Bài học

Đa thức nhiều biến và Đa thức một biến — Ôn tập tổng hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em thu gọn được đơn thức và đa thức nhiều biến, tính được giá trị của một đa thức tại một bộ giá trị cho trước, và sắp xếp, cộng trừ, kiểm tra nghiệm của đa thức một biến — tất cả trong cùng một dòng chảy công cụ đại số của Học kì I lớp 7.

Kiến thức nền cần nhớ

Đơn thức đồng dạng là các đơn thức có cùng phần biến; muốn cộng trừ chúng, ta cộng trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến. Đa thức nhiều biến là tổng của nhiều đơn thức; thu gọn một đa thức nghĩa là gộp các đơn thức đồng dạng lại với nhau. Với đa thức một biến, ta thường sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần của biến trước khi cộng trừ, để dễ nhận ra các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau. Đa thức một biến cũng có thể sắp xếp theo lũy thừa TĂNG dần — cách cộng trừ theo cột vẫn đúng dù chọn chiều nào, miễn là hai đa thức được sắp cùng một chiều với nhau trước khi đặt thẳng cột.

Bậc của một đa thức nhiều biến là bậc lớn nhất trong các đơn thức của nó, SAU KHI đã thu gọn — không được tính bậc khi đa thức còn các đơn thức đồng dạng chưa gộp lại, vì lúc đó bậc có thể bị đếm sai. Ví dụ đa thức $2x^2y - 3xy + 5$ có ba hạng tử với bậc lần lượt là $3$ (hạng tử $2x^2y$ : số mũ của $x$ cộng số mũ của $y$ là $2+1$ ), $2$ (hạng tử $-3xy$ : $1+1$ ), và $0$ (hạng tử tự do $5$ ); bậc của cả đa thức là $3$ — bậc lớn nhất trong ba hạng tử đó.

Bậc của một đa thức nhiều biến là bậc lớn nhất trong các đơn thức của nó, SAU KHI đã thu gọn — không được tính bậc khi đa thức còn các đơn thức đồng dạng chưa gộp lại, vì lúc đó bậc có thể bị đếm sai. Ví dụ đa thức $2x^2y - 3xy + 5$ có ba hạng tử với bậc lần lượt là $3$ (hạng tử $2x^2y$: số mũ của $x$ cộng số mũ của $y$ là $2+1$), $2$ (hạng tử $-3xy$: $1+1$), và $0$ (hạng tử tự do $5$); bậc của cả đa thức là $3$ — bậc lớn nhất trong ba hạng tử đó.

Khởi động

Ở Chương 1, giải một dãy tỉ số bằng nhau, ta đã tìm ra $x = 6$ và $y = 9$ . Hai con số đó không chỉ là đáp số của riêng bài toán tỉ lệ — chúng hoàn toàn có thể đóng vai trò biến số trong một đa thức khác. Việc tính giá trị đa thức tại một điểm không đòi hỏi điểm đó phải "mới tinh", nó có thể đến từ một bài toán trước đó.

Ở Chương 1, giải một dãy tỉ số bằng nhau, ta đã tìm ra $x = 6$ và $y = 9$. Hai con số đó không chỉ là đáp số của riêng bài toán tỉ lệ — chúng hoàn toàn có thể đóng vai trò biến số trong một đa thức khác. Việc tính giá trị đa thức tại một điểm không đòi hỏi điểm đó phải "mới tinh", nó có thể đến từ một bài toán trước đó.

Tính giá trị đa thức nhiều biến

Muốn tính giá trị của một đa thức nhiều biến tại một bộ giá trị cho trước, ta thay từng biến bằng giá trị tương ứng rồi tính theo đúng thứ tự: lũy thừa trước, nhân sau, cộng trừ sau cùng — không khác gì tính một biểu thức số bình thường, chỉ là các số đã được "gói" trong tên biến.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính giá trị đa thức nhiều biến tại giá trị lấy từ dãy tỉ số

1
Cho đa thức $P(x, y) = 2x^2y - 3xy + 5$ . Ở Chương 1, giải dãy tỉ số bằng nhau ta đã tìm được $x = 6$ và $y = 9$ . Tính $P(6, 9)$ .
Cho đa thức $P(x, y) = 2x^2y - 3xy + 5$. Ở Chương 1, giải dãy tỉ số bằng nhau ta đã tìm được $x = 6$ và $y = 9$. Tính $P(6, 9)$.
2
$x^2 = 6^2 = 36$ .
$x^2 = 6^2 = 36$.
3
$2x^2y = 2 \times 36 \times 9 = 648$ ; $3xy = 3 \times 6 \times 9 = 162$ .
$2x^2y = 2 \times 36 \times 9 = 648$; $3xy = 3 \times 6 \times 9 = 162$.
4
Thay vào đa thức: $P(6, 9) = 648 - 162 + 5$ .
Thay vào đa thức: $P(6, 9) = 648 - 162 + 5$.
5
Vậy $P(6, 9) = 491$ .
Vậy $P(6, 9) = 491$.

