Bài học

Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của một hình hộp chữ nhật hoặc hình lập phương khi biết kích thước, và giải thích được vì sao công thức lại đúng bằng cách trải phẳng hộp thành các mặt rời nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã biết hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật, chia thành 4 mặt bên (đều cao bằng chiều cao hộp) và 2 mặt đáy đối diện. Em cũng cần nhớ công thức tính diện tích hình chữ nhật (dài × rộng) và chu vi hình chữ nhật (tổng bốn cạnh, hay 2 lần tổng dài với rộng).

Khởi động

Một hộp quà hình hộp chữ nhật kích thước 30 cm × 20 cm × 15 cm cần được dán kín giấy gói ở toàn bộ mặt ngoài. Cửa hàng bán giấy gói theo mét vuông — vậy cần mua bao nhiêu giấy? Muốn trả lời, em phải tính được tổng diện tích của cả 6 mặt hộp, không thiếu mặt nào và không tính trùng.

Kiến thức trọng tâm

Diện tích xung quanh $S_{xq}$ là tổng diện tích 4 mặt bên (không kể hai mặt đáy). Bốn mặt bên đều có chiều cao bằng chiều cao $h$ của hộp, còn bề rộng của chúng chính là bốn cạnh của mặt đáy — nếu đáy có kích thước $a \times b$ thì bốn bề rộng đó là $a, b, a, b$ . Cắt bốn mặt bên theo các cạnh đứng rồi trải phẳng ra, chúng nối liền thành một dải hình chữ nhật lớn, cao $h$ , rộng $a+b+a+b = 2(a+b)$ — đúng bằng chu vi đáy. Diện tích dải đó là $S_{xq} = 2(a+b) \times h$ .

Diện tích xung quanh $S_{xq}$ là tổng diện tích 4 mặt bên (không kể hai mặt đáy). Bốn mặt bên đều có chiều cao bằng chiều cao $h$ của hộp, còn bề rộng của chúng chính là bốn cạnh của mặt đáy — nếu đáy có kích thước $a \times b$ thì bốn bề rộng đó là $a, b, a, b$. Cắt bốn mặt bên theo các cạnh đứng rồi trải phẳng ra, chúng nối liền thành một dải hình chữ nhật lớn, cao $h$, rộng $a+b+a+b = 2(a+b)$ — đúng bằng chu vi đáy. Diện tích dải đó là $S_{xq} = 2(a+b) \times h$.

Diện tích toàn phần $S_{tp}$ là diện tích cả 6 mặt, tức là diện tích xung quanh cộng thêm hai mặt đáy (mỗi mặt diện tích $ab$ ): $S_{tp} = S_{xq} + 2ab$ . Với hình lập phương cạnh $a$ , đáy là hình vuông nên $a=b$ ; khi đó $S_{xq} = 4a^2$ và $S_{tp} = 6a^2$ — vẫn là cùng một công thức, chỉ thay $a=b$ .

Diện tích toàn phần $S_{tp}$ là diện tích cả 6 mặt, tức là diện tích xung quanh cộng thêm hai mặt đáy (mỗi mặt diện tích $ab$): $S_{tp} = S_{xq} + 2ab$. Với hình lập phương cạnh $a$, đáy là hình vuông nên $a=b$; khi đó $S_{xq} = 4a^2$ và $S_{tp} = 6a^2$ — vẫn là cùng một công thức, chỉ thay $a=b$.

Lời giải có hình

Trải phẳng hình hộp chữ nhật 5×4×3 cm để tính diện tích

Bước 1

Đây là mặt trước của hình hộp chữ nhật 5 cm × 4 cm × 3 cm — một hình chữ nhật 5 cm × 3 cm.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính Sxq, Stp của một hình hộp chữ nhật

1
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật có kích thước đáy 5 cm × 4 cm, chiều cao 3 cm.
2
Chu vi đáy $2 \times (5+4) = 18$ cm. Diện tích xung quanh $S_{xq} = 18 \times 3 = 54$ cm².
Chu vi đáy $2 \times (5+4) = 18$ cm. Diện tích xung quanh $S_{xq} = 18 \times 3 = 54$ cm².
3
Diện tích một mặt đáy $5 \times 4 = 20$ cm², hai mặt đáy $2 \times 20 = 40$ cm². Diện tích toàn phần $S_{tp} = 54 + 40 = 94$ cm².
Diện tích một mặt đáy $5 \times 4 = 20$ cm², hai mặt đáy $2 \times 20 = 40$ cm². Diện tích toàn phần $S_{tp} = 54 + 40 = 94$ cm².
4
Vậy $S_{xq} = 54$ cm² và $S_{tp} = 94$ cm².
Vậy $S_{xq} = 54$ cm² và $S_{tp} = 94$ cm².

