Bài học

Phân số mở rộng và phân số bằng nhau

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết được một phân số với tử và mẫu là số nguyên bất kỳ (mẫu khác 0), biết cách đưa một phân số có mẫu âm về dạng mẫu dương, và kiểm tra được hai phân số có bằng nhau hay không bằng tích chéo.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở tiểu học em đã quen với phân số $\frac{a}{b}$ trong đó $a$ , $b$ là số tự nhiên và $b \neq 0$ . Bài trước, khóa Số nguyên đã mở rộng tập số từ $\mathbb{N}$ sang $\mathbb{Z}$ — số nguyên có thể âm, dương hoặc bằng 0, và em đã biết cộng, trừ, nhân, chia hai số nguyên theo quy tắc dấu. Bài này ghép hai mảnh kiến thức đó lại: tử và mẫu của một phân số giờ có thể là số nguyên.

Ở tiểu học em đã quen với phân số $\frac{a}{b}$ trong đó $a$, $b$ là số tự nhiên và $b \neq 0$. Bài trước, khóa Số nguyên đã mở rộng tập số từ $\mathbb{N}$ sang $\mathbb{Z}$ — số nguyên có thể âm, dương hoặc bằng 0, và em đã biết cộng, trừ, nhân, chia hai số nguyên theo quy tắc dấu. Bài này ghép hai mảnh kiến thức đó lại: tử và mẫu của một phân số giờ có thể là số nguyên.

Khởi động

Một cái hồ đang cạn dần, mỗi giờ mực nước giảm đúng $\frac{3}{4}$ mét so với giờ trước. Em đã biết viết "giảm 3 mét" bằng số nguyên $-3$ . Vậy "giảm $\frac{3}{4}$ mét" thì viết thế nào cho gọn — có phải chỉ cần đặt dấu trừ trước phân số, $-\frac{3}{4}$ , là xong? Bài học này trả lời câu hỏi đó, và chỉ cho em cách nhận ra khi nào hai cách viết phân số có dấu âm thực ra là cùng một số.

Một cái hồ đang cạn dần, mỗi giờ mực nước giảm đúng $\frac{3}{4}$ mét so với giờ trước. Em đã biết viết "giảm 3 mét" bằng số nguyên $-3$. Vậy "giảm $\frac{3}{4}$ mét" thì viết thế nào cho gọn — có phải chỉ cần đặt dấu trừ trước phân số, $-\frac{3}{4}$, là xong? Bài học này trả lời câu hỏi đó, và chỉ cho em cách nhận ra khi nào hai cách viết phân số có dấu âm thực ra là cùng một số.

Kiến thức trọng tâm

Phân số $\frac{a}{b}$ giờ đây được hiểu với $a, b \in \mathbb{Z}$ và $b \neq 0$ — tử và mẫu có thể âm. Khi $a$ và $b$ cùng dấu, phân số mang giá trị dương; khi $a$ , $b$ trái dấu, phân số mang giá trị âm. Mực nước hồ giảm $\frac{3}{4}$ mét được viết là $-\frac{3}{4}$ — tử âm, mẫu dương.

Phân số $\frac{a}{b}$ giờ đây được hiểu với $a, b \in \mathbb{Z}$ và $b \neq 0$ — tử và mẫu có thể âm. Khi $a$ và $b$ cùng dấu, phân số mang giá trị dương; khi $a$, $b$ trái dấu, phân số mang giá trị âm. Mực nước hồ giảm $\frac{3}{4}$ mét được viết là $-\frac{3}{4}$ — tử âm, mẫu dương.

Một phân số có ba cách viết dấu tương đương nhau: $\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$ . Quy tắc dùng trong thực hành là luôn đưa mẫu về số dương trước khi làm bất cứ phép tính nào — nếu mẫu đang âm, nhân cả tử và mẫu với $-1$ . Chẳng hạn $\frac{5}{-8}$ viết lại thành $\frac{-5}{8}$ , tức $-\frac{5}{8}$ . Còn khi cả tử và mẫu đều âm, hai dấu trừ triệt tiêu nhau: $\frac{-7}{-9} = \frac{7}{9}$ .

Một phân số có ba cách viết dấu tương đương nhau: $\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$. Quy tắc dùng trong thực hành là luôn đưa mẫu về số dương trước khi làm bất cứ phép tính nào — nếu mẫu đang âm, nhân cả tử và mẫu với $-1$. Chẳng hạn $\frac{5}{-8}$ viết lại thành $\frac{-5}{8}$, tức $-\frac{5}{8}$. Còn khi cả tử và mẫu đều âm, hai dấu trừ triệt tiêu nhau: $\frac{-7}{-9} = \frac{7}{9}$.

Hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ (với $b, d \neq 0$ ) được gọi là bằng nhau khi $a \times d = b \times c$ — quy tắc tích chéo em đã học với phân số dương giờ áp dụng nguyên vẹn cho cả số âm, không cần đổi gì thêm. Đây là công cụ nhanh nhất để kiểm tra hai phân số có cùng biểu diễn một giá trị hay không mà không cần quy đồng.

Hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ (với $b, d \neq 0$) được gọi là bằng nhau khi $a \times d = b \times c$ — quy tắc tích chéo em đã học với phân số dương giờ áp dụng nguyên vẹn cho cả số âm, không cần đổi gì thêm. Đây là công cụ nhanh nhất để kiểm tra hai phân số có cùng biểu diễn một giá trị hay không mà không cần quy đồng.

Vì sao tích chéo lại đúng? Nếu đưa cả hai phân số về cùng một mẫu chung $bd$ (nhân $\frac{a}{b}$ với $\frac{d}{d}$ và $\frac{c}{d}$ với $\frac{b}{b}$ ), ta được $\frac{ad}{bd}$ và $\frac{cb}{bd}$ — hai phân số cùng mẫu. Hai phân số cùng mẫu bằng nhau khi và chỉ khi hai tử bằng nhau, tức $ad = cb$ . Tích chéo thực chất là một đường tắt của phép quy đồng, chỉ so sánh tử mà không cần viết ra mẫu chung.

Vì sao tích chéo lại đúng? Nếu đưa cả hai phân số về cùng một mẫu chung $bd$ (nhân $\frac{a}{b}$ với $\frac{d}{d}$ và $\frac{c}{d}$ với $\frac{b}{b}$), ta được $\frac{ad}{bd}$ và $\frac{cb}{bd}$ — hai phân số cùng mẫu. Hai phân số cùng mẫu bằng nhau khi và chỉ khi hai tử bằng nhau, tức $ad = cb$. Tích chéo thực chất là một đường tắt của phép quy đồng, chỉ so sánh tử mà không cần viết ra mẫu chung.

Điểm

-\frac{3}{4}

nằm bên trái 0 ba phần tư đơn vị; điểm

\frac{1}{2}

nằm bên phải 0 nửa đơn vị.Điểm $-\frac{3}{4}$ nằm bên trái 0 ba phần tư đơn vị; điểm $\frac{1}{2}$ nằm bên phải 0 nửa đơn vị.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Đưa phân số về mẫu dương

1
Viết phân số $\frac{3}{-4}$ dưới dạng có mẫu dương.
Viết phân số $\frac{3}{-4}$ dưới dạng có mẫu dương.
2
Ta có $\frac{3}{-4} = \frac{-3}{4}$ — nhân cả tử và mẫu với $-1$ để mẫu chuyển từ $-4$ sang $4$ .
Ta có $\frac{3}{-4} = \frac{-3}{4}$ — nhân cả tử và mẫu với $-1$ để mẫu chuyển từ $-4$ sang $4$.
3
Vậy $\frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$ , một phân số có mẫu dương.
Vậy $\frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$, một phân số có mẫu dương.

Ví dụ

Kiểm tra hai phân số bằng nhau bằng tích chéo

1
Hai phân số $\frac{-2}{5}$ và $\frac{6}{-15}$ có bằng nhau không?
Hai phân số $\frac{-2}{5}$ và $\frac{6}{-15}$ có bằng nhau không?
2
Ta có $(-2) \times (-15) = 30$ và $5 \times 6 = 30$ .
Ta có $(-2) \times (-15) = 30$ và $5 \times 6 = 30$.
3
Hai tích chéo bằng nhau: $30 = 30$ . Theo tính chất phân số bằng nhau, $\frac{-2}{5} = \frac{6}{-15}$ .
Hai tích chéo bằng nhau: $30 = 30$. Theo tính chất phân số bằng nhau, $\frac{-2}{5} = \frac{6}{-15}$.
4
Vậy $\frac{-2}{5}$ và $\frac{6}{-15}$ là hai cách viết của cùng một phân số.
Vậy $\frac{-2}{5}$ và $\frac{6}{-15}$ là hai cách viết của cùng một phân số.

Ví dụ

Bài toán thực tế: viết đại lượng âm bằng phân số

1
Một chiếc thang máy chở hàng đi xuống đều, mỗi giây hạ được $\frac{2}{5}$ tầng. Viết độ thay đổi độ cao mỗi giây dưới dạng một phân số có mẫu dương.
Một chiếc thang máy chở hàng đi xuống đều, mỗi giây hạ được $\frac{2}{5}$ tầng. Viết độ thay đổi độ cao mỗi giây dưới dạng một phân số có mẫu dương.
2
Đi xuống nghĩa là độ cao giảm, nên độ thay đổi mang dấu âm — giống việc nhiệt độ giảm được viết bằng số nguyên âm ở khóa Số nguyên.
3
Vậy mỗi giây độ cao thay đổi $-\frac{2}{5}$ tầng.
Vậy mỗi giây độ cao thay đổi $-\frac{2}{5}$ tầng.

