng.
3
Thu thêm nghĩa là cộng: $-45\,000 + 30\,000 = -15\,000$ đồng.
Thu thêm nghĩa là cộng: $-45\,000 + 30\,000 = -15\,000$ đồng.
4
Chi thêm nghĩa là trừ: $-15\,000 - 8\,000 = -23\,000$ đồng.
Chi thêm nghĩa là trừ: $-15\,000 - 8\,000 = -23\,000$ đồng.
5
Quỹ lớp cuối cùng vẫn âm 23 000 đồng, tức lớp còn nợ 23 000 đồng.

Bẫy thường gặp

Sai lầm hay gặp: khi biểu thức trộn số nguyên âm với phân số, một số bạn cộng trừ tử số và giữ nguyên dấu âm ở ngoài, quên rằng số nguyên âm cũng cần được quy về dạng phân số (mẫu dương) trước khi thao tác. Một lỗi khác là quên rút gọn kết quả cuối cùng — luôn kiểm tra ƯCLN của tử và mẫu trước khi chốt đáp số.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Khi số nguyên và phân số xuất hiện chung trong một bài toán, hãy xử lí từng phép tính theo đúng thứ tự (nhân chia trước, cộng trừ sau), luôn quy số nguyên về dạng phân số mẫu dương khi cần cộng trừ với phân số khác, và đừng quên rút gọn đáp số cuối cùng bằng ƯCLN.

Bài tiếp theo giữ nguyên tinh thần phối hợp nhưng chuyển sang số thập phân và tỉ số phần trăm — hai công cụ mà một bài toán mua sắm thực tế luôn cần dùng chung với nhau.