Ví dụ

Tính Sxq, Stp của một hình lập phương

1
Một hình lập phương có cạnh 6 cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.
2
Với hình lập phương, $a=b=6$ cm nên $S_{xq} = 4a^2 = 4 \times 6^2 = 144$ cm².
Với hình lập phương, $a=b=6$ cm nên $S_{xq} = 4a^2 = 4 \times 6^2 = 144$ cm².
3
$S_{tp} = 6a^2 = 6 \times 6^2 = 216$ cm².
$S_{tp} = 6a^2 = 6 \times 6^2 = 216$ cm².
4
Vậy $S_{xq} = 144$ cm² và $S_{tp} = 216$ cm² — đúng bằng công thức hình hộp chữ nhật khi thay $a=b$ .
Vậy $S_{xq} = 144$ cm² và $S_{tp} = 216$ cm² — đúng bằng công thức hình hộp chữ nhật khi thay $a=b$.

Ví dụ

Hộp quà cần dán giấy (dạng thi)

1
Một hộp quà hình hộp chữ nhật kích thước 30 cm × 20 cm × 15 cm cần dán kín giấy gói ở toàn bộ mặt ngoài. Tính diện tích giấy cần dùng, biết giấy không chồng mép.
2
Dán kín toàn bộ mặt ngoài nghĩa là dán cả 6 mặt, nên diện tích giấy cần dùng chính là diện tích toàn phần $S_{tp}$ của hộp.
Dán kín toàn bộ mặt ngoài nghĩa là dán cả 6 mặt, nên diện tích giấy cần dùng chính là diện tích toàn phần $S_{tp}$ của hộp.
3
Với $a=30$ cm, $b=20$ cm, $h=15$ cm: $S_{xq} = 2(30+20) \times 15 = 100 \times 15 = 1500$ cm². Diện tích một mặt đáy $30 \times 20 = 600$ cm², hai mặt đáy $1200$ cm².
Với $a=30$ cm, $b=20$ cm, $h=15$ cm: $S_{xq} = 2(30+20) \times 15 = 100 \times 15 = 1500$ cm². Diện tích một mặt đáy $30 \times 20 = 600$ cm², hai mặt đáy $1200$ cm².
4
Vậy $S_{tp} = 1500 + 1200 = 2700$ cm² — đó là diện tích giấy tối thiểu cần dùng để dán kín hộp quà, chưa kể phần chồng mép khi dán thực tế.
Vậy $S_{tp} = 1500 + 1200 = 2700$ cm² — đó là diện tích giấy tối thiểu cần dùng để dán kín hộp quà, chưa kể phần chồng mép khi dán thực tế.

Ví dụ

So sánh diện tích toàn phần khi thay đổi một kích thước (dạng thi)

1
Hai hộp bìa cứng cùng đáy 6 cm × 4 cm, hộp A cao 5 cm, hộp B cao 8 cm. Hộp nào tốn nhiều bìa hơn để làm toàn bộ vỏ hộp, và tốn hơn bao nhiêu?
2
$S_{xq}^{A} = 2(6+4) \times 5 = 100$ cm². Hai mặt đáy $2 \times 24 = 48$ cm². $S_{tp}^{A} = 100+48=148$ cm².
$S_{xq}^{A} = 2(6+4) \times 5 = 100$ cm². Hai mặt đáy $2 \times 24 = 48$ cm². $S_{tp}^{A} = 100+48=148$ cm².
3
$S_{xq}^{B} = 2(6+4) \times 8 = 160$ cm². Hai mặt đáy vẫn $48$ cm² (đáy không đổi). $S_{tp}^{B} = 160+48=208$ cm².
$S_{xq}^{B} = 2(6+4) \times 8 = 160$ cm². Hai mặt đáy vẫn $48$ cm² (đáy không đổi). $S_{tp}^{B} = 160+48=208$ cm².
4
Vậy hộp B tốn nhiều bìa hơn, tốn hơn hộp A là $208 - 148 = 60$ cm² — đúng bằng phần diện tích xung quanh tăng thêm do chiều cao tăng, vì hai mặt đáy không đổi.
Vậy hộp B tốn nhiều bìa hơn, tốn hơn hộp A là $208 - 148 = 60$ cm² — đúng bằng phần diện tích xung quanh tăng thêm do chiều cao tăng, vì hai mặt đáy không đổi.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất là cộng nhầm cả ba kích thước rồi nhân với chiều cao, hoặc quên nhân đôi khi tính diện tích hai mặt đáy trong Stp. Luôn tách rõ hai bước: tính Sxq từ chu vi đáy, rồi mới cộng thêm đúng hai mặt đáy — không phải một mặt.

Ghi nhớ

Sxq = chu vi đáy × chiều cao = 2(a+b)×h; Stp = Sxq + 2 mặt đáy = 2(a+b)h + 2ab. Hình lập phương chỉ là trường hợp a=b của cùng công thức đó.

Bài sau vẫn dùng đúng hộp này, nhưng chuyển từ đo diện tích bề mặt sang đo sức chứa bên trong — tính thể tích hình hộp chữ nhật và hình lập phương.