Ví dụ

Dạng thi: tìm ẩn trong hai phân số bằng nhau

1
Tìm số nguyên $x$ biết $\frac{x}{-6} = \frac{-4}{3}$ .
Tìm số nguyên $x$ biết $\frac{x}{-6} = \frac{-4}{3}$.
2
Theo tính chất phân số bằng nhau, $x \times 3 = (-6) \times (-4)$ .
Theo tính chất phân số bằng nhau, $x \times 3 = (-6) \times (-4)$.
3
$(-6) \times (-4) = 24$ (cùng dấu nên tích dương). Suy ra $x \times 3 = 24$ . (1)
$(-6) \times (-4) = 24$ (cùng dấu nên tích dương). Suy ra $x \times 3 = 24$. (1)
4
Từ (1), $x = 24 : 3 = 8$ .
Từ (1), $x = 24 : 3 = 8$.
5
Vậy $x = 8$ .
Vậy $x = 8$.

Sai lầm thường gặp

Bẫy dấu âm ở mẫu

Nhiều bạn viết $\frac{-2}{-5}$ và vội cho rằng phân số này âm vì thấy có tới hai dấu trừ. Thực ra hai số âm chia cho nhau cho kết quả dương: $\frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$ . Quy tắc là đếm số dấu trừ — nếu là số chẵn dấu trừ (0 hoặc 2), phân số dương; nếu là số lẻ dấu trừ (1), phân số âm.

Nhiều bạn viết $\frac{-2}{-5}$ và vội cho rằng phân số này âm vì thấy có tới hai dấu trừ. Thực ra hai số âm chia cho nhau cho kết quả dương: $\frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$. Quy tắc là đếm số dấu trừ — nếu là số chẵn dấu trừ (0 hoặc 2), phân số dương; nếu là số lẻ dấu trừ (1), phân số âm.

Luyện tập

Giá trị tuyệt đối của một phân số cũng mở rộng đúng như với số nguyên: khoảng cách từ phân số đó đến 0 trên trục số. $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ — bỏ hết dấu trừ ở cả tử lẫn mẫu. Chẳng hạn $\left|-\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4}$ , đúng bằng khoảng cách từ điểm $-\frac{3}{4}$ đến 0 mà em vừa thấy trên trục số phía trên. Khái niệm này sẽ quay lại trong bài so sánh phân số, khi cần so hai phân số âm với nhau — hai phân số âm có giá trị tuyệt đối càng lớn thì bản thân phân số đó càng nhỏ, giống hệt quy tắc so sánh số nguyên âm.

Giá trị tuyệt đối của một phân số cũng mở rộng đúng như với số nguyên: khoảng cách từ phân số đó đến 0 trên trục số. $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ — bỏ hết dấu trừ ở cả tử lẫn mẫu. Chẳng hạn $\left|-\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4}$, đúng bằng khoảng cách từ điểm $-\frac{3}{4}$ đến 0 mà em vừa thấy trên trục số phía trên. Khái niệm này sẽ quay lại trong bài so sánh phân số, khi cần so hai phân số âm với nhau — hai phân số âm có giá trị tuyệt đối càng lớn thì bản thân phân số đó càng nhỏ, giống hệt quy tắc so sánh số nguyên âm.

Ghi nhớ

Phân số $\frac{a}{b}$ giờ cho phép $a$ , $b$ là số nguyên với $b \neq 0$ . Luôn đưa mẫu về dương trước khi tính toán; đếm số dấu trừ để xác định dấu của cả phân số. Hai phân số bằng nhau khi và chỉ khi tích chéo của chúng bằng nhau, dù tử hay mẫu có âm hay không.

Phân số $\frac{a}{b}$ giờ cho phép $a$, $b$ là số nguyên với $b \neq 0$. Luôn đưa mẫu về dương trước khi tính toán; đếm số dấu trừ để xác định dấu của cả phân số. Hai phân số bằng nhau khi và chỉ khi tích chéo của chúng bằng nhau, dù tử hay mẫu có âm hay không.

Bài tiếp theo dùng đúng ý tưởng tích chéo này để rút gọn một phân số về dạng tối giản — dạng phân số gọn nhất mà em sẽ dùng trong suốt phần còn lại của chương. Quy ước dấu trừ đặt trước cả phân số, mẫu luôn dương, sẽ theo em xuyên suốt mọi bài học tiếp theo của chương này.