Bài học

Nhân và chia phân số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhân và chia được hai phân số bất kỳ, kể cả khi có dấu âm, và biết rút gọn trước khi nhân để tính nhanh hơn.

Kiến thức nền cần nhớ

Nhân và chia phân số không cần quy đồng như cộng trừ — đây là điểm khác biệt lớn nhất giữa hai nhóm phép tính. Em vẫn cần dùng lại kỹ năng rút gọn phân số của bài trước, cùng quy tắc dấu khi nhân hai số nguyên đã học ở khóa Số nguyên: cùng dấu cho kết quả dương, khác dấu cho kết quả âm.

Khởi động

Một mảnh vườn có diện tích $\frac{3}{4}$ héc-ta. Người ta dùng $\frac{2}{3}$ diện tích đó để trồng rau. Diện tích trồng rau là bao nhiêu héc-ta? Đây không phải phép cộng hai phần đất — nó hỏi "lấy $\frac{2}{3}$ của $\frac{3}{4}$ ", và trong toán học, "lấy mấy phần của" chính là phép nhân hai phân số.

Một mảnh vườn có diện tích $\frac{3}{4}$ héc-ta. Người ta dùng $\frac{2}{3}$ diện tích đó để trồng rau. Diện tích trồng rau là bao nhiêu héc-ta? Đây không phải phép cộng hai phần đất — nó hỏi "lấy $\frac{2}{3}$ của $\frac{3}{4}$", và trong toán học, "lấy mấy phần của" chính là phép nhân hai phân số.

Kiến thức trọng tâm

Nhân hai phân số: nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu. $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ . Trước khi nhân, có thể rút gọn chéo nếu tử của phân số này có ước chung với mẫu của phân số kia — cách này giúp các số nhỏ lại, đỡ nhân số lớn rồi mới rút gọn.

Nhân hai phân số: nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu. $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$. Trước khi nhân, có thể rút gọn chéo nếu tử của phân số này có ước chung với mẫu của phân số kia — cách này giúp các số nhỏ lại, đỡ nhân số lớn rồi mới rút gọn.

So với cộng trừ, nhân chia phân số thực ra đơn giản hơn vì không cần đơn vị đo chung — nhân hai phân số là nhân trực tiếp hai tỉ lệ với nhau, không quan tâm mẫu số có bằng nhau hay không. Đây là lý do phép nhân phân số không có bước quy đồng, khác hẳn với cộng trừ ở hai bài trước.

Chia hai phân số: nhân phân số bị chia với phân số nghịch đảo của phân số chia. Phân số nghịch đảo của $\frac{c}{d}$ (khác 0) là $\frac{d}{c}$ — đảo vị trí tử và mẫu. $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ .

Vì sao chia lại chuyển thành nhân với nghịch đảo? Vì một phân số nhân với nghịch đảo của chính nó luôn bằng 1 — $\frac{c}{d} \times \frac{d}{c} = 1$ . Đây đúng là ý tưởng em đã gặp với số nguyên: chia cho 2 cũng chính là nhân với $\frac{1}{2}$ . Phân số chỉ mở rộng ý tưởng đó cho phép chia bởi bất kỳ phân số nào, không riêng gì số nguyên.

Vì sao chia lại chuyển thành nhân với nghịch đảo? Vì một phân số nhân với nghịch đảo của chính nó luôn bằng 1 — $\frac{c}{d} \times \frac{d}{c} = 1$. Đây đúng là ý tưởng em đã gặp với số nguyên: chia cho 2 cũng chính là nhân với $\frac{1}{2}$. Phân số chỉ mở rộng ý tưởng đó cho phép chia bởi bất kỳ phân số nào, không riêng gì số nguyên.

Dấu của kết quả tuân theo đúng quy tắc dấu của số nguyên: cùng dấu (cả hai dương hoặc cả hai âm) cho kết quả dương, trái dấu cho kết quả âm — dù là nhân hay chia.

