Bài học

Ôn tập tổng hợp hàm số bậc nhất

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập này không dạy kiến thức mới — em sẽ phối hợp lại toàn bộ những gì đã học trong khoá: nhận diện hàm số bậc nhất, xét đồng biến/nghịch biến, vẽ đồ thị, tính hệ số góc, và xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, trong những bài toán đòi hỏi kết hợp nhiều bước.

Hệ thống hoá kiến thức

Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$ với $a \neq 0$ . Dấu của $a$ quyết định hàm đồng biến ( $a > 0$ ) hay nghịch biến ( $a < 0$ ) trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị là một đường thẳng, vẽ được bằng cách xác định hai điểm — tiện nhất là giao điểm với hai trục tọa độ $(0; b)$ và $\left(-\frac{b}{a}; 0\right)$ . Số $a$ còn gọi là hệ số góc, quyết định độ dốc: $|a|$ lớn hơn thì đường thẳng dốc hơn.

Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$ với $a \neq 0$. Dấu của $a$ quyết định hàm đồng biến ($a > 0$) hay nghịch biến ($a < 0$) trên $\mathbb{R}$. Đồ thị là một đường thẳng, vẽ được bằng cách xác định hai điểm — tiện nhất là giao điểm với hai trục tọa độ $(0; b)$ và $\left(-\frac{b}{a}; 0\right)$. Số $a$ còn gọi là hệ số góc, quyết định độ dốc: $|a|$ lớn hơn thì đường thẳng dốc hơn.

So sánh hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$ : $a \neq a'$ thì cắt nhau; $a = a'$ , $b \neq b'$ thì song song; $a = a'$ , $b = b'$ thì trùng nhau. Khi cắt nhau, tọa độ giao điểm tìm được bằng cách giải phương trình $ax + b = a'x + b'$ . Ngoài ra, hàm số bậc nhất còn dùng để mô hình hoá các tình huống thực tế có quan hệ tuyến tính, với $a$ là mức thay đổi mỗi đơn vị và $b$ là giá trị ban đầu. Sáu ý này — điều kiện, dấu của $a$ , hai giao điểm, hệ số góc, vị trí tương đối, và mô hình hoá thực tế — chính là toàn bộ nội dung khoá học, nay ghép lại thành một bức tranh thống nhất thay vì sáu mảnh rời rạc.

So sánh hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$: $a \neq a'$ thì cắt nhau; $a = a'$, $b \neq b'$ thì song song; $a = a'$, $b = b'$ thì trùng nhau. Khi cắt nhau, tọa độ giao điểm tìm được bằng cách giải phương trình $ax + b = a'x + b'$. Ngoài ra, hàm số bậc nhất còn dùng để mô hình hoá các tình huống thực tế có quan hệ tuyến tính, với $a$ là mức thay đổi mỗi đơn vị và $b$ là giá trị ban đầu. Sáu ý này — điều kiện, dấu của $a$, hai giao điểm, hệ số góc, vị trí tương đối, và mô hình hoá thực tế — chính là toàn bộ nội dung khoá học, nay ghép lại thành một bức tranh thống nhất thay vì sáu mảnh rời rạc.

Khởi động

Trước kì kiểm tra cuối chương, cô giáo ra một bài toán duy nhất nhưng gồm ba câu nhỏ, mỗi câu dùng một mảnh kiến thức khác nhau của cùng một hàm số chứa tham số. Đây chính là dạng bài tổng hợp thường gặp nhất trong đề kiểm tra — em thử giải trọn vẹn bài toán dưới đây trước khi xem lời giải mẫu.

