Bài học

Đặc điểm lăng trụ đứng tam giác và tứ giác

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận biết được đáy, mặt bên, cạnh bên, chiều cao của một lăng trụ đứng tam giác hoặc tứ giác, và giải thích được vì sao hình hộp chữ nhật đã học chỉ là một trường hợp riêng của lăng trụ đứng.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước em đã làm việc với hình hộp chữ nhật: 6 mặt là hình chữ nhật, hai đáy song song và bằng nhau, các cạnh bên vuông góc với đáy. Em cũng cần nhớ tam giác vuông và định lí Pythagore đã học — trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Khởi động

Một chiếc lều trại có mặt cắt ngang hình tam giác, còn hình hộp chữ nhật lại có mặt cắt hình chữ nhật. Cả hai đều có hai đáy song song, các cạnh bên song song và bằng nhau — vậy hộp chữ nhật và lều trại có họ hàng với nhau không, và tên gọi chung của cả họ hình này là gì?

Kiến thức trọng tâm

Lăng trụ đứng là hình có hai mặt đáy là hai đa giác song song và bằng nhau (đáy có thể là tam giác, tứ giác, hoặc đa giác bất kì), các mặt bên là hình chữ nhật, và các cạnh bên song song, bằng nhau, đồng thời vuông góc với hai mặt đáy. Tên lăng trụ gọi theo hình dạng đáy: đáy tam giác gọi là lăng trụ đứng tam giác, đáy tứ giác gọi là lăng trụ đứng tứ giác.

Vì sao mỗi mặt bên của lăng trụ đứng luôn là hình chữ nhật? Mỗi mặt bên được giới hạn bởi một cạnh của đáy dưới, cạnh tương ứng song song và bằng nó ở đáy trên, và hai cạnh bên nối hai đầu mút tương ứng. Vì hai đáy song song và bằng nhau, cạnh đáy dưới và cạnh đáy trên đó song song, bằng nhau; vì cạnh bên vuông góc với đáy, nó cũng vuông góc với cạnh đáy — bốn điều kiện đó gộp lại đúng là định nghĩa của một hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật chính là lăng trụ đứng tứ giác đặc biệt, khi đáy là hình chữ nhật thay vì một tứ giác bất kì — mọi tính chất về mặt bên, cạnh bên đã học ở hai bài trước vẫn đúng nguyên vẹn ở đây, chỉ tổng quát hoá cho đáy có hình dạng khác.

Chiều cao của lăng trụ đứng chính là độ dài cạnh bên — không phải một đoạn nào khác trên đáy. Với hình hộp chữ nhật, chiều cao là cạnh vuông góc với mặt đáy $a \times b$ ; với lăng trụ đứng tam giác, chiều cao là cạnh bên nối hai đỉnh tương ứng của hai đáy tam giác, hoàn toàn tách biệt với chiều cao của bản thân tam giác đáy (đường cao hạ từ một đỉnh xuống cạnh đối diện trong mặt phẳng đáy). Phân biệt rõ hai khái niệm này sẽ tránh nhầm lẫn khi tính diện tích và thể tích ở các bài sau.

Chiều cao của lăng trụ đứng chính là độ dài cạnh bên — không phải một đoạn nào khác trên đáy. Với hình hộp chữ nhật, chiều cao là cạnh vuông góc với mặt đáy $a \times b$; với lăng trụ đứng tam giác, chiều cao là cạnh bên nối hai đỉnh tương ứng của hai đáy tam giác, hoàn toàn tách biệt với chiều cao của bản thân tam giác đáy (đường cao hạ từ một đỉnh xuống cạnh đối diện trong mặt phẳng đáy). Phân biệt rõ hai khái niệm này sẽ tránh nhầm lẫn khi tính diện tích và thể tích ở các bài sau.

Lời giải có hình

Đáy tam giác vuông của lăng trụ đứng

Bước 1

Đây là mặt đáy của một lăng trụ đứng tam giác — tam giác vuông ABC với AB = 3 cm, AC = 4 cm.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Xác định đáy, mặt bên, cạnh bên của lăng trụ đứng tam giác

1
Một lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác. Hãy chỉ ra hai mặt đáy, các mặt bên, và các cạnh bên.
2
Hai mặt đáy là tam giác ABC (đáy dưới) và tam giác A'B'C' (đáy trên), song song và bằng nhau.
3
Ba mặt bên là ABB'A', BCC'B', CAA'C' — mỗi mặt là một hình chữ nhật. Ba cạnh bên là AA', BB', CC', đều vuông góc với hai đáy và bằng nhau, chính là chiều cao của lăng trụ.
4
Vậy lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có 2 đáy tam giác, 3 mặt bên hình chữ nhật, 3 cạnh bên bằng nhau và vuông góc với đáy.

Ví dụ

So sánh lăng trụ đứng tứ giác với hình hộp chữ nhật

1
Một lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành MNPQ (không phải hình chữ nhật). Lăng trụ này có phải là hình hộp chữ nhật không? Vì sao?
2
Hình hộp chữ nhật đòi hỏi đáy phải là hình chữ nhật (bốn góc vuông); ở đây đáy MNPQ chỉ là hình bình hành, các góc chưa chắc vuông.
3
Lăng trụ MNPQ.M'N'P'Q' vẫn là một lăng trụ đứng tứ giác hợp lệ (đáy song song, cạnh bên vuông góc đáy), nhưng không phải hình hộp chữ nhật vì đáy không phải hình chữ nhật.
4
Vậy hình hộp chữ nhật chỉ là MỘT trường hợp của lăng trụ đứng tứ giác — không phải mọi lăng trụ đứng tứ giác đều là hình hộp chữ nhật.

Ví dụ

Đếm mặt, cạnh, đỉnh của lăng trụ đứng tam giác (dạng thi)

1
Một chiếc hộp đựng bánh hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác. Hộp có bao nhiêu mặt, cạnh, đỉnh?
2
Hộp có 2 mặt đáy tam giác và 3 mặt bên hình chữ nhật, tổng cộng 5 mặt.
3
Mỗi đáy tam giác có 3 cạnh, hai đáy cho 6 cạnh; cộng thêm 3 cạnh bên, tổng 9 cạnh. Mỗi đáy có 3 đỉnh, hai đáy cho 6 đỉnh.
4
Vậy hộp bánh lăng trụ đứng tam giác có 5 mặt, 9 cạnh, 6 đỉnh — ít hơn hình hộp chữ nhật (6 mặt, 12 cạnh, 8 đỉnh) vì đáy tam giác có ít cạnh hơn đáy tứ giác.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nghĩ lăng trụ đứng phải có đáy là tam giác — thực ra đáy có thể là bất kì đa giác nào, kể cả hình chữ nhật hoặc hình thang. Cũng đừng nhầm mặt bên của lăng trụ đứng tam giác là tam giác — mặt bên luôn là hình chữ nhật, chỉ có hai mặt đáy mới mang hình dạng đa giác của đáy.

Ghi nhớ

Lăng trụ đứng có hai đáy là đa giác song song, bằng nhau; mặt bên là hình chữ nhật; cạnh bên song song, bằng nhau, vuông góc với đáy. Hình hộp chữ nhật chỉ là lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình chữ nhật.

Bài sau dùng đúng cách trải phẳng mặt bên đã học ở hình hộp chữ nhật, áp dụng cho lăng trụ đứng tam giác và tứ giác nói chung, để tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.