Bài học

Định nghĩa và bảng giá trị hàm số bậc nhất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra một công thức có phải là hàm số bậc nhất hay không, lập được bảng giá trị của hàm số bậc nhất tại các giá trị $x$ cho trước, và tìm được điều kiện của tham số để một biểu thức chứa tham số trở thành hàm số bậc nhất.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 7 em đã học hàm số $y = ax$ với $a \neq 0$ , mô tả đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ : đồ thị là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Lớp 8 mở rộng công thức này bằng cách cộng thêm một số hạng không đổi $b$ , cho phép đường thẳng không nhất thiết đi qua gốc tọa độ nữa. Em cũng cần nhớ cách thay một giá trị $x$ vào một biểu thức đại số để tính giá trị tương ứng — kỹ năng này em đã luyện nhiều lần với đa thức ở Course 1.

Ở lớp 7 em đã học hàm số $y = ax$ với $a \neq 0$, mô tả đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$: đồ thị là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Lớp 8 mở rộng công thức này bằng cách cộng thêm một số hạng không đổi $b$, cho phép đường thẳng không nhất thiết đi qua gốc tọa độ nữa. Em cũng cần nhớ cách thay một giá trị $x$ vào một biểu thức đại số để tính giá trị tương ứng — kỹ năng này em đã luyện nhiều lần với đa thức ở Course 1.

Khởi động

Bạn Minh đi taxi trong thành phố. Hãng taxi tính giá theo quy tắc: 30 nghìn đồng cho việc mở cửa xe, cộng thêm 8 nghìn đồng cho mỗi km tiếp theo. Nếu gọi $x$ là số km đã đi và $y$ là số tiền phải trả (nghìn đồng), làm sao viết được một công thức duy nhất tính $y$ theo $x$ cho mọi quãng đường, thay vì phải tính tay từng trường hợp?

Kiến thức trọng tâm

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y = ax + b$ , trong đó $a$ , $b$ là hai số cho trước và $a \neq 0$ . Với bài toán taxi ở trên, tiền mở cửa 30 nghìn đồng ứng với mỗi km đi thêm 8 nghìn đồng, nên $y = 8x + 30$ — đúng dạng $ax + b$ với $a = 8$ , $b = 30$ .

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y = ax + b$, trong đó $a$, $b$ là hai số cho trước và $a \neq 0$. Với bài toán taxi ở trên, tiền mở cửa 30 nghìn đồng ứng với mỗi km đi thêm 8 nghìn đồng, nên $y = 8x + 30$ — đúng dạng $ax + b$ với $a = 8$, $b = 30$.

Điều kiện $a \neq 0$ không phải là chi tiết phụ: nếu $a = 0$ thì $y = b$ với mọi $x$ , tức là $y$ không hề đổi khi $x$ thay đổi — đó là hàm hằng, một loại hàm số khác, không phải hàm số bậc nhất. Ví dụ $y = 6$ (đi taxi mà giá cố định 6 nghìn đồng dù đi bao xa) không phải là hàm số bậc nhất vì không có số hạng chứa $x$ .

Điều kiện $a \neq 0$ không phải là chi tiết phụ: nếu $a = 0$ thì $y = b$ với mọi $x$, tức là $y$ không hề đổi khi $x$ thay đổi — đó là hàm hằng, một loại hàm số khác, không phải hàm số bậc nhất. Ví dụ $y = 6$ (đi taxi mà giá cố định 6 nghìn đồng dù đi bao xa) không phải là hàm số bậc nhất vì không có số hạng chứa $x$.

Trong công thức $y = ax + b$ , số $a$ là hệ số của $x$ — bài học sau sẽ chỉ ra $a$ còn mang tên hệ số góc vì nó quyết định độ nghiêng của đường thẳng. Số $b$ là số hạng tự do, giá trị của $y$ khi $x = 0$ . Không phải mọi công thức chứa $x$ đều là hàm số bậc nhất: $y = x^2 + 1$ có $x$ ở bậc hai nên không thuộc dạng $ax + b$ ; $y = \frac{3}{x}$ có $x$ ở mẫu nên cũng không phải hàm số bậc nhất, dù trông có vẻ đơn giản.

