Bài học

Chia tỉ lệ giữa ba đại lượng trở lên

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được bài toán chia một tổng (hoặc dùng một hiệu) theo tỉ lệ giữa ba đại lượng trở lên, bằng đúng quy trình dãy tỉ số bằng nhau đã học.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã giải trọn vẹn bài toán chia tỉ lệ với HAI đại lượng. Dãy tỉ số bằng nhau ở bài "Dãy tỉ số bằng nhau" vốn đã viết sẵn cho ba tỉ số $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ — bài này chỉ ghép hai kiến thức đó lại: quy trình chia tỉ lệ, áp dụng cho một dãy có từ ba số hạng trở lên.

Bài trước em đã giải trọn vẹn bài toán chia tỉ lệ với HAI đại lượng. Dãy tỉ số bằng nhau ở bài \"Dãy tỉ số bằng nhau\" vốn đã viết sẵn cho ba tỉ số $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ — bài này chỉ ghép hai kiến thức đó lại: quy trình chia tỉ lệ, áp dụng cho một dãy có từ ba số hạng trở lên.

Khởi động

Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng nhận nhiệm vụ trồng 45 cây, chia theo tỉ lệ số học sinh tham gia lao động là 2 : 3 : 4. Với hai đại lượng, em đã biết cách chia; vậy với BA đại lượng, quy trình có gì thay đổi không?

Kiến thức trọng tâm

Quy trình giữ nguyên hệt bài trước, chỉ khác ở chỗ dãy tỉ số bây giờ có ba (hoặc nhiều hơn) số hạng: dịch tỉ lệ $2:3:4$ giữa ba đại lượng $x, y, z$ thành $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ (ĐK $2, 3, 4 \neq 0$ ), gọi giá trị chung $k$ , dùng tổng (hoặc hiệu giữa hai phần bất kỳ trong ba phần) để tìm $k$ , rồi tính từng phần.

Quy trình giữ nguyên hệt bài trước, chỉ khác ở chỗ dãy tỉ số bây giờ có ba (hoặc nhiều hơn) số hạng: dịch tỉ lệ $2:3:4$ giữa ba đại lượng $x, y, z$ thành $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ (ĐK $2, 3, 4 \neq 0$), gọi giá trị chung $k$, dùng tổng (hoặc hiệu giữa hai phần bất kỳ trong ba phần) để tìm $k$, rồi tính từng phần.

Khi đề bài cho hiệu giữa hai phần thay vì tổng của cả ba, ta vẫn dùng đúng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, chỉ áp dụng cho đúng cặp mẫu số của hai phần đó — ví dụ với $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$ và biết $z - x$ , ta có $\frac{z-x}{4-2}=k$ , không liên quan gì đến mẫu số 3 của $y$ .

Khi đề bài cho hiệu giữa hai phần thay vì tổng của cả ba, ta vẫn dùng đúng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, chỉ áp dụng cho đúng cặp mẫu số của hai phần đó — ví dụ với $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$ và biết $z - x$, ta có $\frac{z-x}{4-2}=k$, không liên quan gì đến mẫu số 3 của $y$.

Bước đối chiếu cuối càng quan trọng hơn khi có ba phần trở lên: cộng đủ cả ba (hoặc bốn) kết quả lại để kiểm tra có đúng bằng tổng đề cho hay không — thiếu một phần trong lúc kiểm tra rất dễ khiến một phép tính sai lọt qua mà không bị phát hiện.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Chia số cây trồng theo tỉ lệ ba lớp

