Bài học

Đơn thức nhiều biến — khái niệm và bậc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra được một biểu thức có phải là đơn thức nhiều biến hay không, chỉ ra đúng hệ số và phần biến của nó, và tính đúng bậc của một đơn thức.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 7 em đã làm quen với đơn thức một biến, dạng $ax^n$ với $a$ là một số và $n$ là số mũ tự nhiên, chẳng hạn $3x^2$ hay $-5x^4$ . Em cũng đã biết quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ . Lớp 8 mở rộng đơn thức sang nhiều biến cùng một lúc — thay vì chỉ có $x$ , biểu thức có thể chứa cả $x$ , $y$ , $z$ trộn với nhau, và quy tắc cộng số mũ vẫn đúng nguyên như vậy.

Ở lớp 7 em đã làm quen với đơn thức một biến, dạng $ax^n$ với $a$ là một số và $n$ là số mũ tự nhiên, chẳng hạn $3x^2$ hay $-5x^4$. Em cũng đã biết quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Lớp 8 mở rộng đơn thức sang nhiều biến cùng một lúc — thay vì chỉ có $x$, biểu thức có thể chứa cả $x$, $y$, $z$ trộn với nhau, và quy tắc cộng số mũ vẫn đúng nguyên như vậy.

Khởi động

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu gọi chiều rộng là $x$ (mét), diện tích mảnh đất viết là $2x \cdot x = 2x^2$ . Còn nếu mảnh đất không vuông mà là một khối hộp chữ nhật với ba cạnh $x$ , $y$ , $z$ khác nhau, thể tích sẽ là $xyz$ — một biểu thức có tới ba chữ cái trộn lại. Biểu thức kiểu này gọi là gì, và làm sao biết nó "lớn" cỡ nào?

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu gọi chiều rộng là $x$ (mét), diện tích mảnh đất viết là $2x \cdot x = 2x^2$. Còn nếu mảnh đất không vuông mà là một khối hộp chữ nhật với ba cạnh $x$, $y$, $z$ khác nhau, thể tích sẽ là $xyz$ — một biểu thức có tới ba chữ cái trộn lại. Biểu thức kiểu này gọi là gì, và làm sao biết nó "lớn" cỡ nào?

Kiến thức trọng tâm

Đơn thức nhiều biến là một biểu thức chỉ gồm phép nhân giữa một số và các biến, mỗi biến được nâng lên một lũy thừa với số mũ tự nhiên. Chẳng hạn $3x^2y$ , $-5xy^3z$ , $7x^4$ đều là đơn thức nhiều biến; riêng $7x^4$ tuy chỉ có một biến nhưng vẫn thuộc nhóm này vì định nghĩa không đòi hỏi phải có ít nhất hai biến. Mỗi đơn thức gồm hai phần: hệ số là thừa số bằng số đứng trước, và phần biến là tích các lũy thừa của biến. Ở $3x^2y$ , hệ số là $3$ , phần biến là $x^2y$ .

Đơn thức nhiều biến là một biểu thức chỉ gồm phép nhân giữa một số và các biến, mỗi biến được nâng lên một lũy thừa với số mũ tự nhiên. Chẳng hạn $3x^2y$, $-5xy^3z$, $7x^4$ đều là đơn thức nhiều biến; riêng $7x^4$ tuy chỉ có một biến nhưng vẫn thuộc nhóm này vì định nghĩa không đòi hỏi phải có ít nhất hai biến. Mỗi đơn thức gồm hai phần: hệ số là thừa số bằng số đứng trước, và phần biến là tích các lũy thừa của biến. Ở $3x^2y$, hệ số là $3$, phần biến là $x^2y$.

Bậc của một đơn thức (khác $0$ ) bằng tổng số mũ của tất cả các biến có mặt trong nó. Với $3x^2y$ , số mũ của $x$ là $2$ , số mũ của $y$ được ngầm hiểu là $1$ (vì $y = y^1$ ), nên bậc bằng $2 + 1 = 3$ . Với $-5xy^3z$ , cộng cả ba số mũ $1 + 3 + 1 = 5$ , đơn thức này có bậc $5$ . Riêng một số khác $0$ đứng một mình, chẳng hạn $-9$ , cũng được xem là một đơn thức — nó không chứa biến nào cả nên bậc của nó bằng $0$ . Trường hợp đặc biệt là đơn thức $0$ : sách giáo khoa quy ước không xác định bậc của số $0$ , vì vậy khi làm bài em chỉ nói đến bậc của đơn thức khác $0$ .

Bậc của một đơn thức (khác $0$) bằng tổng số mũ của tất cả các biến có mặt trong nó. Với $3x^2y$, số mũ của $x$ là $2$, số mũ của $y$ được ngầm hiểu là $1$ (vì $y = y^1$), nên bậc bằng $2 + 1 = 3$. Với $-5xy^3z$, cộng cả ba số mũ $1 + 3 + 1 = 5$, đơn thức này có bậc $5$. Riêng một số khác $0$ đứng một mình, chẳng hạn $-9$, cũng được xem là một đơn thức — nó không chứa biến nào cả nên bậc của nó bằng $0$. Trường hợp đặc biệt là đơn thức $0$: sách giáo khoa quy ước không xác định bậc của số $0$, vì vậy khi làm bài em chỉ nói đến bậc của đơn thức khác $0$.