Một số nguyên khác 0 cũng có nghịch đảo, theo đúng cách hiểu ở trên: viết số nguyên $n$ dưới dạng phân số $\frac{n}{1}$ , nghịch đảo của nó là $\frac{1}{n}$ . Vì vậy chia cho một số nguyên $n$ cũng chính là nhân với $\frac{1}{n}$ — quy tắc này áp dụng cho cả số nguyên âm: nghịch đảo của $-4$ là $-\frac{1}{4}$ , không phải $\frac{1}{4}$ .

Một số nguyên khác 0 cũng có nghịch đảo, theo đúng cách hiểu ở trên: viết số nguyên $n$ dưới dạng phân số $\frac{n}{1}$, nghịch đảo của nó là $\frac{1}{n}$. Vì vậy chia cho một số nguyên $n$ cũng chính là nhân với $\frac{1}{n}$ — quy tắc này áp dụng cho cả số nguyên âm: nghịch đảo của $-4$ là $-\frac{1}{4}$, không phải $\frac{1}{4}$.

\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

— diện tích trồng rau trong mảnh vườn.$\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$ — diện tích trồng rau trong mảnh vườn.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Nhân hai phân số

1
Tính $\frac{2}{5} \times \frac{3}{7}$ .
Tính $\frac{2}{5} \times \frac{3}{7}$.
2
$\frac{2\times3}{5\times7} = \frac{6}{35}$ .
$\frac{2\times3}{5\times7} = \frac{6}{35}$.
3
Vậy $\frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{6}{35}$ — đã tối giản vì $\text{ƯCLN}(6,35)=1$ .
Vậy $\frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{6}{35}$ — đã tối giản vì $\text{ƯCLN}(6,35)=1$.

Ví dụ

Chia hai phân số

1
Tính $\frac{4}{9} : \frac{2}{3}$ .
Tính $\frac{4}{9} : \frac{2}{3}$.
2
$\frac{4}{9} : \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2}$ .
$\frac{4}{9} : \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2}$.
3
$4$ và $2$ cùng chia hết cho $2$ ; $3$ và $9$ cùng chia hết cho $3$ : $\frac{4}{9}\times\frac{3}{2} = \frac{2}{3}\times\frac{1}{1} = \frac{2}{3}$ .
$4$ và $2$ cùng chia hết cho $2$; $3$ và $9$ cùng chia hết cho $3$: $\frac{4}{9}\times\frac{3}{2} = \frac{2}{3}\times\frac{1}{1} = \frac{2}{3}$.
4
Vậy $\frac{4}{9} : \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ .
Vậy $\frac{4}{9} : \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

Ví dụ

Nhân hai phân số âm, rút gọn trước khi nhân

1
Tính $\left(-\frac{3}{4}\right) \times \left(-\frac{2}{9}\right)$ .
Tính $\left(-\frac{3}{4}\right) \times \left(-\frac{2}{9}\right)$.
2
Hai phân số cùng âm nên tích mang dấu dương.
3
$3$ và $9$ cùng chia hết cho $3$ : $\frac{3}{4}\times\frac{2}{9} = \frac{1}{4}\times\frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ .
$3$ và $9$ cùng chia hết cho $3$: $\frac{3}{4}\times\frac{2}{9} = \frac{1}{4}\times\frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
4
Vậy $\left(-\frac{3}{4}\right) \times \left(-\frac{2}{9}\right) = \frac{1}{6}$ .
Vậy $\left(-\frac{3}{4}\right) \times \left(-\frac{2}{9}\right) = \frac{1}{6}$.

Ví dụ

Bài toán thực tế: diện tích trồng rau

1
Một mảnh vườn diện tích $\frac{3}{4}$ héc-ta, dùng $\frac{2}{3}$ diện tích đó để trồng rau. Tính diện tích trồng rau.
Một mảnh vườn diện tích $\frac{3}{4}$ héc-ta, dùng $\frac{2}{3}$ diện tích đó để trồng rau. Tính diện tích trồng rau.
2
Diện tích trồng rau là $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$ .
Diện tích trồng rau là $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$.
3
$3$ và $3$ triệt tiêu, $2$ và $4$ cùng chia hết cho $2$ : $\frac{3}{4}\times\frac{2}{3} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{1} = \frac{1}{2}$ .
$3$ và $3$ triệt tiêu, $2$ và $4$ cùng chia hết cho $2$: $\frac{3}{4}\times\frac{2}{3} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{1} = \frac{1}{2}$.
4
Vậy diện tích trồng rau là $\frac{1}{2}$ héc-ta.
Vậy diện tích trồng rau là $\frac{1}{2}$ héc-ta.

