Bài học

Quy đồng mẫu số bằng bội chung nhỏ nhất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em quy đồng được mẫu số của hai hoặc ba phân số bất kỳ (kể cả có mẫu âm) bằng cách dùng bội chung nhỏ nhất, và tìm đúng thừa số phụ cho từng phân số.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em rút gọn phân số bằng cách chia tử và mẫu cho ƯCLN — thu nhỏ mẫu lại. Quy đồng làm ngược lại: phóng to mẫu của nhiều phân số cho tới khi chúng bằng nhau, để có thể so sánh hoặc cộng trừ trực tiếp. Công cụ cần dùng là bội chung nhỏ nhất (BCNN), cũng của khóa Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất.

Khởi động

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Vòi A mỗi giờ chảy được $\frac{1}{4}$ bể, vòi B mỗi giờ chảy được $\frac{1}{6}$ bể. Vòi nào chảy nhanh hơn? Nhìn hai mẫu số 4 và 6 khác nhau, mắt thường khó so ngay. Nếu đưa cả hai phân số về cùng một mẫu, câu trả lời sẽ hiện ra tức khắc — đó chính là việc quy đồng mẫu số làm được.

Kiến thức trọng tâm

Vì sao không thể so hay cộng hai phân số khác mẫu ngay lập tức? Mẫu số cho biết đơn vị đo đang dùng — $\frac{1}{4}$ nghĩa là một phần trong bốn phần bằng nhau, còn $\frac{1}{6}$ là một phần trong sáu phần bằng nhau, và "một phần tư bể" với "một phần sáu bể" là hai đơn vị đo khác kích thước nhau. Muốn so sánh hay gộp hai đại lượng, trước hết phải quy chúng về cùng một đơn vị đo — đó chính là lý do phải quy đồng mẫu số trước khi làm bất cứ điều gì khác.

Quy đồng mẫu số nhiều phân số là biến đổi chúng thành các phân số bằng phân số ban đầu nhưng có chung một mẫu số. Mẫu chung gọn nhất chính là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu ban đầu. Quy trình gồm bốn bước: nếu có mẫu âm, đưa về mẫu dương trước; tìm BCNN của các mẫu; với mỗi phân số, tính thừa số phụ bằng BCNN chia cho mẫu của nó; rồi nhân cả tử và mẫu của phân số đó với thừa số phụ tương ứng.

Với hai phân số $\frac{5}{6}$ và $\frac{7}{9}$ : $\text{BCNN}(6, 9) = 18$ . Thừa số phụ của $\frac{5}{6}$ là $18:6=3$ , của $\frac{7}{9}$ là $18:9=2$ . Nhân tương ứng: $\frac{5}{6} = \frac{5\times3}{6\times3} = \frac{15}{18}$ và $\frac{7}{9} = \frac{7\times2}{9\times2} = \frac{14}{18}$ — hai phân số cùng mẫu 18, sẵn sàng để so sánh hay cộng trừ ở các bài sau.

Với hai phân số $\frac{5}{6}$ và $\frac{7}{9}$: $\text{BCNN}(6, 9) = 18$. Thừa số phụ của $\frac{5}{6}$ là $18:6=3$, của $\frac{7}{9}$ là $18:9=2$. Nhân tương ứng: $\frac{5}{6} = \frac{5\times3}{6\times3} = \frac{15}{18}$ và $\frac{7}{9} = \frac{7\times2}{9\times2} = \frac{14}{18}$ — hai phân số cùng mẫu 18, sẵn sàng để so sánh hay cộng trừ ở các bài sau.

Một cách khác cũng cho ra mẫu chung đúng là nhân toàn bộ các mẫu số với nhau, không cần tính BCNN. Với 6 và 9, cách đó cho mẫu chung $6 \times 9 = 54$ , trong khi BCNN chỉ là 18 — nhỏ hơn ba lần. Mẫu càng lớn thì tử càng lớn, càng dễ tính sai và càng mất công rút gọn về sau, nên BCNN luôn là lựa chọn gọn hơn. Chỉ khi hai mẫu không có ước chung nào khác 1 — ví dụ 4 và 9 — thì BCNN mới trùng với tích của chúng, và khi đó dùng cách nào cũng cho cùng một mẫu chung.