Không phải biểu thức nào có chứa chữ và dấu nhân cũng là đơn thức. Nếu biến xuất hiện ở mẫu — ví dụ $\dfrac{2x}{y}$ — thì đây không còn là đơn thức nữa, vì định nghĩa chỉ cho phép nhân các lũy thừa với số mũ tự nhiên, không cho phép chia cho biến. Muốn kiểm tra nhanh một biểu thức, em hỏi hai câu: nó chỉ gồm phép nhân giữa số và biến không, và mỗi biến có nâng lên số mũ tự nhiên (không âm, không phải phân số) không. Chỉ khi cả hai câu trả lời đều là có, biểu thức đó mới là một đơn thức.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Xác định hệ số, phần biến và bậc của một đơn thức

1
Cho đơn thức $3x^2y$ . Xác định hệ số, phần biến và bậc của nó.
Cho đơn thức $3x^2y$. Xác định hệ số, phần biến và bậc của nó.
2
Thừa số bằng số đứng trước là $3$ , nên hệ số của đơn thức là $3$ . Phần còn lại $x^2y$ là tích các lũy thừa của biến, nên phần biến là $x^2y$ .
Thừa số bằng số đứng trước là $3$, nên hệ số của đơn thức là $3$. Phần còn lại $x^2y$ là tích các lũy thừa của biến, nên phần biến là $x^2y$.
3
Số mũ của $x$ là $2$ , số mũ của $y$ là $1$ (ngầm hiểu vì $y = y^1$ ). Theo định nghĩa bậc của đơn thức, ta cộng hai số mũ này: $2 + 1 = 3$ .
Số mũ của $x$ là $2$, số mũ của $y$ là $1$ (ngầm hiểu vì $y = y^1$). Theo định nghĩa bậc của đơn thức, ta cộng hai số mũ này: $2 + 1 = 3$.
4
Vậy đơn thức $3x^2y$ có hệ số $3$ , phần biến $x^2y$ , và có bậc $3$ .
Vậy đơn thức $3x^2y$ có hệ số $3$, phần biến $x^2y$, và có bậc $3$.

Ví dụ

Tính bậc của nhiều đơn thức khác dạng

1
Tìm bậc của mỗi đơn thức sau: $-5xy^3z$ , $7x^4$ và $-9$ .
Tìm bậc của mỗi đơn thức sau: $-5xy^3z$, $7x^4$ và $-9$.
2
Số mũ của $x$ , $y$ , $z$ lần lượt là $1$ , $3$ , $1$ . Theo định nghĩa bậc, ta có $1 + 3 + 1 = 5$ , nên đơn thức này có bậc $5$ .
Số mũ của $x$, $y$, $z$ lần lượt là $1$, $3$, $1$. Theo định nghĩa bậc, ta có $1 + 3 + 1 = 5$, nên đơn thức này có bậc $5$.
3
Đơn thức chỉ có một biến $x$ với số mũ $4$ , nên bậc của nó chính là số mũ đó: bậc $4$ . Không có biến nào khác để cộng thêm.
Đơn thức chỉ có một biến $x$ với số mũ $4$, nên bậc của nó chính là số mũ đó: bậc $4$. Không có biến nào khác để cộng thêm.
4
Đây là một số khác $0$ , không chứa biến nào cả. Theo quy ước, một đơn thức chỉ là một số khác $0$ thì có bậc bằng $0$ .
Đây là một số khác $0$, không chứa biến nào cả. Theo quy ước, một đơn thức chỉ là một số khác $0$ thì có bậc bằng $0$.
5
Vậy $-5xy^3z$ có bậc $5$ , $7x^4$ có bậc $4$ , và $-9$ có bậc $0$ — càng nhiều biến và số mũ cao, đơn thức càng có bậc lớn, còn một mình một số thì bậc luôn bằng $0$ .
Vậy $-5xy^3z$ có bậc $5$, $7x^4$ có bậc $4$, và $-9$ có bậc $0$ — càng nhiều biến và số mũ cao, đơn thức càng có bậc lớn, còn một mình một số thì bậc luôn bằng $0$.

Ví dụ

Phân loại đơn thức trong một danh sách hỗn hợp (dạng thi)

