Bài học

Nhân đa thức với đa thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhân được một đa thức nhiều biến với một đa thức khác, hiểu được VÌ SAO quy tắc nhân đa thức lại đúng thông qua mô hình diện tích hình chữ nhật, và thu gọn được kết quả.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em quy tắc nhân một đơn thức với một đa thức: phân phối đơn thức cho từng hạng tử. Bài này chỉ khác một chỗ — thay vì một đơn thức, ta có CẢ MỘT đa thức đứng nhân phía trước, nên phải phân phối từng hạng tử của nó, không chỉ một lần mà nhiều lần liên tiếp.

Khởi động

Ở bài trước, em đã tính diện tích một mảnh đất bằng cách nhân chiều rộng (một đơn thức) với chiều dài (một đa thức). Vậy nếu CẢ chiều rộng lẫn chiều dài đều là đa thức — chẳng hạn chiều dài $(x+4)$ mét và chiều rộng $(x+1)$ mét — thì diện tích được tính thế nào? Chẳng lẽ chỉ nhân $x$ với $x$ rồi $4$ với $1$ là xong?

Kiến thức trọng tâm

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân TỪNG hạng tử của đa thức thứ nhất với TỪNG hạng tử của đa thức thứ hai, rồi cộng tất cả các tích lại và thu gọn hạng tử đồng dạng nếu có. Nếu đa thức thứ nhất có $m$ hạng tử và đa thức thứ hai có $n$ hạng tử, sẽ có đúng $m \times n$ phép nhân cần thực hiện trước khi thu gọn — không được bỏ sót cặp nào.

Quy tắc này không phải một mẹo áp đặt — nó xuất phát trực tiếp từ công thức tính diện tích hình chữ nhật. Xét một hình chữ nhật có chiều dài $(a+b)$ và chiều rộng $(c+d)$ . Nếu chia chiều dài thành hai đoạn $a$ và $b$ , chia chiều rộng thành hai đoạn $c$ và $d$ , hình chữ nhật lớn được chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ với diện tích lần lượt là $ac$ , $ad$ , $bc$ , $bd$ . Tổng diện tích bốn hình nhỏ phải bằng diện tích hình lớn, tức $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ — mỗi hạng tử của $(a+b)$ nhân với mỗi hạng tử của $(c+d)$ , đúng như quy tắc phân phối hai lần vừa nêu.

Quy tắc này không phải một mẹo áp đặt — nó xuất phát trực tiếp từ công thức tính diện tích hình chữ nhật. Xét một hình chữ nhật có chiều dài $(a+b)$ và chiều rộng $(c+d)$. Nếu chia chiều dài thành hai đoạn $a$ và $b$, chia chiều rộng thành hai đoạn $c$ và $d$, hình chữ nhật lớn được chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ với diện tích lần lượt là $ac$, $ad$, $bc$, $bd$. Tổng diện tích bốn hình nhỏ phải bằng diện tích hình lớn, tức $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ — mỗi hạng tử của $(a+b)$ nhân với mỗi hạng tử của $(c+d)$, đúng như quy tắc phân phối hai lần vừa nêu.

Chia lưới 5×5 theo chiều dọc tại cột thứ 3 (a=3, b=2) và theo chiều ngang tại hàng thứ 4 (c=4, d=1): bốn ô con có diện tích 12 (ac), 3 (ad), 8 (bc), 2 (bd), cộng lại đúng bằng 25 ô của lưới lớn.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Vì sao nhân đa thức với đa thức đúng — mô hình diện tích (a+b)(c+d)

