Bài học

Hệ số góc của đường thẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải thích được vì sao $a$ trong $y = ax + b$ gọi là hệ số góc, so sánh được độ dốc của hai đường thẳng qua giá trị $|a|$ , và lập được công thức đường thẳng khi biết hệ số góc cùng một điểm, hoặc khi biết hai điểm mà đường thẳng đi qua.

Sau bài này, em giải thích được vì sao $a$ trong $y = ax + b$ gọi là hệ số góc, so sánh được độ dốc của hai đường thẳng qua giá trị $|a|$, và lập được công thức đường thẳng khi biết hệ số góc cùng một điểm, hoặc khi biết hai điểm mà đường thẳng đi qua.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất bằng hai điểm ở bài trước, và khái niệm giá trị tuyệt đối $|a|$ đã học ở lớp 6 — dùng để so sánh độ lớn của hai số bất kể dấu.

Khởi động

Hai bạn cùng đạp xe lên một con dốc, một bạn đi trên đường dốc thoai thoải, một bạn đi trên đường dốc gần như thẳng đứng. Nếu vẽ hai đường đi ấy trên cùng một mặt phẳng tọa độ dưới dạng hai đường thẳng $y = ax + b$ , con số nào trong công thức cho em biết đường nào dốc hơn?

Hai bạn cùng đạp xe lên một con dốc, một bạn đi trên đường dốc thoai thoải, một bạn đi trên đường dốc gần như thẳng đứng. Nếu vẽ hai đường đi ấy trên cùng một mặt phẳng tọa độ dưới dạng hai đường thẳng $y = ax + b$, con số nào trong công thức cho em biết đường nào dốc hơn?

Kiến thức trọng tâm

Trong công thức $y = ax + b$ , số $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng. Tên gọi này xuất phát từ việc $a$ quyết định độ nghiêng — hay góc tạo bởi đường thẳng với chiều dương của trục $Ox$ . $|a|$ càng lớn, đường thẳng càng dốc, tức là càng gần với phương thẳng đứng; $|a|$ càng nhỏ (gần $0$ ), đường thẳng càng thoải, gần với phương nằm ngang.

Trong công thức $y = ax + b$, số $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng. Tên gọi này xuất phát từ việc $a$ quyết định độ nghiêng — hay góc tạo bởi đường thẳng với chiều dương của trục $Ox$. $|a|$ càng lớn, đường thẳng càng dốc, tức là càng gần với phương thẳng đứng; $|a|$ càng nhỏ (gần $0$), đường thẳng càng thoải, gần với phương nằm ngang.

Dấu của $a$ cho biết chiều nghiêng: $a > 0$ đường thẳng đi lên khi nhìn từ trái sang phải (khớp với việc hàm đồng biến đã học ở Chương 2), tạo với chiều dương trục $Ox$ một góc nhọn. $a < 0$ đường thẳng đi xuống khi nhìn từ trái sang phải (khớp với hàm nghịch biến), tạo với chiều dương trục $Ox$ một góc tù. Hai đường thẳng có cùng hệ số góc $a$ thì song song hoặc trùng nhau, vì chúng nghiêng với cùng một độ dốc — bài học sau sẽ khai thác kỹ tính chất này.

Khi biết đường thẳng $y = ax + b$ đi qua hai điểm $(x_1; y_1)$ và $(x_2; y_2)$ với $x_1 \neq x_2$ , em tính được hệ số góc bằng công thức $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — hiệu tung độ chia cho hiệu hoành độ tương ứng. Sau khi có $a$ , thay tọa độ một trong hai điểm vào $y = ax + b$ để tìm nốt $b$ . Nếu chỉ biết một điểm và hệ số góc $a$ cho sẵn, em cũng làm tương tự: thay điểm đó và giá trị $a$ vào công thức để tìm $b$ .

