Bài học

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được tính chất của một dãy tỉ số bằng nhau, và dùng nó để tìm các đại lượng khi biết tổng hoặc hiệu của chúng.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước cho em định nghĩa tỉ lệ thức và tính chất cơ bản $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$ . Bài này không dừng ở hai tỉ số nữa, mà nối liền một dãy nhiều tỉ số cùng bằng nhau — công cụ này quay lại ngay ở hai bài tiếp theo, khi em giải các bài toán chia một tổng tiền, một khối lượng, hay một số lượng theo đúng tỉ lệ cho trước.

Hai bài trước cho em định nghĩa tỉ lệ thức và tính chất cơ bản $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$. Bài này không dừng ở hai tỉ số nữa, mà nối liền một dãy nhiều tỉ số cùng bằng nhau — công cụ này quay lại ngay ở hai bài tiếp theo, khi em giải các bài toán chia một tổng tiền, một khối lượng, hay một số lượng theo đúng tỉ lệ cho trước.

Khởi động

Ba tỉ số $\frac{x}{2}$ , $\frac{y}{3}$ , $\frac{z}{5}$ cùng bằng nhau, và em biết thêm $x+y+z=40$ . Có cách nào tìm ra từng số $x, y, z$ mà không cần đoán không?

Ba tỉ số $\frac{x}{2}$, $\frac{y}{3}$, $\frac{z}{5}$ cùng bằng nhau, và em biết thêm $x+y+z=40$. Có cách nào tìm ra từng số $x, y, z$ mà không cần đoán không?

Kiến thức trọng tâm

Khi ba tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ (với $b, d, f \neq 0$ ), ta gọi giá trị chung của chúng là $k$ : đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$ , suy ra $a = bk$ , $c = dk$ , $e = fk$ . Cộng ba số hạng lại: $a + c + e = bk + dk + fk = (b+d+f)k$ , tức $\frac{a+c+e}{b+d+f} = k$ khi $b+d+f \neq 0$ . Nói cách khác, tổng các tử số trên tổng các mẫu số cũng bằng đúng giá trị chung $k$ của cả dãy — đây là tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Khi ba tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ (với $b, d, f \neq 0$), ta gọi giá trị chung của chúng là $k$: đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$, suy ra $a = bk$, $c = dk$, $e = fk$. Cộng ba số hạng lại: $a + c + e = bk + dk + fk = (b+d+f)k$, tức $\frac{a+c+e}{b+d+f} = k$ khi $b+d+f \neq 0$. Nói cách khác, tổng các tử số trên tổng các mẫu số cũng bằng đúng giá trị chung $k$ của cả dãy — đây là tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Tính chất tương tự đúng với hiệu: $\frac{a-c}{b-d} = k$ khi $b - d \neq 0$ . Cần lưu ý dấu của $k$ : tỉ số nào lớn hơn phụ thuộc vào cả tử lẫn mẫu, nên nếu đề bài cho một hiệu mang dấu ngược với chiều em hình dung ban đầu, giá trị $k$ tìm được sẽ âm — đó không phải sai, chỉ là dấu của $k$ phản ánh đúng quan hệ giữa các số hạng trong đề, và các số hạng suy ra từ $k$ âm vẫn hoàn toàn hợp lệ.

Tính chất tương tự đúng với hiệu: $\frac{a-c}{b-d} = k$ khi $b - d \neq 0$. Cần lưu ý dấu của $k$: tỉ số nào lớn hơn phụ thuộc vào cả tử lẫn mẫu, nên nếu đề bài cho một hiệu mang dấu ngược với chiều em hình dung ban đầu, giá trị $k$ tìm được sẽ âm — đó không phải sai, chỉ là dấu của $k$ phản ánh đúng quan hệ giữa các số hạng trong đề, và các số hạng suy ra từ $k$ âm vẫn hoàn toàn hợp lệ.

