Bài học

Thể tích hình hộp chữ nhật và hình lập phương

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được thể tích của một hình hộp chữ nhật hoặc hình lập phương khi biết kích thước, và giải thích được vì sao thể tích lại bằng tích của ba kích thước, thay vì chỉ ghi nhớ công thức như một quy tắc rời rạc.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã tính được diện tích đáy $S_{đáy} = a \times b$ của hình hộp chữ nhật — con số đó sẽ quay lại ngay trong bài này. Em cũng cần nhớ đơn vị thể tích: $1$ dm³ = $1$ lít, và $1$ m³ = $1000$ lít, dùng khi bài toán hỏi về sức chứa nước hay chất lỏng.

Khởi động

Một hộp đựng đồ chơi hình lập phương cạnh 10 cm được xếp đầy bằng những khối lập phương nhỏ cạnh 1 cm, không hở chỗ nào. Mỗi lớp đáy xếp được bao nhiêu khối nhỏ, và xếp được bao nhiêu lớp như vậy cho đến khi đầy hộp? Đếm được tổng số khối nhỏ, em sẽ hiểu vì sao thể tích lại là dài nhân rộng nhân cao.

Kiến thức trọng tâm

Thể tích của một hình hộp chữ nhật kích thước $a \times b \times h$ được tính bằng $V = a \times b \times h$ . Vì sao lại nhân cả ba số? Hãy hình dung lấp đầy hộp bằng những khối lập phương đơn vị (cạnh 1 đơn vị độ dài). Một lớp đáy, nằm sát mặt đáy $a \times b$ , xếp vừa đúng $a \times b$ khối nhỏ — vì mỗi hàng có $a$ khối, có $b$ hàng như vậy. Xếp chồng lên nhau đủ $h$ lớp thì đầy hộp, nên tổng số khối nhỏ là $(a \times b) \times h$ — và đó chính là thể tích, tính theo đơn vị khối lập phương cạnh 1.

Thể tích của một hình hộp chữ nhật kích thước $a \times b \times h$ được tính bằng $V = a \times b \times h$. Vì sao lại nhân cả ba số? Hãy hình dung lấp đầy hộp bằng những khối lập phương đơn vị (cạnh 1 đơn vị độ dài). Một lớp đáy, nằm sát mặt đáy $a \times b$, xếp vừa đúng $a \times b$ khối nhỏ — vì mỗi hàng có $a$ khối, có $b$ hàng như vậy. Xếp chồng lên nhau đủ $h$ lớp thì đầy hộp, nên tổng số khối nhỏ là $(a \times b) \times h$ — và đó chính là thể tích, tính theo đơn vị khối lập phương cạnh 1.

Nói cách khác, $V = S_{đáy} \times h$ : thể tích bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Với hình lập phương cạnh $a$ , ba kích thước bằng nhau nên $V = a \times a \times a = a^3$ — chỉ là trường hợp riêng của công thức trên khi $a=b=h$ .

Nói cách khác, $V = S_{đáy} \times h$: thể tích bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Với hình lập phương cạnh $a$, ba kích thước bằng nhau nên $V = a \times a \times a = a^3$ — chỉ là trường hợp riêng của công thức trên khi $a=b=h$.

Một điểm dễ mắc lỗi: ba kích thước phải cùng một đơn vị trước khi nhân. Nếu đề cho dài bằng mét mà cao bằng xăng-ti-mét, nhân trực tiếp sẽ ra một con số vô nghĩa, không phải thể tích thật. Vì đơn vị thể tích là luỹ thừa bậc ba của đơn vị độ dài (cm³, dm³, m³), đổi sai một đơn vị độ dài sẽ làm thể tích sai lệch hẳn — không chỉ sai gấp 10 hay 100 lần như với diện tích, mà sai gấp $10^3=1000$ hoặc $100^3$ lần.

Lời giải có hình

Mặt đáy của hình hộp chữ nhật — điểm khởi đầu để tính thể tích

Bước 1

Đây là mặt đáy của hình hộp chữ nhật, kích thước 5 cm × 4 cm.

Mỗi lớp đáy có

5 \times 4 = 20

khối lập phương đơn vị; xếp chồng đủ số lớp bằng chiều cao sẽ cho tổng số khối chính là thể tích.Mỗi lớp đáy có $5 \times 4 = 20$ khối lập phương đơn vị; xếp chồng đủ số lớp bằng chiều cao sẽ cho tổng số khối chính là thể tích.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính thể tích một hình hộp chữ nhật

1
Tính thể tích hình hộp chữ nhật có kích thước 5 cm × 4 cm × 3 cm.
2
$V = a \times b \times h = 5 \times 4 \times 3 = 60$ cm³.
$V = a \times b \times h = 5 \times 4 \times 3 = 60$ cm³.
3
Vậy thể tích hộp là 60 cm³.

