Bài học

Tỉ lệ thức là gì?

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra một tỉ lệ thức, gọi đúng tên bốn số hạng của nó, và kiểm tra được hai tỉ số cho trước có lập thành tỉ lệ thức hay không.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết so sánh hai phân số bằng cách rút gọn về dạng tối giản hoặc quy đồng mẫu số — kỹ năng này dùng lại xuyên suốt bài. Em cũng cần nhớ: một phân số $\frac{a}{b}$ chỉ có nghĩa khi $b \neq 0$ , vì không tồn tại phép chia cho 0.

Khởi động

Bản đồ hành chính tỉnh treo trong lớp ghi tỉ lệ $1 : 500\,000$ . Cô giáo hỏi: nếu đo trên bản đồ được 8 cm giữa hai thành phố, mà biết khoảng cách thật giữa chúng là 40 km, làm sao kiểm tra tấm bản đồ này có vẽ đúng tỉ lệ đã ghi hay không, mà không cần đo lại bằng tay?

Bản đồ hành chính tỉnh treo trong lớp ghi tỉ lệ $1 : 500\,000$. Cô giáo hỏi: nếu đo trên bản đồ được 8 cm giữa hai thành phố, mà biết khoảng cách thật giữa chúng là 40 km, làm sao kiểm tra tấm bản đồ này có vẽ đúng tỉ lệ đã ghi hay không, mà không cần đo lại bằng tay?

Kiến thức trọng tâm

Đẳng thức giữa hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $b \neq 0$ , $d \neq 0$ ) được gọi là một tỉ lệ thức. Bốn số $a, b, c, d$ gọi là bốn số hạng của tỉ lệ thức; $a$ và $d$ — hai số hạng ở hai đầu — gọi là ngoại tỉ, còn $b$ và $c$ — hai số hạng ở giữa — gọi là trung tỉ. Điều kiện $b \neq 0$ , $d \neq 0$ không phải chi tiết phụ: thiếu nó thì $\frac{a}{b}$ hay $\frac{c}{d}$ còn chưa xác định, nói gì đến việc so sánh chúng có bằng nhau hay không.

Đẳng thức giữa hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $b \neq 0$, $d \neq 0$) được gọi là một tỉ lệ thức. Bốn số $a, b, c, d$ gọi là bốn số hạng của tỉ lệ thức; $a$ và $d$ — hai số hạng ở hai đầu — gọi là ngoại tỉ, còn $b$ và $c$ — hai số hạng ở giữa — gọi là trung tỉ. Điều kiện $b \neq 0$, $d \neq 0$ không phải chi tiết phụ: thiếu nó thì $\frac{a}{b}$ hay $\frac{c}{d}$ còn chưa xác định, nói gì đến việc so sánh chúng có bằng nhau hay không.

Muốn biết hai tỉ số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ có lập thành tỉ lệ thức hay không, ở bài này em dùng cách quen thuộc nhất: rút gọn mỗi tỉ số về dạng tối giản (hoặc quy đồng mẫu số hai tỉ số), rồi so sánh trực tiếp. Hai tỉ số rút gọn ra cùng một phân số tối giản thì bằng nhau, tức lập thành tỉ lệ thức; khác nhau thì không.

Ví dụ trên bản đồ tỉ lệ $1 : 500\,000$ : 8 cm trên giấy ứng với 40 km ngoài thực tế. Đổi 40 km ra cm để cùng đơn vị với số đo trên bản đồ: $40 \text{ km} = 4\,000\,000$ cm. Tỉ số bản đồ trên thực tế là $\frac{8}{4\,000\,000}$ , rút gọn được $\frac{1}{500\,000}$ — đúng bằng tỉ lệ đã ghi trên bản đồ. Vậy $\frac{1}{500\,000} = \frac{8}{4\,000\,000}$ là một tỉ lệ thức, và tấm bản đồ vẽ đúng tỉ lệ.