Ví dụ

Dạng thi: tìm phân số của một số

1
Một thư viện trường có 40 quyển vở, dùng $\frac{2}{5}$ số vở đó phát cho học sinh có hoàn cảnh khó khăn. Hỏi thư viện đã phát bao nhiêu quyển vở?
Một thư viện trường có 40 quyển vở, dùng $\frac{2}{5}$ số vở đó phát cho học sinh có hoàn cảnh khó khăn. Hỏi thư viện đã phát bao nhiêu quyển vở?
2
" $\frac{2}{5}$ số vở" nghĩa là lấy $\frac{2}{5}$ của 40, tức nhân 40 với $\frac{2}{5}$ : $40 \times \frac{2}{5}$ .
"$\frac{2}{5}$ số vở" nghĩa là lấy $\frac{2}{5}$ của 40, tức nhân 40 với $\frac{2}{5}$: $40 \times \frac{2}{5}$.
3
$40 = \frac{40}{1}$ , nên $\frac{40}{1} \times \frac{2}{5} = \frac{80}{5} = 16$ .
$40 = \frac{40}{1}$, nên $\frac{40}{1} \times \frac{2}{5} = \frac{80}{5} = 16$.
4
Vậy thư viện đã phát 16 quyển vở.

Ví dụ

Dạng thi: tìm một số biết giá trị phân số của nó

1
Biết $\frac{3}{4}$ số tiền tiết kiệm của Lan là 90 000 đồng. Hỏi Lan có tất cả bao nhiêu tiền?
Biết $\frac{3}{4}$ số tiền tiết kiệm của Lan là 90 000 đồng. Hỏi Lan có tất cả bao nhiêu tiền?
2
Gọi số tiền Lan có là $x$ đồng. Theo đề bài, $x \times \frac{3}{4} = 90\,000$ . (1)
Gọi số tiền Lan có là $x$ đồng. Theo đề bài, $x \times \frac{3}{4} = 90\,000$. (1)
3
Từ (1), muốn tìm $x$ ta chia 90 000 cho $\frac{3}{4}$ , tức nhân với nghịch đảo: $x = 90\,000 \times \frac{4}{3} = 120\,000$ .
Từ (1), muốn tìm $x$ ta chia 90 000 cho $\frac{3}{4}$, tức nhân với nghịch đảo: $x = 90\,000 \times \frac{4}{3} = 120\,000$.
4
Vậy Lan có tất cả 120 000 đồng.

Sai lầm thường gặp

Quy đồng trước khi nhân

Một thói quen sai khá phổ biến là quy đồng mẫu số hai phân số trước rồi mới nhân, giống hệt thao tác cộng trừ. Nhân phân số không cần và không nên quy đồng — chỉ cần nhân thẳng tử với tử, mẫu với mẫu. Quy đồng trước khi nhân sẽ ra một mẫu số lớn hơn thực tế nhiều lần và dễ tính sai. Một lỗi khác là quên đảo phân số khi chia — viết $\frac{4}{9} : \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\times\frac{2}{3}$ thay vì đảo phân số thứ hai trước khi nhân; kết quả sẽ hoàn toàn khác giá trị đúng.

Luyện tập

Ghi nhớ

Nhân phân số: tử nhân tử, mẫu nhân mẫu — không quy đồng. Chia phân số: nhân với phân số nghịch đảo của số chia. Rút gọn chéo trước khi nhân giúp số nhỏ đi và tính nhanh hơn. Dấu kết quả theo đúng quy tắc dấu của số nguyên: cùng dấu cho kết quả dương, trái dấu cho kết quả âm.

Bốn phép tính với phân số đến đây đã đầy đủ: cộng, trừ, nhân, chia đều đã có công thức và ví dụ rõ ràng. Bài tiếp theo học thêm một cách viết phân số khác — hỗn số — và cách chuyển đổi qua lại giữa hỗn số và phân số, một kỹ năng em sẽ dùng khi đọc số đo trong đời sống.