1
Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng trồng tổng cộng 45 cây, chia theo tỉ lệ số học sinh tham gia là 2 : 3 : 4. Tính số cây mỗi lớp phải trồng.
2
Gọi $x, y, z$ lần lượt là số cây của 7A, 7B, 7C. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ , với ĐK $2, 3, 4 \neq 0$ .
Gọi $x, y, z$ lần lượt là số cây của 7A, 7B, 7C. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$, với ĐK $2, 3, 4 \neq 0$.
3
Đặt $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$ . Vì $x+y+z=45$ : $\frac{x+y+z}{2+3+4}=k$ , tức $\frac{45}{9}=k=5$ .
Đặt $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$. Vì $x+y+z=45$: $\frac{x+y+z}{2+3+4}=k$, tức $\frac{45}{9}=k=5$.
4
$x = 2\times 5=10$ (cây); $y=3\times 5=15$ (cây); $z=4\times 5=20$ (cây).
$x = 2\times 5=10$ (cây); $y=3\times 5=15$ (cây); $z=4\times 5=20$ (cây).
5
Vậy 7A trồng 10 cây, 7B trồng 15 cây, 7C trồng 20 cây. Kiểm tra lại: $10+15+20=45$ cây, khớp đề bài.
Vậy 7A trồng 10 cây, 7B trồng 15 cây, 7C trồng 20 cây. Kiểm tra lại: $10+15+20=45$ cây, khớp đề bài.

Ví dụ

Chia kẹo theo tỉ lệ ba phần (dạng thi)

1
Mẹ mua 100 viên kẹo, chia cho ba anh em theo tỉ lệ tuổi là 2 : 3 : 5. Tính số kẹo mỗi người nhận được.
2
Gọi $x, y, z$ lần lượt là số kẹo của anh cả, anh hai, và em út. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ , với ĐK $2, 3, 5 \neq 0$ .
Gọi $x, y, z$ lần lượt là số kẹo của anh cả, anh hai, và em út. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$, với ĐK $2, 3, 5 \neq 0$.
3
Đặt $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=k$ . Vì $x+y+z=100$ : $\frac{x+y+z}{2+3+5}=k$ , tức $\frac{100}{10}=k=10$ .
Đặt $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=k$. Vì $x+y+z=100$: $\frac{x+y+z}{2+3+5}=k$, tức $\frac{100}{10}=k=10$.
4
$x=2\times 10=20$ (viên); $y=3\times 10=30$ (viên); $z=5\times 10=50$ (viên).
$x=2\times 10=20$ (viên); $y=3\times 10=30$ (viên); $z=5\times 10=50$ (viên).
5
Vậy anh cả nhận 20 viên, anh hai nhận 30 viên, em út nhận 50 viên. Kiểm tra lại: $20+30+50=100$ viên, khớp đề bài.
Vậy anh cả nhận 20 viên, anh hai nhận 30 viên, em út nhận 50 viên. Kiểm tra lại: $20+30+50=100$ viên, khớp đề bài.

Ví dụ

Chia sản phẩm khi biết hiệu giữa hai phần (dạng thi)

1
Ba tổ sản xuất theo tỉ lệ 3 : 4 : 5, biết tổ Ba làm nhiều hơn tổ Một 40 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ.
2
Gọi $x, y, z$ lần lượt là số sản phẩm của tổ Một, tổ Hai, tổ Ba. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ , với ĐK $3, 4, 5 \neq 0$ .
Gọi $x, y, z$ lần lượt là số sản phẩm của tổ Một, tổ Hai, tổ Ba. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$, với ĐK $3, 4, 5 \neq 0$.
3
Đặt $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=k$ . Vì $z-x=40$ : $\frac{z-x}{5-3}=k$ , tức $\frac{40}{2}=k=20$ .
Đặt $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=k$. Vì $z-x=40$: $\frac{z-x}{5-3}=k$, tức $\frac{40}{2}=k=20$.
4
$x=3\times 20=60$ ; $y=4\times 20=80$ ; $z=5\times 20=100$ (sản phẩm).
$x=3\times 20=60$; $y=4\times 20=80$; $z=5\times 20=100$ (sản phẩm).
5
Vậy tổ Một làm 60, tổ Hai làm 80, tổ Ba làm 100 sản phẩm. Kiểm tra lại: $100-60=40$ sản phẩm, khớp đề bài.
Vậy tổ Một làm 60, tổ Hai làm 80, tổ Ba làm 100 sản phẩm. Kiểm tra lại: $100-60=40$ sản phẩm, khớp đề bài.