Tính chất còn mở rộng cho một tổ hợp có hệ số: với $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$ và $m, n, p$ là các số cho trước, $\frac{m \cdot a + n \cdot c + p \cdot e}{m \cdot b + n \cdot d + p \cdot f} = k$ , miễn là mẫu số $m \cdot b + n \cdot d + p \cdot f \neq 0$ . Đây chính là công cụ dùng khi đề bài cho một biểu thức liên hệ phức tạp hơn tổng hoặc hiệu đơn giản.

Tính chất còn mở rộng cho một tổ hợp có hệ số: với $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$ và $m, n, p$ là các số cho trước, $\frac{m \cdot a + n \cdot c + p \cdot e}{m \cdot b + n \cdot d + p \cdot f} = k$, miễn là mẫu số $m \cdot b + n \cdot d + p \cdot f \neq 0$. Đây chính là công cụ dùng khi đề bài cho một biểu thức liên hệ phức tạp hơn tổng hoặc hiệu đơn giản.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm ba số biết dãy tỉ số bằng nhau và tổng

1
Biết $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ và $x + y + z = 40$ . Tìm $x, y, z$ .
Biết $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ và $x + y + z = 40$. Tìm $x, y, z$.
2
Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k$ , suy ra $x = 2k$ , $y = 3k$ , $z = 5k$ (ĐK các mẫu $2, 3, 5$ đều khác 0, hiển nhiên đúng).
Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k$, suy ra $x = 2k$, $y = 3k$, $z = 5k$ (ĐK các mẫu $2, 3, 5$ đều khác 0, hiển nhiên đúng).
3
$\frac{x+y+z}{2+3+5} = k$ , mà $x+y+z=40$ và $2+3+5=10$ , nên $k = 40 \div 10 = 4$ .
$\frac{x+y+z}{2+3+5} = k$, mà $x+y+z=40$ và $2+3+5=10$, nên $k = 40 \div 10 = 4$.
4
$x = 2 \times 4 = 8$ , $y = 3 \times 4 = 12$ , $z = 5 \times 4 = 20$ .
$x = 2 \times 4 = 8$, $y = 3 \times 4 = 12$, $z = 5 \times 4 = 20$.
5
Vậy $x=8$ , $y=12$ , $z=20$ . Kiểm tra lại: $8+12+20=40$ (khớp đề bài) và $\frac{8}{2}=\frac{12}{3}=\frac{20}{5}=4$ (khớp dãy tỉ số).
Vậy $x=8$, $y=12$, $z=20$. Kiểm tra lại: $8+12+20=40$ (khớp đề bài) và $\frac{8}{2}=\frac{12}{3}=\frac{20}{5}=4$ (khớp dãy tỉ số).

Ví dụ

Tìm hai số biết dãy tỉ số bằng nhau và hiệu

1
Biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ và $x - y = 10$ . Tìm $x, y$ .
Biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ và $x - y = 10$. Tìm $x, y$.
2
Đặt $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = k$ , suy ra $x = 3k$ , $y = 5k$ (ĐK $3 \neq 0$ , $5 \neq 0$ , hiển nhiên đúng).
Đặt $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = k$, suy ra $x = 3k$, $y = 5k$ (ĐK $3 \neq 0$, $5 \neq 0$, hiển nhiên đúng).
3
$\frac{x-y}{3-5} = k$ , mà $x-y=10$ và $3-5=-2$ , nên $k = 10 \div (-2) = -5$ .
$\frac{x-y}{3-5} = k$, mà $x-y=10$ và $3-5=-2$, nên $k = 10 \div (-2) = -5$.
4
$x = 3 \times (-5) = -15$ , $y = 5 \times (-5) = -25$ .
$x = 3 \times (-5) = -15$, $y = 5 \times (-5) = -25$.
5
Vậy $x=-15$ , $y=-25$ . Kiểm tra lại: $x-y=-15-(-25)=10$ (khớp đề bài). Giá trị $k$ âm ở đây là hợp lý: với $\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=k$ và $k>0$ thì $y>x$ (vì $5>3$ ), nên hiệu $x-y$ sẽ âm; đề bài lại cho $x-y=10$ dương, nên $k$ phải âm để khớp đúng chiều đó.
Vậy $x=-15$, $y=-25$. Kiểm tra lại: $x-y=-15-(-25)=10$ (khớp đề bài). Giá trị $k$ âm ở đây là hợp lý: với $\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=k$ và $k>0$ thì $y>x$ (vì $5>3$), nên hiệu $x-y$ sẽ âm; đề bài lại cho $x-y=10$ dương, nên $k$ phải âm để khớp đúng chiều đó.