Ví dụ trên bản đồ tỉ lệ $1 : 500\,000$: 8 cm trên giấy ứng với 40 km ngoài thực tế. Đổi 40 km ra cm để cùng đơn vị với số đo trên bản đồ: $40 \text{ km} = 4\,000\,000$ cm. Tỉ số bản đồ trên thực tế là $\frac{8}{4\,000\,000}$, rút gọn được $\frac{1}{500\,000}$ — đúng bằng tỉ lệ đã ghi trên bản đồ. Vậy $\frac{1}{500\,000} = \frac{8}{4\,000\,000}$ là một tỉ lệ thức, và tấm bản đồ vẽ đúng tỉ lệ.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Kiểm tra hai tỉ số bằng cách rút gọn

1
Xét xem $\frac{3}{4}$ và $\frac{9}{12}$ có lập thành một tỉ lệ thức không.
Xét xem $\frac{3}{4}$ và $\frac{9}{12}$ có lập thành một tỉ lệ thức không.
2
Ta có $\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$ (chia cả tử và mẫu cho ước chung 3).
Ta có $\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$ (chia cả tử và mẫu cho ước chung 3).
3
Cả hai tỉ số cùng bằng $\frac{3}{4}$ , và mẫu số $4$ , $12$ đều khác 0 nên cả hai tỉ số đều xác định.
Cả hai tỉ số cùng bằng $\frac{3}{4}$, và mẫu số $4$, $12$ đều khác 0 nên cả hai tỉ số đều xác định.
4
Vậy $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ là một tỉ lệ thức.
Vậy $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ là một tỉ lệ thức.

Ví dụ

Kiểm tra hai tỉ số không bằng nhau

1
Xét xem $\frac{2}{5}$ và $\frac{6}{16}$ có lập thành một tỉ lệ thức không.
Xét xem $\frac{2}{5}$ và $\frac{6}{16}$ có lập thành một tỉ lệ thức không.
2
Ta có $\frac{6}{16} = \frac{6 \div 2}{16 \div 2} = \frac{3}{8}$ .
Ta có $\frac{6}{16} = \frac{6 \div 2}{16 \div 2} = \frac{3}{8}$.
3
Quy đồng $\frac{2}{5} = \frac{16}{40}$ và $\frac{3}{8} = \frac{15}{40}$ . Hai tử số $16$ và $15$ khác nhau.
Quy đồng $\frac{2}{5} = \frac{16}{40}$ và $\frac{3}{8} = \frac{15}{40}$. Hai tử số $16$ và $15$ khác nhau.
4
Vậy $\frac{2}{5} \neq \frac{6}{16}$ , hai tỉ số này KHÔNG lập thành tỉ lệ thức.
Vậy $\frac{2}{5} \neq \frac{6}{16}$, hai tỉ số này KHÔNG lập thành tỉ lệ thức.

Ví dụ

Kiểm tra tỉ lệ bản đồ (dạng thi)

1
Trên bản đồ tỉ lệ $1 : 500\,000$ , khoảng cách đo được giữa hai thành phố là 8 cm, còn khoảng cách thực tế là 40 km. Viết tỉ số bản đồ trên thực tế cùng đơn vị đo, rồi cho biết nó có lập thành tỉ lệ thức với tỉ lệ đã ghi trên bản đồ không.
Trên bản đồ tỉ lệ $1 : 500\,000$, khoảng cách đo được giữa hai thành phố là 8 cm, còn khoảng cách thực tế là 40 km. Viết tỉ số bản đồ trên thực tế cùng đơn vị đo, rồi cho biết nó có lập thành tỉ lệ thức với tỉ lệ đã ghi trên bản đồ không.
2
Đổi $40 \text{ km} = 40 \times 100\,000 \text{ cm} = 4\,000\,000$ cm.
Đổi $40 \text{ km} = 40 \times 100\,000 \text{ cm} = 4\,000\,000$ cm.
3
Tỉ số bản đồ trên thực tế là $\frac{8}{4\,000\,000} = \frac{1}{500\,000}$ (chia cả tử và mẫu cho 8).
Tỉ số bản đồ trên thực tế là $\frac{8}{4\,000\,000} = \frac{1}{500\,000}$ (chia cả tử và mẫu cho 8).
4
Tỉ lệ ghi trên bản đồ là $\frac{1}{500\,000}$ , đúng bằng tỉ số vừa tính.
Tỉ lệ ghi trên bản đồ là $\frac{1}{500\,000}$, đúng bằng tỉ số vừa tính.
5
Vậy $\frac{1}{500\,000} = \frac{8}{4\,000\,000}$ là một tỉ lệ thức — tấm bản đồ vẽ đúng tỉ lệ đã công bố.
Vậy $\frac{1}{500\,000} = \frac{8}{4\,000\,000}$ là một tỉ lệ thức — tấm bản đồ vẽ đúng tỉ lệ đã công bố.