Một cách khác cũng cho ra mẫu chung đúng là nhân toàn bộ các mẫu số với nhau, không cần tính BCNN. Với 6 và 9, cách đó cho mẫu chung $6 \times 9 = 54$, trong khi BCNN chỉ là 18 — nhỏ hơn ba lần. Mẫu càng lớn thì tử càng lớn, càng dễ tính sai và càng mất công rút gọn về sau, nên BCNN luôn là lựa chọn gọn hơn. Chỉ khi hai mẫu không có ước chung nào khác 1 — ví dụ 4 và 9 — thì BCNN mới trùng với tích của chúng, và khi đó dùng cách nào cũng cho cùng một mẫu chung.

Một trường hợp riêng đáng nhớ: nếu một phân số đã có mẫu đúng bằng mẫu chung, thừa số phụ của nó là 1 — nghĩa là phân số đó giữ nguyên, không cần nhân gì cả. Chỉ những phân số có mẫu nhỏ hơn mẫu chung mới thực sự cần nhân tử và mẫu với thừa số phụ lớn hơn 1.

Quy trình quy đồng: đưa mẫu dương, tìm BCNN, tính thừa số phụ, nhân tử và mẫu.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Quy đồng hai phân số

1
Quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{5}{6}$ và $\frac{7}{9}$ .
Quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{5}{6}$ và $\frac{7}{9}$.
2
$6 = 2\times3$ , $9 = 3^2$ , nên $\text{BCNN}(6,9) = 2\times3^2 = 18$ .
$6 = 2\times3$, $9 = 3^2$, nên $\text{BCNN}(6,9) = 2\times3^2 = 18$.
3
Thừa số phụ của $\frac{5}{6}$ là $18:6=3$ ; thừa số phụ của $\frac{7}{9}$ là $18:9=2$ .
Thừa số phụ của $\frac{5}{6}$ là $18:6=3$; thừa số phụ của $\frac{7}{9}$ là $18:9=2$.
4
Vậy $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$ và $\frac{7}{9} = \frac{14}{18}$ — hai phân số đã cùng mẫu 18.
Vậy $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$ và $\frac{7}{9} = \frac{14}{18}$ — hai phân số đã cùng mẫu 18.

Ví dụ

Quy đồng ba phân số, có một phân số âm

1
Quy đồng mẫu số ba phân số $\frac{2}{3}$ , $\frac{-5}{9}$ , $\frac{7}{12}$ .
Quy đồng mẫu số ba phân số $\frac{2}{3}$, $\frac{-5}{9}$, $\frac{7}{12}$.
2
$3 = 3$ , $9 = 3^2$ , $12 = 2^2\times3$ , nên $\text{BCNN}(3,9,12) = 2^2\times3^2 = 36$ .
$3 = 3$, $9 = 3^2$, $12 = 2^2\times3$, nên $\text{BCNN}(3,9,12) = 2^2\times3^2 = 36$.
3
$36:3=12$ , $36:9=4$ , $36:12=3$ .
$36:3=12$, $36:9=4$, $36:12=3$.
4
$\frac{2}{3} = \frac{24}{36}$ ; $\frac{-5}{9} = \frac{-20}{36}$ ; $\frac{7}{12} = \frac{21}{36}$ .
$\frac{2}{3} = \frac{24}{36}$; $\frac{-5}{9} = \frac{-20}{36}$; $\frac{7}{12} = \frac{21}{36}$.
5
Vậy ba phân số quy đồng về mẫu chung 36 là $\frac{24}{36}$ , $\frac{-20}{36}$ , $\frac{21}{36}$ .
Vậy ba phân số quy đồng về mẫu chung 36 là $\frac{24}{36}$, $\frac{-20}{36}$, $\frac{21}{36}$.

