Bài học

Số hữu tỉ và Số thực — Ôn tập bốn phép tính, lũy thừa, căn bậc hai

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính đúng giá trị của một biểu thức phối hợp nhiều phép tính trên số hữu tỉ và số thực — cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn bậc hai, giá trị tuyệt đối — theo đúng thứ tự ưu tiên, và so sánh được hai số thực khi một trong hai số ở dạng căn bậc hai.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã học riêng từng công cụ này trong sáu chương đầu năm: số hữu tỉ và bốn phép tính, quy tắc dấu ngoặc, lũy thừa với số mũ tự nhiên ở Chương 1 đến Chương 6; số vô tỉ, số thực, giá trị tuyệt đối và căn bậc hai số học ở Chương liền sau đó. Bài ôn tập này không dạy gì mới — nó chỉ đặt các công cụ đó cạnh nhau trong cùng một biểu thức, đúng như đề kiểm tra thường làm.

Khởi động

Một biểu thức đề kiểm tra hiếm khi chỉ có một phép tính. Nó thường trộn dấu ngoặc, một lũy thừa, một căn bậc hai, rồi mới đến cộng trừ nhân chia bình thường. Nếu tính lộn thứ tự, kết quả sai ngay từ bước đầu dù mọi phép tính sau đó đều đúng. Vậy thứ tự nào đứng trước, thứ tự nào đứng sau?

Nhắc lại thứ tự thực hiện phép tính

Trong một biểu thức không có ngoặc, ta tính lũy thừa và căn bậc hai trước, rồi đến nhân chia (trái sang phải), sau cùng mới đến cộng trừ (trái sang phải). Khi có ngoặc, ngoặc tròn được tính trước tiên, dù bên trong nó là phép tính gì. Quy tắc dấu ngoặc vẫn giữ nguyên: mở ngoặc có dấu trừ đứng trước thì đổi dấu tất cả các số hạng bên trong.

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ $x$ được định nghĩa $|x| = x$ nếu $x \geq 0$ và $|x| = -x$ nếu $x < 0$ — nói cách khác, giá trị tuyệt đối luôn không âm, bất kể số bên trong dấu là âm hay dương. Cần phân biệt rõ $-3^2$ với $(-3)^2$ : biểu thức đầu chỉ bình phương số $3$ rồi mới đặt dấu trừ, cho $-9$ ; biểu thức sau bình phương cả số âm $-3$ , cho $9$ . Dấu ngoặc quyết định số nào thật sự bị nâng lũy thừa.

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ $x$ được định nghĩa $|x| = x$ nếu $x \geq 0$ và $|x| = -x$ nếu $x < 0$ — nói cách khác, giá trị tuyệt đối luôn không âm, bất kể số bên trong dấu là âm hay dương. Cần phân biệt rõ $-3^2$ với $(-3)^2$: biểu thức đầu chỉ bình phương số $3$ rồi mới đặt dấu trừ, cho $-9$; biểu thức sau bình phương cả số âm $-3$, cho $9$. Dấu ngoặc quyết định số nào thật sự bị nâng lũy thừa.

Căn bậc hai số học của một số $a \geq 0$ , kí hiệu $\sqrt{a}$ , là số không âm mà bình phương của nó bằng $a$ . Muốn so sánh hai căn bậc hai, ta so sánh hai số dưới dấu căn: nếu $0 \leq a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ . Khi số dưới căn không phải số chính phương, ta ước lượng bằng cách kẹp nó giữa hai số chính phương liền kề — chẳng hạn muốn biết $\sqrt{40}$ nằm khoảng nào, ta thấy $36 < 40 < 49$ nên $6 < \sqrt{40} < 7$ .

Căn bậc hai số học của một số $a \geq 0$, kí hiệu $\sqrt{a}$, là số không âm mà bình phương của nó bằng $a$. Muốn so sánh hai căn bậc hai, ta so sánh hai số dưới dấu căn: nếu $0 \leq a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Khi số dưới căn không phải số chính phương, ta ước lượng bằng cách kẹp nó giữa hai số chính phương liền kề — chẳng hạn muốn biết $\sqrt{40}$ nằm khoảng nào, ta thấy $36 < 40 < 49$ nên $6 < \sqrt{40} < 7$.