Ví dụ

Vì sao mẫu số bằng 0 thì không thể lập tỉ lệ thức

1
Xét xem $\frac{5}{0}$ và $\frac{10}{2}$ có thể lập thành một tỉ lệ thức không.
Xét xem $\frac{5}{0}$ và $\frac{10}{2}$ có thể lập thành một tỉ lệ thức không.
2
Tỉ lệ thức đòi hỏi cả hai mẫu số khác 0. Ở đây mẫu của tỉ số thứ nhất là 0.
3
$\frac{5}{0}$ không có nghĩa — không tồn tại phép chia cho 0 — nên bản thân nó chưa phải một tỉ số.
$\frac{5}{0}$ không có nghĩa — không tồn tại phép chia cho 0 — nên bản thân nó chưa phải một tỉ số.
4
Vậy không thể xét $\frac{5}{0}$ và $\frac{10}{2}$ có lập thành tỉ lệ thức hay không, vì điều kiện mẫu khác 0 đã bị vi phạm ngay từ đầu.
Vậy không thể xét $\frac{5}{0}$ và $\frac{10}{2}$ có lập thành tỉ lệ thức hay không, vì điều kiện mẫu khác 0 đã bị vi phạm ngay từ đầu.

Hai thanh 3/4 và 9/12 tô đậm cùng một tỉ lệ dù chia số phần khác nhau — đó chính là điều một tỉ lệ thức khẳng định.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn thấy tử số của tỉ số sau gấp đúng một số lần tử số tỉ số trước là vội kết luận có tỉ lệ thức, mà quên kiểm tra mẫu số cũng phải gấp đúng cùng số lần đó. Chẳng hạn $\frac{2}{3}$ và $\frac{4}{5}$ : tử số 4 gấp đôi tử số 2, nhưng mẫu số 5 không gấp đôi mẫu số 3 — hai tỉ số này không bằng nhau. Một lỗi khác là quên hẳn điều kiện mẫu khác 0, dẫn đến viết những tỉ số vô nghĩa.

Nhiều bạn thấy tử số của tỉ số sau gấp đúng một số lần tử số tỉ số trước là vội kết luận có tỉ lệ thức, mà quên kiểm tra mẫu số cũng phải gấp đúng cùng số lần đó. Chẳng hạn $\frac{2}{3}$ và $\frac{4}{5}$: tử số 4 gấp đôi tử số 2, nhưng mẫu số 5 không gấp đôi mẫu số 3 — hai tỉ số này không bằng nhau. Một lỗi khác là quên hẳn điều kiện mẫu khác 0, dẫn đến viết những tỉ số vô nghĩa.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tỉ lệ thức là đẳng thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ với $b \neq 0$ , $d \neq 0$ ; $a, d$ là ngoại tỉ, $b, c$ là trung tỉ. Kiểm tra hai tỉ số có lập thành tỉ lệ thức bằng cách rút gọn hoặc quy đồng rồi so sánh — luôn kiểm tra mẫu số khác 0 trước tiên.

Tỉ lệ thức là đẳng thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ với $b \neq 0$, $d \neq 0$; $a, d$ là ngoại tỉ, $b, c$ là trung tỉ. Kiểm tra hai tỉ số có lập thành tỉ lệ thức bằng cách rút gọn hoặc quy đồng rồi so sánh — luôn kiểm tra mẫu số khác 0 trước tiên.

Bài học tiếp theo chỉ ra một cách nhanh hơn để kiểm tra và khai thác một tỉ lệ thức, không cần rút gọn từng tỉ số: tính chất cơ bản, liên hệ trực tiếp bốn số hạng bằng một phép nhân chéo.