Ví dụ

Bài toán thực tế: quy đồng để so sánh tốc độ

1
Vòi A mỗi giờ chảy $\frac{1}{4}$ bể, vòi B mỗi giờ chảy $\frac{1}{6}$ bể. Quy đồng hai phân số này để chuẩn bị so sánh.
Vòi A mỗi giờ chảy $\frac{1}{4}$ bể, vòi B mỗi giờ chảy $\frac{1}{6}$ bể. Quy đồng hai phân số này để chuẩn bị so sánh.
2
$\text{BCNN}(4,6) = 12$ .
$\text{BCNN}(4,6) = 12$.
3
$\frac{1}{4} = \frac{1\times3}{4\times3} = \frac{3}{12}$ ; $\frac{1}{6} = \frac{1\times2}{6\times2} = \frac{2}{12}$ .
$\frac{1}{4} = \frac{1\times3}{4\times3} = \frac{3}{12}$; $\frac{1}{6} = \frac{1\times2}{6\times2} = \frac{2}{12}$.
4
Vậy hai phân số quy đồng là $\frac{3}{12}$ và $\frac{2}{12}$ — vì $3 > 2$ , vòi A chảy nhanh hơn vòi B.
Vậy hai phân số quy đồng là $\frac{3}{12}$ và $\frac{2}{12}$ — vì $3 > 2$, vòi A chảy nhanh hơn vòi B.

Ví dụ

Quy đồng khi một mẫu đã là mẫu chung

1
Quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{3}{8}$ và $\frac{5}{4}$ .
Quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{3}{8}$ và $\frac{5}{4}$.
2
$\text{BCNN}(8,4) = 8$ — chính là mẫu lớn hơn trong hai mẫu.
$\text{BCNN}(8,4) = 8$ — chính là mẫu lớn hơn trong hai mẫu.
3
Thừa số phụ của $\frac{3}{8}$ là $8:8=1$ ; thừa số phụ của $\frac{5}{4}$ là $8:4=2$ .
Thừa số phụ của $\frac{3}{8}$ là $8:8=1$; thừa số phụ của $\frac{5}{4}$ là $8:4=2$.
4
Vậy $\frac{3}{8}$ giữ nguyên (nhân với thừa số phụ 1), còn $\frac{5}{4} = \frac{10}{8}$ .
Vậy $\frac{3}{8}$ giữ nguyên (nhân với thừa số phụ 1), còn $\frac{5}{4} = \frac{10}{8}$.

Sai lầm thường gặp

Chỉ nhân tử, quên nhân mẫu

Khi quy đồng $\frac{5}{6}$ về mẫu 18, một lỗi rất hay gặp là chỉ nhân tử với thừa số phụ mà quên nhân luôn mẫu, viết nhầm thành $\frac{15}{6}$ thay vì $\frac{15}{18}$ . Phải luôn nhân cả tử và mẫu với cùng thừa số phụ — chỉ nhân một bên sẽ làm đổi giá trị của phân số. Một lỗi khác là quên rằng phân số đã có mẫu bằng đúng mẫu chung vẫn cần liệt kê lại trong kết quả cuối, dù không phải nhân gì thêm.

Khi quy đồng $\frac{5}{6}$ về mẫu 18, một lỗi rất hay gặp là chỉ nhân tử với thừa số phụ mà quên nhân luôn mẫu, viết nhầm thành $\frac{15}{6}$ thay vì $\frac{15}{18}$. Phải luôn nhân cả tử và mẫu với cùng thừa số phụ — chỉ nhân một bên sẽ làm đổi giá trị của phân số. Một lỗi khác là quên rằng phân số đã có mẫu bằng đúng mẫu chung vẫn cần liệt kê lại trong kết quả cuối, dù không phải nhân gì thêm.

Luyện tập

Ghi nhớ

Quy đồng mẫu số dùng bội chung nhỏ nhất của các mẫu làm mẫu chung. Mỗi phân số nhân cả tử và mẫu với thừa số phụ riêng của nó, bằng BCNN chia cho mẫu ban đầu — không phân số nào được chỉ nhân một vế.

Có mẫu chung rồi, việc so sánh hai hay nhiều phân số chỉ còn là so sánh các tử số — đúng như cách vòi A và vòi B vừa được so sánh ở trên. Bài tiếp theo hệ thống hoá đầy đủ các cách so sánh phân số, kể cả khi có dấu âm.