1
Một hình chữ nhật có chiều dài $(a+b)$ và chiều rộng $(c+d)$ , với $a=3$ , $b=2$ , $c=4$ , $d=1$ (đơn vị cm). Chia hình chữ nhật thành bốn hình nhỏ để tính diện tích, rồi suy ra công thức nhân $(a+b)(c+d)$ tổng quát.
Một hình chữ nhật có chiều dài $(a+b)$ và chiều rộng $(c+d)$, với $a=3$, $b=2$, $c=4$, $d=1$ (đơn vị cm). Chia hình chữ nhật thành bốn hình nhỏ để tính diện tích, rồi suy ra công thức nhân $(a+b)(c+d)$ tổng quát.
2
Chia cạnh dài $(a+b) = 5$ thành hai đoạn $a=3$ và $b=2$ ; chia cạnh rộng $(c+d) = 5$ thành hai đoạn $c=4$ và $d=1$ . Bốn đường chia này tạo ra bốn hình chữ nhật con bên trong hình lớn.
Chia cạnh dài $(a+b) = 5$ thành hai đoạn $a=3$ và $b=2$; chia cạnh rộng $(c+d) = 5$ thành hai đoạn $c=4$ và $d=1$. Bốn đường chia này tạo ra bốn hình chữ nhật con bên trong hình lớn.
3
Hình con ứng với cạnh $a$ và $c$ : diện tích $a \times c = 3 \times 4 = 12$ . Hình con ứng với $a$ và $d$ : $3 \times 1 = 3$ . Hình con ứng với $b$ và $c$ : $2 \times 4 = 8$ . Hình con ứng với $b$ và $d$ : $2 \times 1 = 2$ .
Hình con ứng với cạnh $a$ và $c$: diện tích $a \times c = 3 \times 4 = 12$. Hình con ứng với $a$ và $d$: $3 \times 1 = 3$. Hình con ứng với $b$ và $c$: $2 \times 4 = 8$. Hình con ứng với $b$ và $d$: $2 \times 1 = 2$.
4
Diện tích hình chữ nhật lớn tính trực tiếp là $(a+b)(c+d) = 5 \times 5 = 25$ . Tổng bốn hình con là $12 + 3 + 8 + 2 = 25$ — đúng bằng diện tích hình lớn, như phải có.
Diện tích hình chữ nhật lớn tính trực tiếp là $(a+b)(c+d) = 5 \times 5 = 25$. Tổng bốn hình con là $12 + 3 + 8 + 2 = 25$ — đúng bằng diện tích hình lớn, như phải có.
5
Vậy với mọi $a$ , $b$ , $c$ , $d$ : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ — diện tích hình lớn luôn bằng tổng bốn hình con, và đó chính là lý do mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất phải nhân với mỗi hạng tử của đa thức thứ hai.
Vậy với mọi $a$, $b$, $c$, $d$: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ — diện tích hình lớn luôn bằng tổng bốn hình con, và đó chính là lý do mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất phải nhân với mỗi hạng tử của đa thức thứ hai.

Ví dụ

Nhân hai đa thức một biến bằng phân phối trực tiếp

1
Tính $(x + 2)(x - 3)$ .
Tính $(x + 2)(x - 3)$.
2
$x \cdot x = x^2$ ; $x \cdot (-3) = -3x$ ; $2 \cdot x = 2x$ ; $2 \cdot (-3) = -6$ .
$x \cdot x = x^2$; $x \cdot (-3) = -3x$; $2 \cdot x = 2x$; $2 \cdot (-3) = -6$.
3
Cộng bốn tích: $x^2 - 3x + 2x - 6$ . Nhóm hai hạng tử đồng dạng $-3x$ và $2x$ : $-3+2=-1$ , được $-x$ .
Cộng bốn tích: $x^2 - 3x + 2x - 6$. Nhóm hai hạng tử đồng dạng $-3x$ và $2x$: $-3+2=-1$, được $-x$.
4
Vậy $(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$ .
Vậy $(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$.

Ví dụ

Nhân hai đa thức hai biến

1
Tính $(2x - y)(x + 3y)$ .
Tính $(2x - y)(x + 3y)$.
2
$2x \cdot x = 2x^2$ ; $2x \cdot 3y = 6xy$ ; $-y \cdot x = -xy$ ; $-y \cdot 3y = -3y^2$ .
$2x \cdot x = 2x^2$; $2x \cdot 3y = 6xy$; $-y \cdot x = -xy$; $-y \cdot 3y = -3y^2$.
3
Cộng bốn tích: $2x^2 + 6xy - xy - 3y^2$ . Nhóm $6xy$ và $-xy$ : $6-1=5$ , được $5xy$ .
Cộng bốn tích: $2x^2 + 6xy - xy - 3y^2$. Nhóm $6xy$ và $-xy$: $6-1=5$, được $5xy$.
4
Vậy $(2x - y)(x + 3y) = 2x^2 + 5xy - 3y^2$ .
Vậy $(2x - y)(x + 3y) = 2x^2 + 5xy - 3y^2$.