Ví dụ tổng hợp

Ví dụ

Bài toán tổng hợp ba câu về hàm số chứa tham số

1
Cho hàm số $y = (2m - 1)x + 3$ , $m$ là tham số. a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ . b) Với $m = 2$ , vẽ đồ thị hàm số và tìm giao điểm của nó với hai trục tọa độ. c) Tìm $m$ để đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = 3x - 2$ .
Cho hàm số $y = (2m - 1)x + 3$, $m$ là tham số. a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. b) Với $m = 2$, vẽ đồ thị hàm số và tìm giao điểm của nó với hai trục tọa độ. c) Tìm $m$ để đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = 3x - 2$.
2
Hàm số đồng biến khi hệ số góc $a = 2m - 1 > 0$ , tức $2m > 1$ , suy ra $m > 0{,}5$ .
Hàm số đồng biến khi hệ số góc $a = 2m - 1 > 0$, tức $2m > 1$, suy ra $m > 0{,}5$.
3
Với $m = 2$ : $a = 2 \times 2 - 1 = 3$ , hàm số trở thành $y = 3x + 3$ .
Với $m = 2$: $a = 2 \times 2 - 1 = 3$, hàm số trở thành $y = 3x + 3$.
4
Tại $x = 0$ : $y = 3 \times 0 + 3 = 3$ . Giao điểm với $Oy$ là $(0; 3)$ .
Tại $x = 0$: $y = 3 \times 0 + 3 = 3$. Giao điểm với $Oy$ là $(0; 3)$.
5
Tại $y = 0$ : $3x + 3 = 0$ , suy ra $x = -1$ . Giao điểm với $Ox$ là $(-1; 0)$ .
Tại $y = 0$: $3x + 3 = 0$, suy ra $x = -1$. Giao điểm với $Ox$ là $(-1; 0)$.
6
Để $(d)$ song song với $y = 3x - 2$ , cần $2m - 1 = 3$ , suy ra $2m = 4$ , tức $m = 2$ . Vì $3 \neq -2$ nên điều kiện $b \neq b'$ luôn thỏa. Vậy $m = 2$ — trùng với giá trị dùng ở câu b.
Để $(d)$ song song với $y = 3x - 2$, cần $2m - 1 = 3$, suy ra $2m = 4$, tức $m = 2$. Vì $3 \neq -2$ nên điều kiện $b \neq b'$ luôn thỏa. Vậy $m = 2$ — trùng với giá trị dùng ở câu b.
7
Vậy: a) $m > 0{,}5$ để hàm số đồng biến. b) Với $m = 2$ , đồ thị $y = 3x + 3$ cắt hai trục tại $(0; 3)$ và $(-1; 0)$ . c) $m = 2$ để đồ thị song song với $y = 3x - 2$ .
Vậy: a) $m > 0{,}5$ để hàm số đồng biến. b) Với $m = 2$, đồ thị $y = 3x + 3$ cắt hai trục tại $(0; 3)$ và $(-1; 0)$. c) $m = 2$ để đồ thị song song với $y = 3x - 2$.

Đường thẳng này cũng chính là đường thẳng đồng biến (a = 3 > 0) và song song với y = 3x - 2 (cùng hệ số góc 3).