Quy tắc dấu ngoặc thường bị bỏ qua khi biểu thức đã quen mắt. Xét $10 - (4 - 7)$ : nếu quên đổi dấu, nhiều bạn tính nhầm thành $10 - 4 - 7 = -1$ ; cách đúng là $10 - (4 - 7) = 10 - 4 + 7 = 13$ , vì dấu trừ đứng trước ngoặc đổi dấu cả hai số hạng bên trong. Quy tắc này áp dụng y hệt cho biểu thức có phân số hay căn bậc hai, không riêng gì số nguyên.

Quy tắc dấu ngoặc thường bị bỏ qua khi biểu thức đã quen mắt. Xét $10 - (4 - 7)$: nếu quên đổi dấu, nhiều bạn tính nhầm thành $10 - 4 - 7 = -1$; cách đúng là $10 - (4 - 7) = 10 - 4 + 7 = 13$, vì dấu trừ đứng trước ngoặc đổi dấu cả hai số hạng bên trong. Quy tắc này áp dụng y hệt cho biểu thức có phân số hay căn bậc hai, không riêng gì số nguyên.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Biểu thức phối hợp phân số, phép chia và lũy thừa

1
Tính $A = \left(-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\right) : \dfrac{2}{9} - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2$ .
Tính $A = \left(-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\right) : \dfrac{2}{9} - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2$.
2
Quy đồng mẫu $12$ : $-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} = -\dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} = \dfrac{1}{12}$ .
Quy đồng mẫu $12$: $-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} = -\dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} = \dfrac{1}{12}$.
3
Ta có $\dfrac{1}{12} : \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{12} \times \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}$ , theo quy tắc chia phân số là nhân với phân số nghịch đảo.
Ta có $\dfrac{1}{12} : \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{12} \times \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}$, theo quy tắc chia phân số là nhân với phân số nghịch đảo.
4
Vì số mũ $2$ là số chẵn nên $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ , kết quả dương dù cơ số âm.
Vì số mũ $2$ là số chẵn nên $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$, kết quả dương dù cơ số âm.
5
Quy đồng mẫu $72$ : $A = \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{27}{72} - \dfrac{8}{72} = \dfrac{19}{72}$ . Vậy $A = \dfrac{19}{72}$ .
Quy đồng mẫu $72$: $A = \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{27}{72} - \dfrac{8}{72} = \dfrac{19}{72}$. Vậy $A = \dfrac{19}{72}$.

Ví dụ

So sánh và ước lượng căn bậc hai trong bài toán thực tế

1
Một mảnh vườn hình vuông có diện tích $225\ \text{m}^2$ . Tính độ dài cạnh, rồi so sánh với cạnh của một mảnh vườn thứ hai có diện tích $230\ \text{m}^2$ .
Một mảnh vườn hình vuông có diện tích $225\ \text{m}^2$. Tính độ dài cạnh, rồi so sánh với cạnh của một mảnh vườn thứ hai có diện tích $230\ \text{m}^2$.
2
Cạnh hình vuông bằng căn bậc hai số học của diện tích: cạnh $= \sqrt{225} = 15$ (m), vì $15^2 = 225$ .
Cạnh hình vuông bằng căn bậc hai số học của diện tích: cạnh $= \sqrt{225} = 15$ (m), vì $15^2 = 225$.
3
Vì $225 < 230$ nên $\sqrt{225} < \sqrt{230}$ , tức là $15 < \sqrt{230}$ — mảnh vườn thứ hai có cạnh dài hơn 15 m.
Vì $225 < 230$ nên $\sqrt{225} < \sqrt{230}$, tức là $15 < \sqrt{230}$ — mảnh vườn thứ hai có cạnh dài hơn 15 m.
4
Vì $15^2 = 225 < 230 < 256 = 16^2$ nên $15 < \sqrt{230} < 16$ : cạnh mảnh vườn thứ hai nằm trong khoảng từ 15 m đến 16 m.
Vì $15^2 = 225 < 230 < 256 = 16^2$ nên $15 < \sqrt{230} < 16$: cạnh mảnh vườn thứ hai nằm trong khoảng từ 15 m đến 16 m.
5
Vậy mảnh vườn thứ nhất có cạnh 15 m; mảnh vườn thứ hai có cạnh lớn hơn 15 m và nhỏ hơn 16 m.

