Bài học

Ôn tập — Đa thức nhiều biến

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp được cả năm kỹ năng đã học của khóa — nhận biết và tính bậc đơn thức, thu gọn đa thức, cộng trừ đa thức, nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức — trong cùng một bài toán tổng hợp đúng phong cách đề kiểm tra.

Kiến thức nền cần nhớ

Đây là bài ôn tập, không có kiến thức mới nào cả. Em cần nhớ lại toàn bộ năm bài trước: cách tính bậc đơn thức (Chương 1), thu gọn đa thức bằng gộp hạng tử đồng dạng (Chương 2), quy tắc dấu ngoặc khi cộng trừ (Chương 3), phân phối đơn thức cho đa thức (Chương 4), và nhân từng cặp hạng tử khi nhân hai đa thức (Chương 5).

Khởi động

Trong đề kiểm tra giữa kỳ, một bài toán hiếm khi chỉ hỏi đúng một kỹ năng — thường nó ghép hai, ba bước lại: rút gọn rồi cộng, nhân rồi trừ, hoặc nhân xong mới thay số. Muốn làm chủ dạng bài này, em cần nhận ra NGAY từ đề bài xem cần dùng công cụ nào trước, công cụ nào sau — giống như xếp đúng thứ tự các bước trên một dây chuyền.

Quy trình giải một bài toán tổng hợp

Khi gặp một biểu thức phức tạp gồm nhiều đa thức, em không cần công cụ mới nào — chỉ cần làm đúng thứ tự các bước đã học: trước tiên xác định từng đơn thức, phần biến và bậc của chúng; tiếp theo thu gọn mỗi đa thức riêng lẻ bằng cách gộp hạng tử đồng dạng; sau đó thực hiện đúng phép toán đề yêu cầu — cộng, trừ, hoặc nhân — theo thứ tự đề đưa ra; cuối cùng thu gọn kết quả và đối chiếu lại với câu hỏi của đề trước khi kết luận.

Một điểm học sinh hay bỏ sót: khi đề bài kết hợp CẢ nhân LẪN trừ trong cùng một biểu thức, phải nhân trước, thu gọn kết quả phép nhân đó thành một đa thức hoàn chỉnh, rồi mới đưa vào ngoặc để trừ — không được trừ từng hạng tử riêng lẻ ngay trong lúc đang nhân, dễ gây nhầm lẫn dấu.

Một câu hỏi tổng hợp thường kết thúc bằng yêu cầu thay số để tính giá trị — lúc này em chỉ cần đúng kết quả đã thu gọn ở bước trước, không cần quay lại tính từ dạng chưa rút gọn. Rút gọn xong rồi mới thay số bao giờ cũng nhanh và ít sai hơn thay số ngay vào biểu thức cồng kềnh ban đầu, vì lúc đó chỉ còn vài hạng tử thay vì hàng chục phép nhân riêng lẻ.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Cộng hai đa thức và xác định bậc kết quả

1
Cho $A = 2x^2y - xy^2 + 3$ và $B = -x^2y + 4xy^2 - 5$ . Tính $A + B$ và cho biết bậc của kết quả.
Cho $A = 2x^2y - xy^2 + 3$ và $B = -x^2y + 4xy^2 - 5$. Tính $A + B$ và cho biết bậc của kết quả.
2
$A+B = 2x^2y - xy^2 + 3 - x^2y + 4xy^2 - 5$ . Nhóm $x^2y$ : $2-1=1$ . Nhóm $xy^2$ : $-1+4=3$ . Nhóm số: $3-5=-2$ . Kết quả $x^2y + 3xy^2 - 2$ .
$A+B = 2x^2y - xy^2 + 3 - x^2y + 4xy^2 - 5$. Nhóm $x^2y$: $2-1=1$. Nhóm $xy^2$: $-1+4=3$. Nhóm số: $3-5=-2$. Kết quả $x^2y + 3xy^2 - 2$.
3
Hai hạng tử $x^2y$ và $3xy^2$ đều có bậc $2+1=3$ , số hạng tự do có bậc $0$ . Bậc lớn nhất là $3$ .
Hai hạng tử $x^2y$ và $3xy^2$ đều có bậc $2+1=3$, số hạng tự do có bậc $0$. Bậc lớn nhất là $3$.
4
Vậy $A + B = x^2y + 3xy^2 - 2$ , có bậc $3$ .
Vậy $A + B = x^2y + 3xy^2 - 2$, có bậc $3$.

Ví dụ

Trừ hai đa thức đã cho ở ví dụ trên

1
Với $A$ , $B$ như ví dụ trước, tính $A - B$ .
Với $A$, $B$ như ví dụ trước, tính $A - B$.
2
$A - B = 2x^2y - xy^2 + 3 - (-x^2y + 4xy^2 - 5) = 2x^2y - xy^2 + 3 + x^2y - 4xy^2 + 5$ .
$A - B = 2x^2y - xy^2 + 3 - (-x^2y + 4xy^2 - 5) = 2x^2y - xy^2 + 3 + x^2y - 4xy^2 + 5$.
3
Nhóm $x^2y$ : $2+1=3$ . Nhóm $xy^2$ : $-1-4=-5$ . Nhóm số: $3+5=8$ . Kết quả $3x^2y - 5xy^2 + 8$ .
Nhóm $x^2y$: $2+1=3$. Nhóm $xy^2$: $-1-4=-5$. Nhóm số: $3+5=8$. Kết quả $3x^2y - 5xy^2 + 8$.
4
Vậy $A - B = 3x^2y - 5xy^2 + 8$ .
Vậy $A - B = 3x^2y - 5xy^2 + 8$.