Trong công thức $y = ax + b$, số $a$ là hệ số của $x$ — bài học sau sẽ chỉ ra $a$ còn mang tên hệ số góc vì nó quyết định độ nghiêng của đường thẳng. Số $b$ là số hạng tự do, giá trị của $y$ khi $x = 0$. Không phải mọi công thức chứa $x$ đều là hàm số bậc nhất: $y = x^2 + 1$ có $x$ ở bậc hai nên không thuộc dạng $ax + b$; $y = \frac{3}{x}$ có $x$ ở mẫu nên cũng không phải hàm số bậc nhất, dù trông có vẻ đơn giản.

Muốn lập bảng giá trị của một hàm số bậc nhất, em chọn một số giá trị của $x$ , thay lần lượt vào công thức $y = ax + b$ để tính $y$ tương ứng, rồi trình bày kết quả thành một bảng hai dòng: dòng trên ghi các giá trị $x$ đã chọn, dòng dưới ghi giá trị $y$ tính được. Mỗi cặp $(x; y)$ trong bảng ứng với đúng một điểm trên mặt phẳng tọa độ — đây chính là nền tảng để bài sau vẽ đồ thị của hàm số.

Muốn lập bảng giá trị của một hàm số bậc nhất, em chọn một số giá trị của $x$, thay lần lượt vào công thức $y = ax + b$ để tính $y$ tương ứng, rồi trình bày kết quả thành một bảng hai dòng: dòng trên ghi các giá trị $x$ đã chọn, dòng dưới ghi giá trị $y$ tính được. Mỗi cặp $(x; y)$ trong bảng ứng với đúng một điểm trên mặt phẳng tọa độ — đây chính là nền tảng để bài sau vẽ đồ thị của hàm số.

Mỗi cặp (x; y) trong bảng giá trị là tọa độ của một điểm; các điểm này thẳng hàng vì cùng thuộc đồ thị của một hàm số bậc nhất.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Lập bảng giá trị của hàm số bậc nhất

1
Lập bảng giá trị của hàm số $y = 2x - 1$ tại $x = -1; 0; 1; 2$ .
Lập bảng giá trị của hàm số $y = 2x - 1$ tại $x = -1; 0; 1; 2$.
2
$y = 2 \times (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$ .
$y = 2 \times (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.
3
$y = 2 \times 0 - 1 = 0 - 1 = -1$ .
$y = 2 \times 0 - 1 = 0 - 1 = -1$.
4
$y = 2 \times 1 - 1 = 2 - 1 = 1$ .
$y = 2 \times 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.
5
$y = 2 \times 2 - 1 = 4 - 1 = 3$ .
$y = 2 \times 2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
6
Vậy bảng giá trị gồm bốn cặp $(-1; -3)$ , $(0; -1)$ , $(1; 1)$ , $(2; 3)$ .
Vậy bảng giá trị gồm bốn cặp $(-1; -3)$, $(0; -1)$, $(1; 1)$, $(2; 3)$.