Khi biết đường thẳng $y = ax + b$ đi qua hai điểm $(x_1; y_1)$ và $(x_2; y_2)$ với $x_1 \neq x_2$, em tính được hệ số góc bằng công thức $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — hiệu tung độ chia cho hiệu hoành độ tương ứng. Sau khi có $a$, thay tọa độ một trong hai điểm vào $y = ax + b$ để tìm nốt $b$. Nếu chỉ biết một điểm và hệ số góc $a$ cho sẵn, em cũng làm tương tự: thay điểm đó và giá trị $a$ vào công thức để tìm $b$.

Cùng xuất phát từ điểm (0;1), đường có |a| lớn hơn (a=3) đi lên nhanh hơn hẳn đường có |a| nhỏ hơn (a=1).

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

So sánh độ dốc của hai đường thẳng

1
So sánh độ dốc của hai đường thẳng $y = 3x + 1$ và $y = x + 1$ .
So sánh độ dốc của hai đường thẳng $y = 3x + 1$ và $y = x + 1$.
2
Đường thứ nhất có hệ số góc $a_1 = 3$ ; đường thứ hai có hệ số góc $a_2 = 1$ .
Đường thứ nhất có hệ số góc $a_1 = 3$; đường thứ hai có hệ số góc $a_2 = 1$.
3
Vì $|a_1| = 3 > |a_2| = 1$ nên đường thẳng $y = 3x + 1$ dốc hơn đường thẳng $y = x + 1$ .
Vì $|a_1| = 3 > |a_2| = 1$ nên đường thẳng $y = 3x + 1$ dốc hơn đường thẳng $y = x + 1$.
4
Vậy $y = 3x + 1$ dốc hơn $y = x + 1$ , cả hai đều đi lên vì $a_1, a_2$ đều dương.
Vậy $y = 3x + 1$ dốc hơn $y = x + 1$, cả hai đều đi lên vì $a_1, a_2$ đều dương.

Dấu của $a$ không ảnh hưởng đến độ dốc — chỉ $|a|$ mới quyết định điều đó — nhưng dấu của $a$ quyết định chiều nghiêng, đi lên hay đi xuống. Hai đường thẳng có cùng $|a|$ nhưng khác dấu sẽ đối xứng nhau qua trục tung nếu cùng đi qua gốc tọa độ: một đường đi lên, một đường đi xuống, với độ dốc bằng nhau về độ lớn.

Ví dụ

Đối chiếu chiều nghiêng khi a dương và a âm

1
So sánh chiều nghiêng của hai đường thẳng $y = 2x$ và $y = -2x$ .
So sánh chiều nghiêng của hai đường thẳng $y = 2x$ và $y = -2x$.
2
Đường thứ nhất có $a = 2 > 0$ ; đường thứ hai có $a = -2 < 0$ .
Đường thứ nhất có $a = 2 > 0$; đường thứ hai có $a = -2 < 0$.
3
Vì $a = 2 > 0$ , đường $y = 2x$ đi lên từ trái sang phải (đồng biến). Vì $a = -2 < 0$ , đường $y = -2x$ đi xuống từ trái sang phải (nghịch biến).
Vì $a = 2 > 0$, đường $y = 2x$ đi lên từ trái sang phải (đồng biến). Vì $a = -2 < 0$, đường $y = -2x$ đi xuống từ trái sang phải (nghịch biến).
4
Vì $|2| = |-2| = 2$ , hai đường thẳng dốc như nhau, chỉ khác chiều nghiêng — chúng đối xứng nhau qua trục tung vì cùng đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ .
Vì $|2| = |-2| = 2$, hai đường thẳng dốc như nhau, chỉ khác chiều nghiêng — chúng đối xứng nhau qua trục tung vì cùng đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.
5
Vậy $y = 2x$ và $y = -2x$ dốc bằng nhau nhưng nghiêng ngược chiều nhau.
Vậy $y = 2x$ và $y = -2x$ dốc bằng nhau nhưng nghiêng ngược chiều nhau.

a = 2 dương nên đường đi lên từ trái sang phải; a = -2 âm nên đường đi xuống — độ dốc bằng nhau vì |2| = |-2|.