1
Trong ba biểu thức $x^2y$ , $\dfrac{2x}{y}$ , $-4xyz^2$ , biểu thức nào là đơn thức nhiều biến? Với mỗi đơn thức, cho biết bậc của nó.
Trong ba biểu thức $x^2y$, $\dfrac{2x}{y}$, $-4xyz^2$, biểu thức nào là đơn thức nhiều biến? Với mỗi đơn thức, cho biết bậc của nó.
2
Biểu thức này chỉ gồm phép nhân giữa biến $x$ (mũ $2$ ) và biến $y$ (mũ $1$ ), không có biến ở mẫu, nên $x^2y$ là một đơn thức. Bậc của nó là $2 + 1 = 3$ .
Biểu thức này chỉ gồm phép nhân giữa biến $x$ (mũ $2$) và biến $y$ (mũ $1$), không có biến ở mẫu, nên $x^2y$ là một đơn thức. Bậc của nó là $2 + 1 = 3$.
3
Biểu thức này có biến $y$ nằm ở mẫu — tức là chia cho $y$ chứ không phải nhân với một lũy thừa tự nhiên của $y$ . Theo định nghĩa, đây KHÔNG phải là một đơn thức.
Biểu thức này có biến $y$ nằm ở mẫu — tức là chia cho $y$ chứ không phải nhân với một lũy thừa tự nhiên của $y$. Theo định nghĩa, đây KHÔNG phải là một đơn thức.
4
Biểu thức chỉ gồm phép nhân giữa $x$ (mũ $1$ ), $y$ (mũ $1$ ) và $z$ (mũ $2$ ), nên $-4xyz^2$ là một đơn thức. Bậc của nó là $1 + 1 + 2 = 4$ .
Biểu thức chỉ gồm phép nhân giữa $x$ (mũ $1$), $y$ (mũ $1$) và $z$ (mũ $2$), nên $-4xyz^2$ là một đơn thức. Bậc của nó là $1 + 1 + 2 = 4$.
5
Vậy trong ba biểu thức đã cho, $x^2y$ (bậc 3) và $-4xyz^2$ (bậc 4) là đơn thức nhiều biến; riêng $\dfrac{2x}{y}$ không phải đơn thức vì có biến ở mẫu.
Vậy trong ba biểu thức đã cho, $x^2y$ (bậc 3) và $-4xyz^2$ (bậc 4) là đơn thức nhiều biến; riêng $\dfrac{2x}{y}$ không phải đơn thức vì có biến ở mẫu.

Ví dụ

Phát hiện lỗi khi tính bậc của đơn thức (dạng thi)

1
Bạn Nam nói: "Đơn thức có phần biến $x^3y^2$ thì có bậc bằng 8, vì $3 \times 2 = 6$ rồi cộng thêm $2$ biến nên là $8$ ." Bạn Nam nói đúng hay sai? Nếu sai, hãy tính lại cho đúng.
Bạn Nam nói: "Đơn thức có phần biến $x^3y^2$ thì có bậc bằng 8, vì $3 \times 2 = 6$ rồi cộng thêm $2$ biến nên là $8$." Bạn Nam nói đúng hay sai? Nếu sai, hãy tính lại cho đúng.
2
Theo định nghĩa, bậc của đơn thức bằng TỔNG các số mũ của phần biến, chứ không phải tích các số mũ rồi cộng thêm số lượng biến. Cách làm của bạn Nam không đúng định nghĩa này.
3
Phần biến $x^3y^2$ có số mũ của $x$ là $3$ và số mũ của $y$ là $2$ . Cộng hai số mũ này: $3 + 2 = 5$ .
Phần biến $x^3y^2$ có số mũ của $x$ là $3$ và số mũ của $y$ là $2$. Cộng hai số mũ này: $3 + 2 = 5$.
4
Vậy bạn Nam nói sai. Đơn thức có phần biến $x^3y^2$ có bậc đúng là $5$ , không phải $8$ — bậc là tổng các số mũ, không phải tích.
Vậy bạn Nam nói sai. Đơn thức có phần biến $x^3y^2$ có bậc đúng là $5$, không phải $8$ — bậc là tổng các số mũ, không phải tích.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là quên số mũ ngầm hiểu bằng $1$ : nhiều bạn tính bậc của $3x^2y$ chỉ bằng $2$ (quên cộng thêm $1$ của $y$ ). Một sai lầm khác là nhầm lẫn đơn thức với biểu thức có biến ở mẫu — cứ thấy có chữ là gọi là đơn thức mà không kiểm tra biến có nằm ở mẫu hay không.

Sai lầm thường gặp nhất là quên số mũ ngầm hiểu bằng $1$: nhiều bạn tính bậc của $3x^2y$ chỉ bằng $2$ (quên cộng thêm $1$ của $y$). Một sai lầm khác là nhầm lẫn đơn thức với biểu thức có biến ở mẫu — cứ thấy có chữ là gọi là đơn thức mà không kiểm tra biến có nằm ở mẫu hay không.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đơn thức nhiều biến là tích của một hệ số và các lũy thừa của biến (số mũ tự nhiên). Bậc của đơn thức khác $0$ bằng tổng các số mũ của phần biến; một số khác $0$ đứng một mình có bậc $0$ . Biến nằm ở mẫu thì biểu thức không còn là đơn thức.

Đơn thức nhiều biến là tích của một hệ số và các lũy thừa của biến (số mũ tự nhiên). Bậc của đơn thức khác $0$ bằng tổng các số mũ của phần biến; một số khác $0$ đứng một mình có bậc $0$. Biến nằm ở mẫu thì biểu thức không còn là đơn thức.

Bài sau ghép nhiều đơn thức lại với nhau bằng phép cộng, tạo thành một đa thức nhiều biến — và em sẽ học cách gom các đơn thức "cùng loại" để rút gọn nó.