Ví dụ

Dãy tỉ số bằng nhau với một biểu thức liên hệ có hệ số (dạng thi)

1
Biết $\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6}$ và $2a - b + c = 27$ . Tìm $a, b, c$ .
Biết $\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6}$ và $2a - b + c = 27$. Tìm $a, b, c$.
2
Đặt $\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6} = k$ , suy ra $a=4k$ , $b=5k$ , $c=6k$ (ĐK $4,5,6 \neq 0$ , hiển nhiên đúng).
Đặt $\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6} = k$, suy ra $a=4k$, $b=5k$, $c=6k$ (ĐK $4,5,6 \neq 0$, hiển nhiên đúng).
3
$2a - b + c = 2(4k) - 5k + 6k = 8k - 5k + 6k = 9k$ . Mà đề cho $2a-b+c=27$ , nên $9k=27$ , suy ra $k=3$ .
$2a - b + c = 2(4k) - 5k + 6k = 8k - 5k + 6k = 9k$. Mà đề cho $2a-b+c=27$, nên $9k=27$, suy ra $k=3$.
4
$a = 4 \times 3 = 12$ , $b = 5 \times 3 = 15$ , $c = 6 \times 3 = 18$ .
$a = 4 \times 3 = 12$, $b = 5 \times 3 = 15$, $c = 6 \times 3 = 18$.
5
Vậy $a=12$ , $b=15$ , $c=18$ . Kiểm tra lại: $2(12)-15+18=24-15+18=27$ (khớp đề bài).
Vậy $a=12$, $b=15$, $c=18$. Kiểm tra lại: $2(12)-15+18=24-15+18=27$ (khớp đề bài).

x : y : z = 8 : 12 : 20, rút gọn đúng bằng 2 : 3 : 5 — dãy tỉ số bằng nhau giữ nguyên tỉ lệ ban đầu sau khi tìm ra giá trị thật.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là quên gọi giá trị chung $k$ và cộng thẳng các mẫu số với các tử số lẫn lộn. Một lỗi khác là quên đối chiếu dấu: khi đề bài cho hiệu mà kết quả $k$ ra âm, nhiều bạn nghĩ mình tính sai và cố sửa lại cho $k$ dương — trong khi $k$ âm hoàn toàn có thể đúng, miễn là kiểm tra lại thỏa mãn đúng điều kiện đề cho.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$ ( $b,d,f \neq 0$ ), ta có $\frac{a+c+e}{b+d+f}=k$ và $\frac{a-c}{b-d}=k$ (khi $b-d \neq 0$ ), kể cả với một tổ hợp có hệ số $m,n,p$ . Luôn gọi giá trị chung $k$ trước, biểu diễn từng đại lượng theo $k$ , rồi mới thay vào điều kiện đề cho.

Với dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$ ($b,d,f \neq 0$), ta có $\frac{a+c+e}{b+d+f}=k$ và $\frac{a-c}{b-d}=k$ (khi $b-d \neq 0$), kể cả với một tổ hợp có hệ số $m,n,p$. Luôn gọi giá trị chung $k$ trước, biểu diễn từng đại lượng theo $k$, rồi mới thay vào điều kiện đề cho.

Hai bài tiếp theo dùng đúng công cụ này để giải trọn vẹn một dạng bài rất hay gặp trong đề kiểm tra: chia một tổng — tiền, số lượng, khối lượng công việc — theo một tỉ lệ cho trước.