Ví dụ

Phối hợp nhân đa thức và trừ đa thức rồi tính giá trị (dạng thi)

1
Tính giá trị của biểu thức $M = (x+2)(x-1) - (x^2 - 3x + 4)$ tại $x = 2$ .
Tính giá trị của biểu thức $M = (x+2)(x-1) - (x^2 - 3x + 4)$ tại $x = 2$.
2
$(x+2)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$ .
$(x+2)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$.
3
$M = (x^2 + x - 2) - (x^2 - 3x + 4)$ . Đổi dấu ngoặc thứ hai: $x^2 + x - 2 - x^2 + 3x - 4$ . Nhóm $x^2$ : $1-1=0$ (triệt tiêu). Nhóm $x$ : $1+3=4$ . Nhóm số: $-2-4=-6$ . Kết quả $M = 4x - 6$ .
$M = (x^2 + x - 2) - (x^2 - 3x + 4)$. Đổi dấu ngoặc thứ hai: $x^2 + x - 2 - x^2 + 3x - 4$. Nhóm $x^2$: $1-1=0$ (triệt tiêu). Nhóm $x$: $1+3=4$. Nhóm số: $-2-4=-6$. Kết quả $M = 4x - 6$.
4
Với $x = 2$ : $M = 4 \times 2 - 6 = 8 - 6 = 2$ .
Với $x = 2$: $M = 4 \times 2 - 6 = 8 - 6 = 2$.
5
Vậy $M = 4x - 6$ , và giá trị của $M$ tại $x = 2$ bằng $2$ .
Vậy $M = 4x - 6$, và giá trị của $M$ tại $x = 2$ bằng $2$.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp diện tích hình cắt góc (dạng thi)

1
Một hình chữ nhật có chiều dài $2x$ (m) và chiều rộng $(x+3)$ (m). Người ta cắt bỏ một hình vuông cạnh $x$ (m) ở một góc. Tính diện tích phần còn lại dưới dạng đa thức đã thu gọn, rồi tính diện tích khi $x = 5$ .
Một hình chữ nhật có chiều dài $2x$ (m) và chiều rộng $(x+3)$ (m). Người ta cắt bỏ một hình vuông cạnh $x$ (m) ở một góc. Tính diện tích phần còn lại dưới dạng đa thức đã thu gọn, rồi tính diện tích khi $x = 5$.
2
Diện tích hình chữ nhật là $2x(x+3) = 2x \cdot x + 2x \cdot 3 = 2x^2 + 6x$ (nhân đơn thức với đa thức).
Diện tích hình chữ nhật là $2x(x+3) = 2x \cdot x + 2x \cdot 3 = 2x^2 + 6x$ (nhân đơn thức với đa thức).
3
Diện tích hình vuông cạnh $x$ là $x^2$ . Diện tích còn lại: $(2x^2 + 6x) - x^2 = x^2 + 6x$ .
Diện tích hình vuông cạnh $x$ là $x^2$. Diện tích còn lại: $(2x^2 + 6x) - x^2 = x^2 + 6x$.
4
Với $x = 5$ : $x^2 = 25$ , $6x = 30$ . Diện tích còn lại $= 25 + 30 = 55$ .
Với $x = 5$: $x^2 = 25$, $6x = 30$. Diện tích còn lại $= 25 + 30 = 55$.
5
Vậy diện tích phần còn lại là $x^2 + 6x$ (m²), và khi $x = 5$ diện tích bằng $55$ m².
Vậy diện tích phần còn lại là $x^2 + 6x$ (m²), và khi $x = 5$ diện tích bằng $55$ m².

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Trong bài toán tổng hợp, sai lầm phổ biến nhất là làm các bước không đúng thứ tự — chẳng hạn trừ một hạng tử của đa thức thứ hai TRƯỚC khi hoàn tất phép nhân của đa thức thứ nhất, khiến dấu bị lẫn lộn. Luôn hoàn thành trọn vẹn một phép toán (nhân xong, thu gọn xong) rồi mới chuyển sang phép toán tiếp theo mà đề yêu cầu.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài toán tổng hợp chỉ ghép lại đúng năm công cụ đã học: nhận biết bậc đơn thức, thu gọn đa thức, cộng trừ đúng quy tắc dấu ngoặc, nhân đơn thức với đa thức, và nhân đa thức với đa thức. Làm từng bước theo đúng thứ tự đề yêu cầu, thu gọn xong mỗi bước rồi mới sang bước sau.

Đến đây, khóa Đa thức nhiều biến đã hoàn tất — em có đủ công cụ đại số để bước sang khóa tiếp theo: chia đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, nơi phép nhân đa thức em vừa thành thạo sẽ được đúc thành những công thức tính nhanh.