Ví dụ tổng hợp — vị trí tương đối và ứng dụng

Ví dụ

Phối hợp vị trí tương đối và bài toán thực tế

1
Giá thuê một chiếc xe đạp điện theo giờ tuân theo công thức $y = ax + b$ (nghìn đồng), với $x$ là số giờ thuê. Biết thuê $2$ giờ hết $50$ nghìn đồng, thuê $5$ giờ hết $110$ nghìn đồng. a) Tìm $a$ , $b$ . b) Đường thẳng vừa tìm được có song song với đường thẳng $y = 20x + 5$ không?
Giá thuê một chiếc xe đạp điện theo giờ tuân theo công thức $y = ax + b$ (nghìn đồng), với $x$ là số giờ thuê. Biết thuê $2$ giờ hết $50$ nghìn đồng, thuê $5$ giờ hết $110$ nghìn đồng. a) Tìm $a$, $b$. b) Đường thẳng vừa tìm được có song song với đường thẳng $y = 20x + 5$ không?
2
Từ hai điểm $(2; 50)$ và $(5; 110)$ : $a = \frac{110 - 50}{5 - 2} = \frac{60}{3} = 20$ .
Từ hai điểm $(2; 50)$ và $(5; 110)$: $a = \frac{110 - 50}{5 - 2} = \frac{60}{3} = 20$.
3
Thay điểm $(2; 50)$ : $50 = 20 \times 2 + b = 40 + b$ , suy ra $b = 10$ . Vậy $y = 20x + 10$ .
Thay điểm $(2; 50)$: $50 = 20 \times 2 + b = 40 + b$, suy ra $b = 10$. Vậy $y = 20x + 10$.
4
So sánh $y = 20x + 10$ với $y = 20x + 5$ : hệ số góc bằng nhau ( $20 = 20$ ) nhưng hệ số tự do khác nhau ( $10 \neq 5$ ). Vậy hai đường thẳng song song.
So sánh $y = 20x + 10$ với $y = 20x + 5$: hệ số góc bằng nhau ($20 = 20$) nhưng hệ số tự do khác nhau ($10 \neq 5$). Vậy hai đường thẳng song song.
5
Vậy $a = 20$ , $b = 10$ , và đồ thị giá thuê xe đạp điện song song với $y = 20x + 5$ .
Vậy $a = 20$, $b = 10$, và đồ thị giá thuê xe đạp điện song song với $y = 20x + 5$.

Sai lầm thường gặp

Trong bài toán tổng hợp, sai lầm phổ biến nhất là làm đúng từng câu riêng lẻ nhưng quên đối chiếu kết quả giữa các câu — như câu b và câu c của ví dụ đầu tiên cùng ra $m = 2$ , đó không phải trùng hợp ngẫu nhiên mà là dấu hiệu để tự kiểm tra lại bài làm. Ngoài ra, khi bài có nhiều điều kiện tham số, cần liệt kê đủ tất cả điều kiện (kể cả $a \neq 0$ ) trước khi kết luận, tránh bỏ sót như đã nhắc ở Chương 1.

Trong bài toán tổng hợp, sai lầm phổ biến nhất là làm đúng từng câu riêng lẻ nhưng quên đối chiếu kết quả giữa các câu — như câu b và câu c của ví dụ đầu tiên cùng ra $m = 2$, đó không phải trùng hợp ngẫu nhiên mà là dấu hiệu để tự kiểm tra lại bài làm. Ngoài ra, khi bài có nhiều điều kiện tham số, cần liệt kê đủ tất cả điều kiện (kể cả $a \neq 0$) trước khi kết luận, tránh bỏ sót như đã nhắc ở Chương 1.

Luyện tập tổng hợp

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài toán tổng hợp về hàm số bậc nhất thường ghép nhiều câu nhỏ, mỗi câu dùng một tính chất riêng: điều kiện $a \neq 0$ , dấu của $a$ cho đồng biến/nghịch biến, hai giao điểm để vẽ đồ thị, so sánh $a$ và $b$ cho vị trí tương đối. Làm lần lượt từng câu, dùng đúng công thức đã học, và luôn đối chiếu kết quả giữa các câu để tự kiểm tra.

Một bài toán tổng hợp về hàm số bậc nhất thường ghép nhiều câu nhỏ, mỗi câu dùng một tính chất riêng: điều kiện $a \neq 0$, dấu của $a$ cho đồng biến/nghịch biến, hai giao điểm để vẽ đồ thị, so sánh $a$ và $b$ cho vị trí tương đối. Làm lần lượt từng câu, dùng đúng công thức đã học, và luôn đối chiếu kết quả giữa các câu để tự kiểm tra.

Khoá học kết thúc ở đây. Hàm số bậc nhất $y = ax + b$ sẽ còn quay lại ở lớp 9 dưới dạng phức tạp hơn — hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai — nhưng nền tảng về đồng biến, đồ thị, hệ số góc và vị trí tương đối em vừa luyện chính là công cụ dùng lại xuyên suốt những nội dung đó.