Ví dụ

Sắp xếp và cộng hai đa thức một biến

1
Cho hai đa thức một biến $A(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 4$ và $B(x) = -3x^3 + 5x^2 - 2x + 7$ . Tính $A(x) + B(x)$ , nêu bậc và hệ số cao nhất của kết quả.
Cho hai đa thức một biến $A(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 4$ và $B(x) = -3x^3 + 5x^2 - 2x + 7$. Tính $A(x) + B(x)$, nêu bậc và hệ số cao nhất của kết quả.
2
Cả hai đa thức đã sắp xếp theo lũy thừa giảm dần, cùng có đủ các bậc từ 3 đến 0 nên đặt thẳng cột trực tiếp.
3
Bậc 3: $3 + (-3) = 0$ . Bậc 2: $-2 + 5 = 3$ . Bậc 1: $1 + (-2) = -1$ . Bậc 0: $-4 + 7 = 3$ .
Bậc 3: $3 + (-3) = 0$. Bậc 2: $-2 + 5 = 3$. Bậc 1: $1 + (-2) = -1$. Bậc 0: $-4 + 7 = 3$.
4
Vì hệ số bậc 3 triệt tiêu, kết quả là $A(x) + B(x) = 3x^2 - x + 3$ .
Vì hệ số bậc 3 triệt tiêu, kết quả là $A(x) + B(x) = 3x^2 - x + 3$.
5
Vậy $A(x) + B(x) = 3x^2 - x + 3$ , có bậc 2 và hệ số cao nhất bằng 3.
Vậy $A(x) + B(x) = 3x^2 - x + 3$, có bậc 2 và hệ số cao nhất bằng 3.

Ví dụ

Kiểm tra nghiệm và tìm nghiệm của đa thức một biến

1
Đặt $C(x) = A(x) + B(x) = 3x^2 - x + 3$ (kết quả ví dụ trên). Kiểm tra $x = 1$ có phải là nghiệm của $C(x)$ không, rồi tìm nghiệm của đa thức bậc nhất $D(x) = 2x - 6$ .
Đặt $C(x) = A(x) + B(x) = 3x^2 - x + 3$ (kết quả ví dụ trên). Kiểm tra $x = 1$ có phải là nghiệm của $C(x)$ không, rồi tìm nghiệm của đa thức bậc nhất $D(x) = 2x - 6$.
2
Theo định nghĩa, $x = a$ là nghiệm của $P(x)$ khi và chỉ khi $P(a) = 0$ . Thay $x = 1$ : $C(1) = 3(1)^2 - 1 + 3 = 3 - 1 + 3 = 5$ .
Theo định nghĩa, $x = a$ là nghiệm của $P(x)$ khi và chỉ khi $P(a) = 0$. Thay $x = 1$: $C(1) = 3(1)^2 - 1 + 3 = 3 - 1 + 3 = 5$.
3
Vì $C(1) = 5 \neq 0$ nên $x = 1$ KHÔNG phải là nghiệm của $C(x)$ .
Vì $C(1) = 5 \neq 0$ nên $x = 1$ KHÔNG phải là nghiệm của $C(x)$.
4
Giải $D(x) = 0$ : $2x - 6 = 0 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3$ . Đa thức bậc nhất có đúng một nghiệm.
Giải $D(x) = 0$: $2x - 6 = 0 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3$. Đa thức bậc nhất có đúng một nghiệm.
5
Vậy $x = 1$ không là nghiệm của $C(x)$ (vì $C(1) = 5$ ); nghiệm duy nhất của $D(x)$ là $x = 3$ .
Vậy $x = 1$ không là nghiệm của $C(x)$ (vì $C(1) = 5$); nghiệm duy nhất của $D(x)$ là $x = 3$.

Ví dụ

Thu gọn đa thức nhiều biến có các hạng tử xáo trộn

1
Thu gọn đa thức $3x^2y - 2xy^2 + 5x^2y + xy^2 - 4$ .
Thu gọn đa thức $3x^2y - 2xy^2 + 5x^2y + xy^2 - 4$.
2
Nhóm theo từng loại phần biến: $(3x^2y + 5x^2y) + (-2xy^2 + xy^2) - 4$ .
Nhóm theo từng loại phần biến: $(3x^2y + 5x^2y) + (-2xy^2 + xy^2) - 4$.
3
$3x^2y + 5x^2y = 8x^2y$ ; $-2xy^2 + xy^2 = -xy^2$ .
$3x^2y + 5x^2y = 8x^2y$; $-2xy^2 + xy^2 = -xy^2$.
4
Vậy đa thức thu gọn là $8x^2y - xy^2 - 4$ , có bậc 3 (hai hạng tử $8x^2y$ và $-xy^2$ đều bậc 3, hạng tử tự do bậc 0).
Vậy đa thức thu gọn là $8x^2y - xy^2 - 4$, có bậc 3 (hai hạng tử $8x^2y$ và $-xy^2$ đều bậc 3, hạng tử tự do bậc 0).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Đơn thức đồng dạng chỉ cần CÙNG phần biến, không cần cùng hệ số — đừng nhầm với "đơn thức bằng nhau". Khi trừ hai đa thức, phải đổi dấu TẤT CẢ các hạng tử của đa thức bị trừ trước khi cộng theo cột, quên đổi dấu một hạng tử là sai cả kết quả.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đơn thức đồng dạng cộng trừ hệ số, giữ nguyên phần biến. Tính giá trị đa thức bằng cách thay số rồi tính đúng thứ tự phép tính. Cộng trừ đa thức một biến bằng cách sắp xếp rồi đặt thẳng cột theo bậc. $x = a$ là nghiệm của $P(x)$ khi và chỉ khi $P(a) = 0$ .

Cầu nối

Nửa chương trình đại số đã ôn xong. Ba chương tiếp theo chuyển sang hình học — bắt đầu từ góc và hai đường thẳng song song, nền tảng để chứng minh mọi bài toán tam giác sau đó.