Ví dụ

Mở rộng: chia bốn phần (dạng thi)

1
Bốn tổ trực nhật chia nhau 120 quyển vở phần thưởng theo tỉ lệ số buổi trực là 1 : 2 : 3 : 4. Tính số vở mỗi tổ nhận.
2
Gọi $x_1, x_2, x_3, x_4$ lần lượt là số vở bốn tổ. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x_1}{1} = \frac{x_2}{2} = \frac{x_3}{3} = \frac{x_4}{4}$ , với ĐK $1,2,3,4 \neq 0$ .
Gọi $x_1, x_2, x_3, x_4$ lần lượt là số vở bốn tổ. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x_1}{1} = \frac{x_2}{2} = \frac{x_3}{3} = \frac{x_4}{4}$, với ĐK $1,2,3,4 \neq 0$.
3
Đặt giá trị chung là $k$ . Vì $x_1+x_2+x_3+x_4=120$ : $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{1+2+3+4}=k$ , tức $\frac{120}{10}=k=12$ .
Đặt giá trị chung là $k$. Vì $x_1+x_2+x_3+x_4=120$: $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{1+2+3+4}=k$, tức $\frac{120}{10}=k=12$.
4
$x_1=1\times 12=12$ ; $x_2=2\times 12=24$ ; $x_3=3\times 12=36$ ; $x_4=4\times 12=48$ (quyển).
$x_1=1\times 12=12$; $x_2=2\times 12=24$; $x_3=3\times 12=36$; $x_4=4\times 12=48$ (quyển).
5
Vậy bốn tổ nhận lần lượt 12, 24, 36, 48 quyển vở. Kiểm tra lại: $12+24+36+48=120$ quyển, khớp đề bài.
Vậy bốn tổ nhận lần lượt 12, 24, 36, 48 quyển vở. Kiểm tra lại: $12+24+36+48=120$ quyển, khớp đề bài.

20 : 30 : 50 rút gọn đúng bằng 2 : 3 : 5 — tỉ lệ ban đầu được giữ nguyên sau khi chia thành số kẹo thật.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất khi chia ba phần trở lên là cộng thiếu một mẫu số lúc tìm $k$ — ví dụ tỉ lệ $2:3:4$ mà chỉ cộng $2+4$ rồi quên mất số 3. Một lỗi khác là khi đề cho hiệu giữa hai phần, lại đi chia cho tổng của cả ba mẫu số thay vì chỉ hiệu của đúng hai mẫu số liên quan.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Chia tỉ lệ ba đại lượng trở lên dùng đúng quy trình của hai đại lượng: đặt dãy tỉ số bằng nhau theo đúng tỉ lệ đề cho, gọi giá trị chung $k$ , dùng tổng cả dãy (hoặc hiệu giữa hai phần) để tìm $k$ , rồi tính từng phần và cộng đủ lại để đối chiếu.

Chia tỉ lệ ba đại lượng trở lên dùng đúng quy trình của hai đại lượng: đặt dãy tỉ số bằng nhau theo đúng tỉ lệ đề cho, gọi giá trị chung $k$, dùng tổng cả dãy (hoặc hiệu giữa hai phần) để tìm $k$, rồi tính từng phần và cộng đủ lại để đối chiếu.

Bài ôn tập cuối cùng của khoá kết hợp lại toàn bộ năm kỹ năng đã học — kiểm tra tỉ lệ thức, tìm số hạng chưa biết, dãy tỉ số bằng nhau, và chia tỉ lệ — trong những đề bài tổng hợp đúng phong cách một bài kiểm tra thật.