Bài học

Đại lượng tỉ lệ thuận và Tỉ lệ nghịch — Ôn tập và phân biệt

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận diện đúng một tình huống là đại lượng tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch, và giải được bài toán thực tế tương ứng bằng công thức $y = kx$ hoặc $x y = a$ .

Kiến thức nền cần nhớ

Hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ thuận với nhau nếu $y = kx$ với $k \neq 0$ không đổi — khi $x$ tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì $y$ cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần. Hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ nghịch với nhau nếu $x y = a$ với $a \neq 0$ không đổi — khi $x$ tăng bao nhiêu lần thì $y$ giảm bấy nhiêu lần, vì tích của chúng luôn giữ nguyên.

Khởi động

Cùng một quãng đường, đi nhanh hơn thì mất ít thời gian hơn; cùng một khối lượng công việc, càng nhiều người làm thì càng ít ngày hoàn thành. Hai tình huống này "nghe" giống nhau nhưng bản chất toán học của chúng khác hẳn hai đại lượng tỉ lệ thuận mà em quen — vì sao?

Phân biệt hai loại đại lượng tỉ lệ

Muốn biết một tình huống là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch, đừng nhìn vào việc bài toán có dùng phép nhân hay phép chia — hãy kiểm tra xem đại lượng nào giữ nguyên khi hai đại lượng còn lại thay đổi. Nếu THƯƠNG $\dfrac{y}{x}$ luôn không đổi, đó là tỉ lệ thuận. Nếu TÍCH $x y$ luôn không đổi, đó là tỉ lệ nghịch. Quãng đường không đổi khiến vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau (vì $v \times t =$ quãng đường); còn khi vận tốc không đổi, quãng đường và thời gian lại tỉ lệ thuận (vì $\dfrac{S}{t} = v$ không đổi). Ghi nhớ ngắn gọn: THƯƠNG không đổi là tỉ lệ thuận, TÍCH không đổi là tỉ lệ nghịch — chỉ cần nhớ đúng phép tính nào đứng sau chữ "không đổi" là đủ.

Muốn biết một tình huống là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch, đừng nhìn vào việc bài toán có dùng phép nhân hay phép chia — hãy kiểm tra xem đại lượng nào giữ nguyên khi hai đại lượng còn lại thay đổi. Nếu THƯƠNG $\dfrac{y}{x}$ luôn không đổi, đó là tỉ lệ thuận. Nếu TÍCH $x y$ luôn không đổi, đó là tỉ lệ nghịch. Quãng đường không đổi khiến vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau (vì $v \times t = $ quãng đường); còn khi vận tốc không đổi, quãng đường và thời gian lại tỉ lệ thuận (vì $\dfrac{S}{t} = v$ không đổi). Ghi nhớ ngắn gọn: THƯƠNG không đổi là tỉ lệ thuận, TÍCH không đổi là tỉ lệ nghịch — chỉ cần nhớ đúng phép tính nào đứng sau chữ "không đổi" là đủ.

Hệ số tỉ lệ không phải lúc nào cũng là một con số trừu tượng: trong bài toán tỉ lệ thuận về mua sắm, nó chính là đơn giá của một đơn vị hàng hóa; trong bài toán chuyển động với vận tốc không đổi, nó chính là vận tốc; trong bài toán tỉ lệ nghịch về công việc, hằng số đó là tổng khối lượng công việc tính theo người-ngày. Gắn hệ số với một đại lượng thực tế cụ thể giúp em nhớ công thức lâu hơn, thay vì học thuộc $y = kx$ một cách máy móc.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Bài toán tỉ lệ thuận

1
Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, đi được $15$ km trong $1$ giờ. Hỏi đi $45$ km mất bao lâu, và trong $2{,}5$ giờ đi được bao xa?
Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, đi được $15$ km trong $1$ giờ. Hỏi đi $45$ km mất bao lâu, và trong $2{,}5$ giờ đi được bao xa?
2
Với vận tốc không đổi, quãng đường $y$ (km) và thời gian $x$ (giờ) tỉ lệ thuận theo hệ số $k = 15$ (chính là vận tốc): $y = 15x$ .
Với vận tốc không đổi, quãng đường $y$ (km) và thời gian $x$ (giờ) tỉ lệ thuận theo hệ số $k = 15$ (chính là vận tốc): $y = 15x$.
3
Thay $y = 45$ : $45 = 15x$ , suy ra $x = 3$ (giờ).
Thay $y = 45$: $45 = 15x$, suy ra $x = 3$ (giờ).
4
Thay $x = 2{,}5$ : $y = 15 \times 2{,}5 = 37{,}5$ (km).
Thay $x = 2{,}5$: $y = 15 \times 2{,}5 = 37{,}5$ (km).
5
Vậy đi 45 km mất 3 giờ; trong 2,5 giờ đi được 37,5 km.