Ví dụ

Tính thể tích một hình lập phương

1
Một khối rubik hình lập phương có cạnh 6 cm. Tính thể tích khối rubik.
2
$V = a^3 = 6^3 = 216$ cm³.
$V = a^3 = 6^3 = 216$ cm³.
3
Vậy khối rubik có thể tích 216 cm³.

Ví dụ

Bể nước chứa được bao nhiêu lít (dạng thi)

1
Một bể nước hình hộp chữ nhật dài 2 m, rộng 1,5 m, cao 1 m. Nếu bể chứa đầy nước, bể chứa được bao nhiêu lít nước?
2
$V = 2 \times 1,5 \times 1 = 3$ m³.
$V = 2 \times 1,5 \times 1 = 3$ m³.
3
Vì $1$ m³ = $1000$ lít, nên $V = 3 \times 1000 = 3000$ lít.
Vì $1$ m³ = $1000$ lít, nên $V = 3 \times 1000 = 3000$ lít.
4
Vậy bể chứa đầy được 3000 lít nước.

Ví dụ

Suy ngược từ thể tích ra một kích thước (dạng thi)

1
Một thùng carton hình hộp chữ nhật có đáy 40 cm × 25 cm, thể tích 30000 cm³. Tính chiều cao của thùng.
2
Với $a=40$ cm, $b=25$ cm, chiều cao $h$ (cm, $h>0$ ) thoả $V = a \times b \times h$ , tức $30000 = 40 \times 25 \times h$ .
Với $a=40$ cm, $b=25$ cm, chiều cao $h$ (cm, $h>0$) thoả $V = a \times b \times h$, tức $30000 = 40 \times 25 \times h$.
3
$40 \times 25 = 1000$ , nên $1000 \times h = 30000$ , suy ra $h = 30000 \div 1000 = 30$ .
$40 \times 25 = 1000$, nên $1000 \times h = 30000$, suy ra $h = 30000 \div 1000 = 30$.
4
Vậy chiều cao thùng carton là 30 cm (TMĐK $h>0$ ).
Vậy chiều cao thùng carton là 30 cm (TMĐK $h>0$).

Ví dụ

Cùng diện tích toàn phần, khác thể tích (dạng thi)

1
Hộp M kích thước 6 cm × 6 cm × 6 cm (hình lập phương). Hộp N kích thước 9 cm × 9 cm × 2 cm. Hai hộp có diện tích toàn phần gần bằng nhau không, và hộp nào chứa được nhiều đồ hơn?
2
$S_{tp}^{M} = 6a^2 = 6\times6^2 = 216$ cm².
$S_{tp}^{M} = 6a^2 = 6\times6^2 = 216$ cm².
3
$S_{xq}^{N} = 2(9+9)\times2=72$ cm², hai đáy $2\times81=162$ cm², $S_{tp}^{N}=72+162=234$ cm² — xấp xỉ hộp M.
$S_{xq}^{N} = 2(9+9)\times2=72$ cm², hai đáy $2\times81=162$ cm², $S_{tp}^{N}=72+162=234$ cm² — xấp xỉ hộp M.
4
$V^{M} = 6^3 = 216$ cm³, còn $V^{N} = 9\times9\times2=162$ cm³.
$V^{M} = 6^3 = 216$ cm³, còn $V^{N} = 9\times9\times2=162$ cm³.
5
Vậy dù diện tích toàn phần gần bằng nhau (216 cm² và 234 cm²), hộp M (dạng lập phương, gần vuông vắn) lại chứa nhiều hơn hộp N (dẹt, một kích thước rất nhỏ) — 216 cm³ so với 162 cm³. Hình dạng càng gần khối lập phương, thể tích ứng với cùng một diện tích bề mặt càng lớn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhầm lẫn phổ biến nhất là cộng ba kích thước thay vì nhân, hoặc quên đổi đơn vị khi đề hỏi bằng lít mà kích thước cho bằng mét. Một lỗi khác ít bạn để ý: tưởng hai hộp có diện tích toàn phần bằng nhau thì chứa được lượng đồ như nhau — ví dụ trên cho thấy điều đó không đúng. Luôn kiểm tra đơn vị của cả ba kích thước đã thống nhất trước khi nhân, và đổi đơn vị thể tích (m³, dm³, lít) đúng theo yêu cầu đề bài.

Ghi nhớ

Thể tích hình hộp chữ nhật là V = a×b×h = S_đáy×h; thể tích hình lập phương là V = a³, trường hợp riêng khi ba kích thước bằng nhau. Luôn thống nhất đơn vị trước khi nhân.

Hình hộp chữ nhật là một lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật. Chương sau mở rộng sang lăng trụ đứng có đáy là tam giác hoặc tứ giác bất kì — cùng cách suy luận, chỉ khác hình dạng đáy.