Ví dụ

Biểu thức tổng hợp: giá trị tuyệt đối, căn bậc hai và lũy thừa lẻ

1
Tính $B = |-\dfrac{2}{5}| \times 3 - \sqrt{16} : 2 + (-1)^{2023}$ .
Tính $B = |-\dfrac{2}{5}| \times 3 - \sqrt{16} : 2 + (-1)^{2023}$.
2
$\left|-\dfrac{2}{5}\right| = \dfrac{2}{5}$ , nên $\dfrac{2}{5} \times 3 = \dfrac{6}{5}$ .
$\left|-\dfrac{2}{5}\right| = \dfrac{2}{5}$, nên $\dfrac{2}{5} \times 3 = \dfrac{6}{5}$.
3
$\sqrt{16} = 4$ , và $4 : 2 = 2$ .
$\sqrt{16} = 4$, và $4 : 2 = 2$.
4
Số mũ $2023$ là số lẻ nên $(-1)^{2023} = -1$ , giữ nguyên dấu âm của cơ số.
Số mũ $2023$ là số lẻ nên $(-1)^{2023} = -1$, giữ nguyên dấu âm của cơ số.
5
Cộng trừ trái sang phải: $B = \dfrac{6}{5} - 2 + (-1) = \dfrac{6}{5} - 3 = \dfrac{6 - 15}{5} = -\dfrac{9}{5}$ . Vậy $B = -\dfrac{9}{5}$ .
Cộng trừ trái sang phải: $B = \dfrac{6}{5} - 2 + (-1) = \dfrac{6}{5} - 3 = \dfrac{6 - 15}{5} = -\dfrac{9}{5}$. Vậy $B = -\dfrac{9}{5}$.

Ví dụ

So sánh hai số hữu tỉ âm bằng quy đồng mẫu

1
So sánh $-\dfrac{5}{6}$ và $-\dfrac{7}{9}$ .
So sánh $-\dfrac{5}{6}$ và $-\dfrac{7}{9}$.
2
Mẫu chung là $18$ : $-\dfrac{5}{6} = -\dfrac{15}{18}$ ; $-\dfrac{7}{9} = -\dfrac{14}{18}$ .
Mẫu chung là $18$: $-\dfrac{5}{6} = -\dfrac{15}{18}$; $-\dfrac{7}{9} = -\dfrac{14}{18}$.
3
Vì $-15 < -14$ nên $-\dfrac{15}{18} < -\dfrac{14}{18}$ .
Vì $-15 < -14$ nên $-\dfrac{15}{18} < -\dfrac{14}{18}$.
4
Vậy $-\dfrac{5}{6} < -\dfrac{7}{9}$ — trong hai số hữu tỉ âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì nhỏ hơn.
Vậy $-\dfrac{5}{6} < -\dfrac{7}{9}$ — trong hai số hữu tỉ âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì nhỏ hơn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Nhiều bạn viết $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = -\dfrac{1}{9}$ vì quên rằng số mũ chẵn của một số âm luôn cho kết quả dương. Cũng cần phân biệt $-3^2 = -9$ (chỉ bình phương số 3) với $(-3)^2 = 9$ (bình phương cả số âm) — hai biểu thức trông giống nhau nhưng cho hai kết quả khác dấu.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Trong một biểu thức hỗn hợp: tính trong ngoặc trước, rồi lũy thừa và căn bậc hai, rồi nhân chia, sau cùng mới cộng trừ. Lũy thừa mũ chẵn của số âm luôn dương; lũy thừa mũ lẻ giữ nguyên dấu âm. So sánh căn bậc hai bằng cách so sánh số dưới dấu căn.

Cầu nối

Bài tiếp theo dùng lại chính kĩ năng biến đổi số hữu tỉ này — quy đồng, tính tích chéo — để giải tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, công cụ cho các bài toán chia phần theo tỉ lệ mà đề kiểm tra rất hay khai thác.