Ví dụ

Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rồi thay số (dạng thi)

1
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài $(x + 4)$ mét và chiều rộng $(x + 1)$ mét. Viết biểu thức diện tích dưới dạng đa thức đã thu gọn, rồi tính diện tích khi $x = 6$ .
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài $(x + 4)$ mét và chiều rộng $(x + 1)$ mét. Viết biểu thức diện tích dưới dạng đa thức đã thu gọn, rồi tính diện tích khi $x = 6$.
2
Diện tích bằng chiều dài nhân chiều rộng: $(x+4)(x+1)$ .
Diện tích bằng chiều dài nhân chiều rộng: $(x+4)(x+1)$.
3
$x \cdot x = x^2$ ; $x \cdot 1 = x$ ; $4 \cdot x = 4x$ ; $4 \cdot 1 = 4$ .
$x \cdot x = x^2$; $x \cdot 1 = x$; $4 \cdot x = 4x$; $4 \cdot 1 = 4$.
4
Cộng bốn tích: $x^2 + x + 4x + 4$ . Nhóm $x$ và $4x$ : $1+4=5$ , được $5x$ . Kết quả $x^2 + 5x + 4$ .
Cộng bốn tích: $x^2 + x + 4x + 4$. Nhóm $x$ và $4x$: $1+4=5$, được $5x$. Kết quả $x^2 + 5x + 4$.
5
Với $x = 6$ : $x^2 = 36$ , $5x = 30$ . Diện tích $= 36 + 30 + 4 = 70$ .
Với $x = 6$: $x^2 = 36$, $5x = 30$. Diện tích $= 36 + 30 + 4 = 70$.
6
Vậy diện tích mảnh vườn là $x^2 + 5x + 4$ (m²), và khi $x = 6$ diện tích bằng $70$ m².
Vậy diện tích mảnh vườn là $x^2 + 5x + 4$ (m²), và khi $x = 6$ diện tích bằng $70$ m².

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là chỉ nhân hai hạng tử ĐẦU của mỗi đa thức và hai hạng tử CUỐI, bỏ sót hai tích chéo ở giữa — với $(x+2)(x-3)$ , nhiều bạn chỉ tính $x \cdot x$ và $2 \cdot (-3)$ rồi cộng lại thành $x^2 - 6$ , quên mất $x \cdot (-3)$ và $2 \cdot x$ . Luôn đếm lại: đa thức $m$ hạng tử nhân đa thức $n$ hạng tử phải cho đúng $m \times n$ tích trước khi thu gọn.

Sai lầm phổ biến nhất là chỉ nhân hai hạng tử ĐẦU của mỗi đa thức và hai hạng tử CUỐI, bỏ sót hai tích chéo ở giữa — với $(x+2)(x-3)$, nhiều bạn chỉ tính $x \cdot x$ và $2 \cdot (-3)$ rồi cộng lại thành $x^2 - 6$, quên mất $x \cdot (-3)$ và $2 \cdot x$. Luôn đếm lại: đa thức $m$ hạng tử nhân đa thức $n$ hạng tử phải cho đúng $m \times n$ tích trước khi thu gọn.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Nhân đa thức với đa thức: nhân TỪNG hạng tử của đa thức thứ nhất với TỪNG hạng tử của đa thức thứ hai ( $m \times n$ tích), rồi cộng và thu gọn hạng tử đồng dạng. Mô hình diện tích hình chữ nhật $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$ là lý do quy tắc này đúng, không phải một mẹo tùy tiện.

Nhân đa thức với đa thức: nhân TỪNG hạng tử của đa thức thứ nhất với TỪNG hạng tử của đa thức thứ hai ($m \times n$ tích), rồi cộng và thu gọn hạng tử đồng dạng. Mô hình diện tích hình chữ nhật $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$ là lý do quy tắc này đúng, không phải một mẹo tùy tiện.

Khóa học tiếp theo sẽ chỉ ra rằng một số phép nhân đa thức — như $(x+3)^2$ hay $(x-2)(x+2)$ — lặp lại đúng một khuôn mẫu mỗi lần, và khuôn mẫu đó được đúc thành bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để tính nhanh mà không cần nhân từng cặp hạng tử như em vừa làm.