Ví dụ

Bài toán tỉ lệ nghịch

1
Một đội 6 công nhân trồng xong một vườn cây trong 12 ngày (năng suất mỗi người như nhau). Nếu đội có 8 công nhân thì trồng xong trong bao nhiêu ngày?
2
Số công nhân và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, vì tích của chúng (tổng khối lượng công việc, tính theo người-ngày) không đổi.
3
Với 6 công nhân, 12 ngày: tích $6 \times 12 = 72$ . Gọi $t$ là số ngày cần khi có 8 công nhân: $8 \times t = 72$ .
Với 6 công nhân, 12 ngày: tích $6 \times 12 = 72$. Gọi $t$ là số ngày cần khi có 8 công nhân: $8 \times t = 72$.
4
Suy ra $t = \dfrac{72}{8} = 9$ .
Suy ra $t = \dfrac{72}{8} = 9$.
5
Vậy đội 8 công nhân trồng xong trong 9 ngày — ít hơn 3 ngày so với ban đầu, hợp lí vì đông người hơn thì xong nhanh hơn.

Ví dụ

Nhận diện đúng loại tỉ lệ trong một tình huống dễ nhầm

1
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc $40$ km/h thì mất $6$ giờ. Hỏi muốn đến B chỉ trong $4$ giờ (đi cùng quãng đường $AB$ ) thì vận tốc phải là bao nhiêu?
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc $40$ km/h thì mất $6$ giờ. Hỏi muốn đến B chỉ trong $4$ giờ (đi cùng quãng đường $AB$) thì vận tốc phải là bao nhiêu?
2
Trên cùng quãng đường $AB$ , tích vận tốc và thời gian luôn bằng quãng đường: $AB = 40 \times 6 = 240$ (km), không đổi dù đi nhanh hay chậm.
Trên cùng quãng đường $AB$, tích vận tốc và thời gian luôn bằng quãng đường: $AB = 40 \times 6 = 240$ (km), không đổi dù đi nhanh hay chậm.
3
Vì tích vận tốc và thời gian không đổi (bằng $AB$ ), nên trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ NGHỊCH — không phải tỉ lệ thuận dù đề nhắc đến "cùng quãng đường".
Vì tích vận tốc và thời gian không đổi (bằng $AB$), nên trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ NGHỊCH — không phải tỉ lệ thuận dù đề nhắc đến "cùng quãng đường".
4
Gọi $v$ là vận tốc cần tìm: $v \times 4 = 240$ , suy ra $v = 60$ (km/h).
Gọi $v$ là vận tốc cần tìm: $v \times 4 = 240$, suy ra $v = 60$ (km/h).
5
Vậy để đến B trong 4 giờ, ô tô phải đi với vận tốc 60 km/h.

Ví dụ

Bài toán mua sắm với đại lượng tỉ lệ thuận

1
Chi phí mua gạo tỉ lệ thuận với khối lượng gạo mua. Mua $3$ kg gạo hết $45\,000$ đồng. Hỏi mua $7$ kg gạo hết bao nhiêu tiền?
Chi phí mua gạo tỉ lệ thuận với khối lượng gạo mua. Mua $3$ kg gạo hết $45\,000$ đồng. Hỏi mua $7$ kg gạo hết bao nhiêu tiền?
2
$k = \dfrac{45\,000}{3} = 15\,000$ (đồng/kg) — đây chính là đơn giá của 1 kg gạo.
$k = \dfrac{45\,000}{3} = 15\,000$ (đồng/kg) — đây chính là đơn giá của 1 kg gạo.
3
Chi phí $= 15\,000 \times 7 = 105\,000$ (đồng).
Chi phí $= 15\,000 \times 7 = 105\,000$ (đồng).
4
Vậy mua 7 kg gạo hết 105 000 đồng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Không phải cứ thấy phép nhân hay phép chia là kết luận ngay tỉ lệ nghịch. Phải kiểm tra thật sự: đại lượng nào không đổi khi hai đại lượng còn lại thay đổi — thương không đổi thì là tỉ lệ thuận, tích không đổi mới là tỉ lệ nghịch. Đoán theo cảm tính rất dễ nhầm hai loại.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Kiểm tra thương $y : x$ trước — nếu không đổi, đó là tỉ lệ thuận $y = kx$ . Nếu thương không đổi mà tích $xy$ không đổi, đó là tỉ lệ nghịch $xy = a$ . Đừng suy đoán bằng cảm tính, hãy kiểm tra đại lượng nào thật sự giữ nguyên.

Kiểm tra thương $y : x$ trước — nếu không đổi, đó là tỉ lệ thuận $y = kx$. Nếu thương không đổi mà tích $xy$ không đổi, đó là tỉ lệ nghịch $xy = a$. Đừng suy đoán bằng cảm tính, hãy kiểm tra đại lượng nào thật sự giữ nguyên.

Cầu nối

Bài tiếp theo rời khỏi các đại lượng biến thiên, quay về ôn đơn thức và đa thức — nơi ta sẽ dùng lại đúng cặp giá trị $x = 6, y = 9$ tìm được từ dãy tỉ số ở Chương 1 để tính giá trị một đa thức nhiều biến.