Ví dụ vận dụng

Ví dụ

Tìm điều kiện của tham số và lập bảng giá trị

1
Cho hàm số $y = (m - 2)x + 3$ , $m$ là tham số. a) Tìm điều kiện của $m$ để đây là hàm số bậc nhất. b) Với $m = 5$ , lập bảng giá trị của hàm số tại $x = -2; -1; 0; 1$ .
Cho hàm số $y = (m - 2)x + 3$, $m$ là tham số. a) Tìm điều kiện của $m$ để đây là hàm số bậc nhất. b) Với $m = 5$, lập bảng giá trị của hàm số tại $x = -2; -1; 0; 1$.
2
Hàm số $y = (m-2)x + 3$ có dạng $y = ax + b$ với $a = m - 2$ . Để là hàm số bậc nhất, cần $a \neq 0$ , tức là $m - 2 \neq 0$ . Vậy điều kiện là $m \neq 2$ .
Hàm số $y = (m-2)x + 3$ có dạng $y = ax + b$ với $a = m - 2$. Để là hàm số bậc nhất, cần $a \neq 0$, tức là $m - 2 \neq 0$. Vậy điều kiện là $m \neq 2$.
3
Với $m = 5$ : $a = 5 - 2 = 3$ , hàm số trở thành $y = 3x + 3$ . Vì $5 \neq 2$ nên điều kiện ở câu a được thỏa mãn.
Với $m = 5$: $a = 5 - 2 = 3$, hàm số trở thành $y = 3x + 3$. Vì $5 \neq 2$ nên điều kiện ở câu a được thỏa mãn.
4
Tại $x = -2$ : $y = 3 \times (-2) + 3 = -3$ . Tại $x = -1$ : $y = 3 \times (-1) + 3 = 0$ . Tại $x = 0$ : $y = 3 \times 0 + 3 = 3$ . Tại $x = 1$ : $y = 3 \times 1 + 3 = 6$ .
Tại $x = -2$: $y = 3 \times (-2) + 3 = -3$. Tại $x = -1$: $y = 3 \times (-1) + 3 = 0$. Tại $x = 0$: $y = 3 \times 0 + 3 = 3$. Tại $x = 1$: $y = 3 \times 1 + 3 = 6$.
5
Vậy với $m = 5$ , bảng giá trị gồm bốn cặp $(-2; -3)$ , $(-1; 0)$ , $(0; 3)$ , $(1; 6)$ .
Vậy với $m = 5$, bảng giá trị gồm bốn cặp $(-2; -3)$, $(-1; 0)$, $(0; 3)$, $(1; 6)$.

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn quên hẳn điều kiện $a \neq 0$ khi làm việc với tham số, coi $y = (m-2)x + 3$ luôn là hàm số bậc nhất với mọi $m$ — bỏ sót đúng trường hợp $m = 2$ , khi đó hàm số suy biến thành hàm hằng $y = 3$ , không còn là hàm số bậc nhất nữa. Một lỗi khác là nhầm dấu khi thay $x$ âm vào công thức, ví dụ tính $2 \times (-1) - 1$ thành $2 - 1 = 1$ thay vì $-2 - 1 = -3$ .

Nhiều bạn quên hẳn điều kiện $a \neq 0$ khi làm việc với tham số, coi $y = (m-2)x + 3$ luôn là hàm số bậc nhất với mọi $m$ — bỏ sót đúng trường hợp $m = 2$, khi đó hàm số suy biến thành hàm hằng $y = 3$, không còn là hàm số bậc nhất nữa. Một lỗi khác là nhầm dấu khi thay $x$ âm vào công thức, ví dụ tính $2 \times (-1) - 1$ thành $2 - 1 = 1$ thay vì $-2 - 1 = -3$.

Luyện tập có hướng dẫn

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$ với $a \neq 0$ . Muốn lập bảng giá trị, thay lần lượt từng $x$ đã chọn vào công thức để tính $y$ tương ứng. Khi hàm số chứa tham số, luôn kiểm tra điều kiện $a \neq 0$ trước khi kết luận.

Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$ với $a \neq 0$. Muốn lập bảng giá trị, thay lần lượt từng $x$ đã chọn vào công thức để tính $y$ tương ứng. Khi hàm số chứa tham số, luôn kiểm tra điều kiện $a \neq 0$ trước khi kết luận.

Bài học tiếp theo dùng chính bảng giá trị này để trả lời một câu hỏi mới: khi $x$ tăng dần, giá trị $y$ của hàm số tăng theo hay giảm đi, và điều đó phụ thuộc vào đâu trong công thức $y = ax + b$ ?