Ví dụ vận dụng

Ví dụ

Tìm phương trình đường thẳng và giải thích hệ số góc

1
Một hãng taxi tính cước theo công thức $y = ax + b$ (nghìn đồng), với $x$ là số km. Biết đi $5$ km hết $45$ nghìn đồng, đi $10$ km hết $70$ nghìn đồng. a) Tìm $a$ , $b$ . b) Nêu ý nghĩa thực tế của hệ số góc $a$ trong bài toán này.
Một hãng taxi tính cước theo công thức $y = ax + b$ (nghìn đồng), với $x$ là số km. Biết đi $5$ km hết $45$ nghìn đồng, đi $10$ km hết $70$ nghìn đồng. a) Tìm $a$, $b$. b) Nêu ý nghĩa thực tế của hệ số góc $a$ trong bài toán này.
2
Đường thẳng đi qua hai điểm $(5; 45)$ và $(10; 70)$ . Ta có $a = \frac{70 - 45}{10 - 5} = \frac{25}{5} = 5$ .
Đường thẳng đi qua hai điểm $(5; 45)$ và $(10; 70)$. Ta có $a = \frac{70 - 45}{10 - 5} = \frac{25}{5} = 5$.
3
Thay điểm $(5; 45)$ và $a = 5$ vào $y = ax + b$ : $45 = 5 \times 5 + b$ , suy ra $45 = 25 + b$ , nên $b = 20$ . Vậy $y = 5x + 20$ .
Thay điểm $(5; 45)$ và $a = 5$ vào $y = ax + b$: $45 = 5 \times 5 + b$, suy ra $45 = 25 + b$, nên $b = 20$. Vậy $y = 5x + 20$.
4
Hệ số góc $a = 5$ chính là số tiền tăng thêm (nghìn đồng) ứng với mỗi km đi thêm — tức giá cước mỗi km. Hệ số $b = 20$ là mức phí cố định ban đầu (mở cửa xe), không phụ thuộc số km.
Hệ số góc $a = 5$ chính là số tiền tăng thêm (nghìn đồng) ứng với mỗi km đi thêm — tức giá cước mỗi km. Hệ số $b = 20$ là mức phí cố định ban đầu (mở cửa xe), không phụ thuộc số km.

Sai lầm thường gặp

Khi tính $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , nhiều bạn lấy hiệu hoành độ chia cho hiệu tung độ — tức đảo ngược tử số và mẫu số — cho ra kết quả nghịch đảo sai hoàn toàn. Một lỗi khác là lấy $y_2 - y_1$ ở tử nhưng lại lấy $x_1 - x_2$ ở mẫu, làm đổi dấu kết quả; cần giữ đúng cùng một thứ tự điểm ở cả tử và mẫu.

Khi tính $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, nhiều bạn lấy hiệu hoành độ chia cho hiệu tung độ — tức đảo ngược tử số và mẫu số — cho ra kết quả nghịch đảo sai hoàn toàn. Một lỗi khác là lấy $y_2 - y_1$ ở tử nhưng lại lấy $x_1 - x_2$ ở mẫu, làm đổi dấu kết quả; cần giữ đúng cùng một thứ tự điểm ở cả tử và mẫu.

Luyện tập có hướng dẫn

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hệ số $a$ trong $y = ax + b$ gọi là hệ số góc, quyết định độ dốc của đường thẳng: $|a|$ lớn hơn thì dốc hơn. Biết hai điểm $(x_1;y_1)$ , $(x_2;y_2)$ trên đường thẳng, tính $a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ rồi thay một điểm để tìm $b$ .

Hệ số $a$ trong $y = ax + b$ gọi là hệ số góc, quyết định độ dốc của đường thẳng: $|a|$ lớn hơn thì dốc hơn. Biết hai điểm $(x_1;y_1)$, $(x_2;y_2)$ trên đường thẳng, tính $a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ rồi thay một điểm để tìm $b$.

Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì có cùng độ dốc — nhưng cùng độ dốc có nghĩa là chúng trùng nhau, song song, hay vẫn có thể cắt nhau? Bài học tiếp theo trả lời chính xác câu hỏi này.